謝文鋒 周章松

“倍的認識”是“數(shù)與代數(shù)”領域的一節(jié)概念課。它是兩個量之間的比率關系，即先確定一個標準量，再判斷比較量里面包含了幾個標準量，就是標準量的幾倍。這節(jié)課不好理解，有一定難度。筆者有幸在第七屆“新課堂·新教師”海峽兩岸基礎教育交流研討活動中，聆聽了李喜融老師執(zhí)教“倍的認識”一課。李老師的這節(jié)課立足數(shù)形，始終讓學生在各種模型中進行觀察、思考，借助比較，運用具有正面導向作用的語言，讓學生不斷在變中尋找不變，感悟概念本質(zhì)。深入淺出的教學，效果甚佳，給筆者諸多的啟迪，現(xiàn)將個人的一些感受與同行分享。

一、巧借模型，凸顯概念本質(zhì)

學生在日常生活中很少遇到關于倍的實際問題，加之它是加法結構向乘法結構過渡的關鍵點，思維存在跳躍性，學生在認知上存在障礙。怎樣教才能讓學生學得清晰明了，讓他們不會“遇到倍就乘”呢？李老師這節(jié)課大力借助“形”這一載體，教得扎實有效。

1. 依托不同結構的學習，建立倍的模型。

課伊始，李老師就著眼于“2倍”這一基本的倍數(shù)關系。李老師通過設計兩個基本問題展開教學。①如果紅花比黃花多一些，你猜紅花有幾朵？請畫一畫。（在出示3朵黃花的基礎上提出）讓學生在畫圖中感受兩種花之間存在比較關系。②6和3之間，能否用一個算式表示？完成上述活動后，李老師巧妙引導學生思考：2藏在哪？如何知道這是2？你們是怎么想的？學生在畫一畫、圈一圈等活動的基礎上，借助已有的“份”的經(jīng)驗，從而引出2倍的概念。在這一教學過程中，李老師提供了兩種直觀模型：一為標準化模型，二是變異式模型。這兩種模型均為以形為主的直觀圖，有利于學生在直觀中觀察，直觀中比較，直觀中抽象。如圖1是標準模型。學生由于是初次接觸倍的知識，標準的直觀化結構設計，加上李老師高度重視學生完整地表達倍的認知過程：把3朵黃花看成1份，6朵紅花就有這樣的2份，表示2個3，所以紅花的朵數(shù)是黃花朵數(shù)的2倍。圖文并茂，學生學有所獲。

只有標準化結構顯然是不利于學生進行深層次思考的，學生對倍概念的建立也是有所欠缺的。基于這樣的考慮，李老師又提供了變異式模型，學生通過比較相同之處與不同之處，引導他們辨清倍這一概念的本質(zhì)特征。在變中尋找不變，從而厘清倍的內(nèi)涵，幫助學生實現(xiàn)從加法結構到乘法結構的質(zhì)的飛躍。這一變異式結構在課堂中又是分為兩層來處理的。

（1）當標準結構教完后，緊接著李老師出示一組無序的黃花與紅花圖（圖2）并提問：“這時紅花的朵數(shù)還是黃花的2倍嗎？為什么？”借助這一變異結構的教學，通過師生交流，引導學生關注倍的研究與標準量和比較量有關，關鍵是把哪個量看成標準量，另一個量是標準量的幾份，而與順序無關。

（2）學生前面的學習都是借助具體數(shù)量來感知、理解倍。怎樣脫離實物來理解倍的特征，引導學生從實物的角度過渡到數(shù)之間的對比，實現(xiàn)對倍的深層次理解？李老師安排了兩個小環(huán)節(jié)來實現(xiàn)這個目標。①李老師出示圖3：“綠色長方形是黃色的幾倍？你想怎么做？”②進一步將實物圖抽象成線段圖（圖4），李老師：“這還是5倍嗎？如果黃色是4顆小星星，紅色呢？黃色是5本書，紅色又是什么？”通過這兩個環(huán)節(jié)的教學，學生把思維聚焦在倍的量性特征上面，他們對倍的認知達到了一定的高度。

2. 借助“變化”，深入理解倍的含義。

本課中，李老師也非常重視“變化”學習帶來的效率。他主要通過三個層次的變化來進行教學：一是標準量與比較量同時在變化;二是比較量不變，標準量在變化;三是標準量與比較量的轉(zhuǎn)化。

在第一層次變化中，李老師引導學生拓寬對倍的認知。通過“假如紅花是黃花的3倍，那這幅圖是什么樣的，請你畫出來”這一問題，打開學生的思維閘門。通過學生動手畫，展示不同類型的作品（有以3朵、4朵、5朵黃花為1份，以及在原來基礎上減少黃花朵數(shù)為1份的）。在師生交流的基礎上李老師又適時地拋出問題：“同學們能寫得完嗎？有什么規(guī)律？什么變了什么不變呢？”學生在這樣的思維碰撞中對倍的認識更加深刻了。第二層次變化以一個問題展開（圖5），讓學生思考：“紅花是黃花的幾倍？”學生要依據(jù)所想的倍數(shù)來確定標準量，通過畫一畫的形式探究倍數(shù)變化的原因所在，感悟標準量的重要性。第三層次變化則是隨著標準量的數(shù)量不斷地變化，比較量的數(shù)量也隨著變化。此刻，在表述倍的關系時，標準量與比較量也會隨之變化。在“化繭為蝶”這個環(huán)節(jié)，當出現(xiàn)繭與蝶都是6只時，李老師不失時機地問：“現(xiàn)在可以怎么說？”學生：“繭是蝴蝶的1倍?！崩罾蠋煟骸斑€可以怎么說？”學生：“蝶是繭的1倍。”李老師：“同學們這兩句話看上去都是說繭與蝶的1倍關系，但是實際上它們是不一樣的。繭是蝶的1倍，是把誰看成1份？蝶是繭的1倍又是把誰看成1份呢？”通過這樣的一個例子，讓學生深刻感受到當標準量（即1份量）不一樣，比較量也會隨著變化，在描述倍的關系時，也是隨之變化的，它們所表示的意義是不一樣的。這三類變化由淺入深，層層推進，學生學起來會存在一定困難，好在李老師能充分應用“形”這一手段，讓學生在畫一畫、圈一圈等直觀活動中實現(xiàn)目標。

二、適時拓展，彰顯倍的前后聯(lián)系

倍這一知識的生長點是兩數(shù)相差關系及相應的乘除法知識，倍的后續(xù)教學是一種應用——一個數(shù)的幾倍多幾、少幾的實際問題。怎樣溝通知識間的前后聯(lián)系呢？本節(jié)課李老師也在這方面做了一定的探究。①課伊始，李老師利用黃花與紅花的數(shù)量，提出：“6和3之間，能否用一個算式表示？”學生1：“6-3=3?！睂W生2：“二三得六?！睂W生3：“6÷3=2。”通過師生交流，逐步引出所學知識。這樣的過程，讓學生清楚知道知識從何而來，學得明白。②新知教學之后，就進入對這個知識的應用階段，即求一個數(shù)的幾倍多幾的實際應用。為了拓展對倍的認識，也為了之后的教學，李老師作了以下設計。（當黃花為4朵，紅花為6朵時）師：“現(xiàn)在是幾倍呢？”學生異口同聲：“不可能，沒戲了?！崩罾蠋煟骸罢鏇]戲了，仔細看看，有戲?！睂W生：“1.5倍?！崩罾蠋煟骸俺^1倍了，有2倍嗎？”之后師生結合圖像得出這樣的表述：紅花朵數(shù)是黃花的1倍多2朵。接著出示黃花5朵、紅花6朵，讓學生用這種方式描述兩種花之間的關系。③在“化繭成蝶”這個環(huán)節(jié)，當繭為7只、蝶為5只等不是整倍的關系時，李老師又再一次要求學生結合圖像用語言來描述。這樣的教學，既加深學生對倍的認識，又拓展了學生對倍的知識的儲備，為后續(xù)教學奠定了基礎。

三、妙用語言，激發(fā)學生參與意愿

這節(jié)課中，李老師特別重視語言的正面評價功能。課伊始，大屏幕就呈現(xiàn)“做更好的自己”這6個字，進而提問：“做更好的自己是什么樣的表現(xiàn)呢？”又如，最后一個環(huán)節(jié)，李老師不著急知識的練習鞏固，而是這樣展開：“你知道什么是化繭成蝶嗎？”學生1：“是一個繭慢慢地變成蝴蝶的意思?！睂W生2：“一只蟲變成了繭，又慢慢變成了漂亮的蝴蝶，這是有過程的。”李老師：“你看，我們的學習就是這樣一個過程。”學生3：“我們都是從‘初步的認識到‘很認識的。”李老師：“漂亮的蝴蝶就是這樣變出來的，沒有努力是變不了的，你們要變成更好的自己，就要努力學習思考。”又如，當學生由困惑到豁然開朗時，李老師便及時跟進：“你進步了，這是最主要的，相信你能成為更好的自己?！边@種應用正面導向語言的方式，極大地引發(fā)了學生的內(nèi)在成就感，使得學生參與學習的意愿大大加強，為課堂增色不少。

（作者單位：福建省霞浦縣教師進修學校 責任編輯：王彬）