曾敏 章建榮

【教學(xué)內(nèi)容】

“充分條件與必要條件”是高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-1第一章“簡單邏輯用語”第二節(jié)第6頁的內(nèi)容。

【教材分析】

邏輯是研究思維規(guī)律的學(xué)科，而“充分條件與必要條件”是數(shù)學(xué)中常用的邏輯用語，邏輯用語在數(shù)學(xué)中具有重要的作用。為了提高學(xué)習(xí)效率，在“充分條件與必要條件”這節(jié)內(nèi)容前，教材安排了“命題”這一節(jié)內(nèi)容作為必要的知識鋪墊，并把充分條件與必要條件安排在第一課時，第二課時學(xué)習(xí)充要條件。

“充分條件與必要條件”是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)概念，它主要研究命題的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系?！叭鬧p]，則[q]”為真命題，記作[p?q]。我們稱[p]是[q]的充分條件，稱[q]是[p]的必要條件。所以“[p?q]”與“[p]是[q]的充分條件”“[q]是[p]的必要條件”之間是同一邏輯關(guān)系的不同描述形式，前者是符號語言，后兩者是文字語言。教師通過對命題真假的判斷，研究命題中[p]與[q]之間的關(guān)系。

【教學(xué)目標】

1.學(xué)習(xí)數(shù)、形兩個例子，自主探究，通過觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納，概括出充分條件的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象以及邏輯推理的能力。

2.結(jié)合物理電路圖中“開關(guān)閉合與燈泡亮”的學(xué)習(xí)，經(jīng)歷直觀感受、數(shù)學(xué)抽象、邏輯關(guān)系、深化理解四個過程，突破必要條件概念的難點，培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)抽象以及邏輯推理的能力。

3.體驗整個數(shù)學(xué)活動，自主構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，加深對充分條件與必要條件的認識，體會獲取知識的感受。師生互動及時評價，培養(yǎng)敢于質(zhì)疑、善于發(fā)現(xiàn)、提出問題的能力，養(yǎng)成嚴謹規(guī)范表達的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

【教學(xué)過程】

一、經(jīng)歷數(shù)、形實例，注重概念形成

預(yù)設(shè)問題：A={正方形}，B={矩形}，C={平行四邊形}。

（1）各集合有什么關(guān)系？

（2）能否構(gòu)造“若p，則q”形式的命題？命題的真假性如何？

師：能判斷這3個集合間的關(guān)系嗎？

生：A包含于B，B包含于C。

師：很好。那你能否構(gòu)造“若p則q”形式的命題呢？

生：若一個四邊形是矩形，則這個四邊形是平行四邊形。

師：我們以這個命題為原命題，你能寫出其他形式的命題嗎？

生：逆命題：若一個四邊形是平行四邊形，則這個四邊形是矩形。

師：說得不錯，它們之間的真假性呢？

生：原命題是真命題，逆否命題也是真命題，逆命題、否命題是假命題。

師：很棒！逆命題是假命題，為什么是假命題？出現(xiàn)假命題的原因是什么呢？

生：推不出，得不到，條件不夠。

師：如何讓它成為真命題呢？

生：增加條件。

師：如何增加呢？

生：有一個角是90度。

師：還有別的方式嗎？

生：對角線相等！

師：不錯，那從這個例子中你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：當“若p則q”為假命題時，說明條件p不充足。所以有些命題可以增加條件，當條件充足了、充分了，可以得到結(jié)論，命題就是真的。

師：我們再通過一個例子來體會一下，若ab=0，則a=0，來看看它的真假性。

生（齊）：假命題。

師：為什么呢？

生：還可能b=0，條件不夠。

師：如何讓它成為真命題呢？

生：增加條件b<0。

師：可以嗎？還有別的方式嗎？

生：b>0。

師：還有嗎？

生：b不等于0。

師：非常棒。通過剛才的探索，你們從中體會到什么？

生：一般來說，有些命題當條件充足了，可以得到結(jié)論，命題是真的。

師：像這種由條件推出結(jié)論的有很多，同學(xué)們嘗試歸納一般情形。

師：p看作條件，q看作結(jié)論?！叭魀，則q”為真命題，說明什么？

生：說明條件p是充足了、充分了，可以推導(dǎo)出結(jié)論q。

師：那這樣的條件p應(yīng)該怎么說呢，怎么定義呢？

生：足夠條件，充足條件，充分條件。

師：很好，我們看下教材是如何定義的：“若[p]，則[q]”為真命題，由[p]經(jīng)過推理得出[q]。用符號語言記作[p?q，]稱p是q的充分條件。

師：在定義中，p是條件，q是結(jié)論。什么條件？充分條件。所以條件推出結(jié)論，這個條件就是結(jié)論的充分條件。

【設(shè)計意圖】概念是數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)源地，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該確立概念教學(xué)的核心地位。因此，從數(shù)、形兩個例子自主探究，精心設(shè)計“若p則q的假命題”例子，探究改變條件，體驗改變命題條件（有的是增加條件，有的是替換條件）使結(jié)論成立的數(shù)學(xué)活動過程，揭示概念的形成過程。真正做到了教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，把課堂留給了學(xué)生，這種生動教學(xué)不僅體現(xiàn)了學(xué)生的“說和做”，還體現(xiàn)了學(xué)生的“思和想”，充分呈現(xiàn)出了充分條件概念的形成過程。學(xué)生在理解充分條件概念的同時，學(xué)會文字語言、符號語言的表達。概念的否定是理解概念的重要方面，教師讓學(xué)生在直觀理解的基礎(chǔ)上給出“充分條件”的否定形式，以幫助學(xué)生全面認識和理解概念，順利實現(xiàn)由已有的知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)入新知構(gòu)建的過程。

二、結(jié)合物理電路，關(guān)注概念生成

師：這是一個正常的電路圖。你能發(fā)現(xiàn)其中邏輯關(guān)系嗎？

圖1中的開關(guān)A與燈泡亮有怎樣的聯(lián)系呢？

生：開關(guān)A閉合，則燈泡亮。開關(guān)A不閉合，燈泡就不亮。

師：換個角度，如果燈泡亮呢？

生：則開關(guān)A一定閉合。燈泡不亮，則開關(guān)A不閉合。

師：大家贊同嗎？

生（齊）：贊同。

師：如果增加一個開關(guān)呢？開關(guān)A和燈泡亮又是什么情況呢？大家思考下。

生：開關(guān)A閉合，則燈泡不一定亮。開關(guān)A不閉合，燈泡一定不亮。如果燈泡不亮了，則開關(guān)A不確定。燈泡亮，則開關(guān)A一定閉合。

師：所以要使得燈泡亮，說明開關(guān)A必須是閉合的。這是燈泡亮的一個必備條件。若把開關(guān)A閉合記作q，燈泡B亮記作p，請問：p、q有怎么樣的因果關(guān)系呢？

生：如圖1，p推出q，q推出p。如圖2，p推出q。

師：如圖2，p推出q，如果把p看作條件，q看作結(jié)論。那么p是q的什么條件？

生：充分條件。

師：如果把開關(guān)A閉合作為命題的條件q，燈泡B亮作為命題的結(jié)論p呢？事實是結(jié)論推出了條件。通過剛才的理解，燈泡亮了，開關(guān)A一定閉合。這個結(jié)論p的成立條件q是必須的、必備的，這個條件q是怎么定義呢？

生：一定，必備的、必要條件。

師：也就是說，若p推出q，則q是p的必備、必須的條件。

師：為了加深理解，這個命題的等價命題是什么呢？

生：若非q，則非p。

師：能敘述下嗎？

生：開關(guān)A不閉合，則燈泡不亮。

師：沒有這個條件q，就沒這個結(jié)論p。那么這樣的條件是不是必要條件呢？

師生討論，從而生成必要條件的概念：

“若[p]，則[q]”為真命題，我們就說，由[p]可推出[q]，記作[p?q]，稱[q]是[p]的必要條件?！叭鬧p]，則[q]”為假命題，我們就說，由[p]不可以推出[q]，記作[p] [q]，稱[q]不是[p]的必要條件。

【設(shè)計意圖】依托物理電路圖，讓學(xué)生通過對電路圖的直觀感知，體會到條件的不可缺少，從而感悟邏輯關(guān)系，進而加深對命題新的表述方式的理解，突破必要條件的難點。這樣設(shè)計不但體現(xiàn)了學(xué)科間的聯(lián)系，讓學(xué)生經(jīng)歷感悟—抽象—概括的過程，同時突破難點。概念的否定是概念理解的重要方面，教師讓學(xué)生在直觀理解的基礎(chǔ)上給出“必要條件”的否定形式，以幫助學(xué)生全面認識和理解概念。

三、體驗數(shù)學(xué)活動，構(gòu)建生動課堂

數(shù)學(xué)活動：給定p：x>a，q：x>1。學(xué)生小組討論，設(shè)計關(guān)于充分條件、必要條件的問題，并規(guī)定：A組給定a的范圍，請B組確定充分條件與必要條件。

B組：給定充分條件與必要條件，請A組確定a的范圍。

活動過程：A組提出問題1：已知a=0，請問p是q的什么條件？

B組提出問題1：已知p是q的充分條件，請問a的范圍是什么？

A組提出問題2：已知a>0，請問p是q的什么條件？

B組提出問題2：以A組方式反問A組：當a=1時，p是q的什么條件？

活動形式：相互討論，自主探究，小組發(fā)言。

【設(shè)計意圖】通過以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)活動設(shè)計，教師讓學(xué)生自主構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，加深對充分條件與必要條件的理解，體驗獲取知識的過程，幫助學(xué)生全面掌握本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，再次鞏固所學(xué)知識，為順利進入下節(jié)課的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，起到承前啟后的作用。教學(xué)中，教師充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，通過小組相互出題的形式，讓學(xué)生通過外延辨析，強化概念間的區(qū)別和聯(lián)系，使學(xué)生對概念的本質(zhì)屬性有更深刻的理解，同時為下一節(jié)學(xué)習(xí)充要條件做好鋪墊，展現(xiàn)了教師教學(xué)的“大局觀”。

根據(jù)學(xué)生認知規(guī)律、概念課的教學(xué)內(nèi)容特點以及新課程改革的教育教學(xué)理念，注重充分條件與必要條件概念的生成和理解，教學(xué)內(nèi)容理解深刻、透徹，教學(xué)思路清晰、自然，教學(xué)重點突出。課堂中啟發(fā)性問題適時地打破原有平衡，引領(lǐng)學(xué)生尋找新的平衡點，揭示了概念的本質(zhì)，加深了學(xué)生對概念的深層次理解，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維，提高了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（作者單位：江西師范大學(xué)附屬中學(xué) 江西省南昌市鐵路第一中學(xué)）