童廣鵬

(河南省民權(quán)縣高級中學，476800)

中國玩具文化源遠流長,遠在新石器時代就出現(xiàn)了人類原始的玩具,如陶哨、石球等,隨著中華民族經(jīng)濟、科學技術(shù)、文化藝術(shù)的不斷發(fā)展,創(chuàng)造出了眾多絢麗多彩、精巧迷人的玩具.就中國玩具的人文價值取材而言,中國玩具是藝術(shù)與實用的結(jié)合,二者合為一體.數(shù)學是一門嚴謹?shù)目茖W,更是一種代代相傳的文化,因此挖掘其數(shù)學文化意義非凡.下面舉例說明.

一、魯班鎖

魯班是春秋時代魯國人，他的木工接榫(構(gòu)件上利用凹凸方式相接)技術(shù)一流，后人尊稱他為木匠宗師、巧圣先師.為了紀念他，人們把“三星歸位”，“六子連芳”(六個小部件，分別為禮、樂、射、御、書、數(shù))這些連鎖式益智玩具稱為“魯班鎖”， 這也是早年木工師傅授徒時讓徒弟練習榫頭的樣本.中國古代蓋皇宮、廟宇不可使用鐵釘，怕破壞風水而必須用接榫互鎖的方式.直到現(xiàn)在，中式木匠仍然將它代代相傳.魯班鎖實際上是一種涉及立體幾何的玩具，通過幾何分割，可以組成許多鎖定方式.

例1魯班鎖(孔明鎖)是中國傳統(tǒng)的智力玩具,起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu),這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合,十分巧妙,外觀看是嚴絲合縫的十字立方體,其上下、左右、前后完全對稱.從外表上看,它由六根等長的正四棱柱體分成三組,經(jīng)90°榫卯起來,如圖1.若正四棱柱體的高為6,底面正方形的邊長為1,現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi),則該球形容器的表面積的最小值為______.(容器壁的厚度忽略不計)

評注采用補形的方法,將魯班鎖內(nèi)置于一個長方體中,利用長方體的對角線可找到所求球的半徑.此類高考題雖然以文化題形式出現(xiàn),但萬變不離其宗,在解題的過程中不能偏離所學的數(shù)學公式,不能因為問題的形式變了而不知解題思路.

二、九連環(huán)

九連環(huán)在中國具有悠久的歷史，其娛樂性、健身性一直為熱愛益智游戲的人們所稱道.九連環(huán)被西方認為是人類發(fā)明的最奧妙的玩具之一，其引人之處在于游戲過程中環(huán)環(huán)相扣的連續(xù)性.九連環(huán)是在長方形的框架上排列著九個圓環(huán)和九根立柱，圓環(huán)之間環(huán)環(huán)相扣其間還貫穿著一枚細長的叉套，而且叉套也被重重的立柱阻隔.解連環(huán)就是通過一系列動作取下叉套.英國著名科學家李約瑟認為，九連環(huán)起源于中國最古老的計算器——算盤.

例2九連環(huán)是我國的一種古老的智力游戲，它環(huán)環(huán)相扣，趣味無窮(如圖2).據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載:“兩環(huán)互相貫為一,得其關(guān)捩,解之為二,又合而為一”.按照某種規(guī)則解開九連環(huán)，至少需要移動圓環(huán)a9次.我們不妨考慮n個圓環(huán)的情況，用an表示解下n個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，用bn表示前(n-1) 個圓環(huán)都已經(jīng)解下后，再解第n個圓環(huán)所需的次數(shù)，按照某種規(guī)則可得:a1=1a2=2,an=an-2+1+bn-1,b1=1,bn=2bn-1+1.

(1) 求bn的表達式;

(2) 求a9的值并求出n為奇數(shù)時an的表達式;

解(1)由bn=2bn-1+1，得bn+1=2(bn-1+1),則bn+1=(b1+1)·2n-1=2n,即bn=2n-1.

(2)由an=an-2+1+bn-1，得an=an-2+2n-1，故a9=a7+28=a5+28+26=a3+28+26+24=a1+28+26+24+22=341.

評注解決九連環(huán)問題,主要是求an的遞推關(guān)系.an=an-2+2n-1說明了第n次與第n-2次的關(guān)系,利用這個條件可以得到整個數(shù)列的項.

三、圍棋

圍棋,起源于中國,中國古代稱為“弈”.傳為帝堯所作,春秋戰(zhàn)國時期就有記載,可以說是棋類之鼻祖,至今已有4000多年的歷史.圍棋在隋唐時經(jīng)朝鮮傳入日本,流傳到歐美各國,西方名稱“Go”.圍棋蘊含著中華文化的豐富內(nèi)涵,它是中國文化與文明的體現(xiàn).

解設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為事件A,“從中取出2粒都是白子”為事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”為事件C,則C=A+B,且事件A與B互斥.

評注本題利用互斥事件概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)求解,基本事件的確定是互斥事件運用的前提.

四、七巧板、十五巧板

十五巧板,清朝浙江省德清知縣童葉庚(1828-1899)在同治年間(1862年)所發(fā)明,童葉庚將一個正方形切割成十五塊,并將這十五塊拼板叫做益智板.出版收錄全家創(chuàng)作圖案的《益智圖》以推廣此玩具,推出后蔚為風潮.童葉庚益智板的板塊數(shù)字15是根據(jù)易經(jīng)的卦與爻而來的:一太極、二儀、四象、八卦故板塊為:一個平行四邊形、兩個半圓形、四個弧角和八個(四對)多邊形.這些數(shù)字(1、2、4、8)相加正好是15，因此又稱之為十五巧板.

例4十五巧板,又稱益智圖,是一種類似七巧板的智力游戲,由十五塊板組成,其中的三角形均等腰直角三角形(如圖4(a)).它為清朝浙江省德清知縣童葉庚在同治年間所發(fā)明,能拼出草木、花果、鳥獸、魚蟲、文字等圖案.圖4(b)是用十五巧板拼出的一個正在跑步的人的圖案.從該圖案中任取一點,該點恰好落在陰影部分中的概率為( )