陳亞萍 曾小平

(1.黔南民族師范學院教育科學學院 558000;2.首都師范大學初等教育學院 100048)

國際數(shù)學與科學教育成就趨勢研究(TIMSS)，是由國際教育成就評價協(xié)會(IEA)組織的大型研究項目．TIMSS認為，高中階段的數(shù)學學習應當為大學學習做充分的準備，而大學學習又是為將來職業(yè)做準備的．今天的高中學生，將會成為明天的科學家與工程師，將會成為科學創(chuàng)新與技術發(fā)展的重要力量．因此，國家和社會都應該高度關注高中生的數(shù)學水平，以確保其為富有挑戰(zhàn)的大學學習做好充分的準備．首次TIMSS高中數(shù)學評價于1995年進行，第二次于2008年進行，第三次于2015年進行．2014年3月，IEA的官方網(wǎng)站上發(fā)布了TIMSS2015高中數(shù)學評價框架，2016年11月公布了評價結果，其中對學生數(shù)學認知的評價值得我們學習和參考．

1 TIMSS2015的高中數(shù)學認知

TIMSS2015高中數(shù)學評價的“認知領域(Cognitive Domains)”包含“知道”、“運用”和“推理”三個區(qū)域，各區(qū)域所占比重分別為35%、35%和30%．

(1)知道(Knowing)

“知道”是指學生需要知道的數(shù)學事實、概念和程序．該區(qū)域包含“回憶”、“辨認”、“計算”和“提取”四個層級，各層級的含義見表1．

表1 “知道”的四個層級

(2)運用(Applying)

“應用”是指運用知識和概念的理解來創(chuàng)造表征和解決問題的能力．問題可能來源于現(xiàn)實生活，也可能來源于數(shù)學內(nèi)部．該區(qū)域包含“確定”、“表征/建模”和“實施”三個層級，各層級的含義見表2．

表2 “運用”的三個層級

(3)推理(Reasoning)

“推理”需要邏輯性和系統(tǒng)性思維，包括形成猜想、基于預先假設與已有規(guī)則進行邏輯演繹推理和證明結果．該區(qū)域包括“分析”、“整合/綜合”、“評價”、“結論”、“概括”和“辯護”六個層級，各層級的含義見表3．

表3 “推理”的六個層級

2 TIMSS2015的數(shù)學認知基準

TIMSS2015以高中數(shù)學內(nèi)容為載體，通過對學生運用數(shù)學知識解決問題的研究，將高中學生的數(shù)學認知劃分為三個國際基準(International Benchmarks)，即中等(Intermediate)、較高(High)和高級(Advanced)，對應分值為475、550和625．

(1)中等基準

學生具有使用代數(shù)、微積分和幾何中的概念和程序來解決常規(guī)問題的能力．具體表現(xiàn)為：能夠應用公式或公式變形來解決問題，確定幾何數(shù)列中的項，分析簡單對數(shù)方程的近似解，識別絕對值函數(shù)的圖形和識別復合函數(shù)；能夠求指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和簡單有理函數(shù)的導數(shù)，求有理函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的極限，在函數(shù)的導數(shù)和函數(shù)的圖形之間建立聯(lián)系；能夠使用幾何圖形的基本屬性和畢達哥拉斯定理來解決問題，以坐標的形式進行向量的加與減．

例如，在“知道”維度，在給定函數(shù)圖像的情況下識別其絕對值函數(shù)的圖像，學生可以完成問題1．

問題1：已知函數(shù)y=f(x)的圖像如下．

那么，函數(shù)y=|f(x)|的圖像是哪一個？( )

A

B

C

D

又如，在“知道”維度，確定等比數(shù)列的項，學生可以完成問題2．

A.t6B.t7C.t8D.t81

再如，在“應用”維度，在距離和仰角已知的情況下計算高度，學生可以完成問題3．

問題3：海中有一個小島，小島上有一座燈塔，小島高出海平面4米．海面上有一艘航船，與燈塔的水平距離為170米，與燈塔頂?shù)难鼋菫?0°，燈塔的高度最接近多少？( )

A.22 B.26 C.30 D.34

(2)較高基準

學生具有大量使用代數(shù)、微積分、幾何和三角中的概念和程序來解決常規(guī)和非常規(guī)情境中的多步驟問題的能力．具體表現(xiàn)為：能夠分析和解決代數(shù)問題(包括在真實情境中的問題)，能夠解決需要解釋函數(shù)與其圖像相關的問題，用函數(shù)觀點分析不等式，可以進行對數(shù)運算和復數(shù)運算；能夠了解連續(xù)性和可微性，可以分析函數(shù)解析式和圖像，可以將函數(shù)圖像與其一階和二階導數(shù)的圖像和表達式聯(lián)系起來，對積分有一些概念性的理解；能夠使用三角函數(shù)來解決涉及三角函數(shù)和幾何圖形的各種問題，可以使用笛卡爾平面來解決問題，識別向量的垂向量，并證明坐標系中給出的四邊形是平行四邊形．

例如，在“應用”維度，根據(jù)函數(shù)圖像確定參數(shù)的值，學生可以完成問題4．

又如，在“應用”維度，根據(jù)三角形中的角計算邊的比，學生可以完成問題5．

再如，在“運用”維度，解決涉及兩個圓柱體體積的應用題，學生可以完成問題6．

問題6：工廠制造底面直徑為6厘米、容積為600立方厘米的圓柱體容器．如果要使圓柱體容器容積擴大到750立方厘米，高度保持不變，那么它的底面直徑應當是多少厘米？

例如，在“推理”維度，根據(jù)一階導函數(shù)確定原函數(shù)，學生可以完成問題7．

問題7：函數(shù)f(x)的一階導數(shù)f′(x)的圖像如下．

下面圖像中，哪個最有可能是函數(shù)f(x)的圖像？( )

A

B

C

D

(3)高級基準

學生深刻理解概念、掌握數(shù)學運算程序和數(shù)學推理技巧，可以解決復雜情境中的代數(shù)、微積分、幾何和三角函數(shù)問題．具體表現(xiàn)為：在代數(shù)中，學生可以用函數(shù)推理解決純粹數(shù)學問題，解決復數(shù)與排列問題，進行級數(shù)求和；在微積分中，深刻理解函數(shù)的連續(xù)性和可微性，可以解決不同背景下的優(yōu)化問題并證明其解答的合理性，可以使用定積分來計算兩條曲線之間的面積；能夠使用幾何推理來解決復雜問題，用向量的屬性來表達向量之間的關系，使用三角函數(shù)來解決關非常規(guī)幾何圖形問題．

例如，在“運用”維度，根據(jù)系數(shù)確定函數(shù)圖像的交點，學生可以完成問題8．

又如，在“運用”維度，在給定底面直徑和高的關系下求圓柱的最大體積，學生可以完成問題9．

問題9：用一個通過圓柱中心的平面去截圓柱，截面是一個周長為6米的長方形．滿足這個條件的圓柱的最大體積是多少？( )

A.2.5米 B.2米 C.1米 D.1米

E.0.5米

再如，在“推理”維度，能計算函數(shù)圖像圍成圖形的面積，學生可以完成問題10．

問題10：計算函數(shù)y=x2與y=5x-4所圍成區(qū)域的面積．

3 數(shù)學認知的研究結果

來自全球的10個國家和地區(qū)超過5.6萬名學生參與了TIMSS2015的高中數(shù)學評價研究，取得了比較可信的研究結果．

(1)整體趨勢令人失望

TIMSS2015高中數(shù)學的研究顯示：每周進行6小時以上的數(shù)學加強學習的俄羅斯學生和黎巴嫩學生成績最高，成績分別為540和532．其余俄羅斯學生，連同美國和葡萄牙學生的數(shù)學成績第二高，成績分別為485、485和482；挪威、法國和斯洛文尼亞學生的成績相當，分別為459、463和460；瑞典和意大利學生的成績相當，分別為431和422．

TIMSS2015高中數(shù)學的研究顯示：參與國家和地區(qū)中，達到高級、較高和中等基準的人數(shù)比例為2%、14%和43%．可見，要要達到高級基準非常困難，俄羅斯、黎巴嫩和美國7%～10%達到了高級基準，但在其他國家和地區(qū)只有1%～3%．與1995年相比，達到中級基準的學生百分比比較低，并且在4個國家和地區(qū)中出現(xiàn)了大幅下降．

在具有20年趨勢數(shù)據(jù)的6個國家和地區(qū)中，法國、意大利和瑞典的高中生的數(shù)學成績從1995年至2015年整體出現(xiàn)明顯下降趨勢．俄羅斯、斯洛文尼亞和美國沒有顯著變化．作為亮點，僅挪威和瑞典的高中生的數(shù)學成績在2008年至2015年期間有所上升．

(2)認知存在不平衡性

在TIMSS2015研究的“知道”、“運用”、“推理”三個內(nèi)容領域中，雖然在認知領域有一些平衡，但相對整體成績而言，大多數(shù)國家和地區(qū)至少有一個優(yōu)勢和一個弱點．在2015的10個參與國家和地區(qū)中，在“知道”方面表現(xiàn)相對較強的有4個，較弱的有3個；在“運用”方面表現(xiàn)相對較強的有2個，較弱的有3個；在“推理”方面表現(xiàn)相對較強的有3個，較弱的有3個．

按性別劃分的認知領域成就差異顯示，男孩表現(xiàn)優(yōu)于女孩，尤其在推理方面優(yōu)勢明顯．在2015的參與國家和地區(qū)中，男孩表現(xiàn)比女孩好的國家和地區(qū)：在“知道”方面有5個，在“運用”方面有3個；在“推理”方面有6個，在數(shù)學認知方面沒有發(fā)現(xiàn)女孩高于男孩的情況．

TIMSS2015高中數(shù)學的研究顯示，男孩的總體數(shù)學成績也明顯高于女孩．參與研究的國家和地區(qū)中，在代數(shù)方面男孩高于女孩的國家和地區(qū)有5個，在微積分方面有5個，在幾何方面有6個，在具體內(nèi)容領域方面沒有發(fā)現(xiàn)女孩高于男孩的情況．

4 TIMSS2015給我們的啟示

雖然中國大陸沒有參與TIMSS2015高中數(shù)學評價，但認真研讀評價框架和結果，特別是對高中學生“數(shù)學認知”的評價研究，對優(yōu)化我們的數(shù)學教育評價有重要的現(xiàn)實意義．

(1)關注對數(shù)學認知的評價

我們目前的高中數(shù)學教育評價與考試，主要關注學生對具體數(shù)學知識與內(nèi)容的掌握程度．常常表現(xiàn)為以高難度、高技巧的題目，考查學生對數(shù)學概念的形式化記憶、考察學生對復雜的程序性數(shù)學運算，考查學生高難度的恒等變形．這些評價關注的是靜態(tài)的數(shù)學的內(nèi)容，而不是動態(tài)的學生的認知；側重的是熟練的技巧，而不是有創(chuàng)建性的探索與思考．

數(shù)學是思維的科學，數(shù)學被譽為是人類思維的體操．TIMSS2015重點評價高中學生基礎知識的掌握和數(shù)學思考的過程，重點關注學生數(shù)學認知的發(fā)展．因此，建議我們的數(shù)學教育評價，更多地關注學生認知的發(fā)展，降低試題難度，重點考察學生了解、理解、運用、推理和問題解決的具體過程．

(2)關注對問題解決的評價

我們目前的評價試題中有一部分應用題，大多是學生平時訓練過的練習題，可以算作人為構造的文字題．它們是結構良好的、學生熟悉的、不用動多大腦筋就能計算出結果的封閉性試題；而不是結構不良的、陌生的、需要進行深入思考才能得到一定程度的答案的開放性問題．

反觀TIMSS2015，重視對學生解決數(shù)學問題的評價．TIMSS認為解決問題是“應用”的核心，重點是熟悉日常任務，解決來源于現(xiàn)實生活和數(shù)學中的真實的問題．同時，TIMSS還認為 “推理”中列舉的很多認知層級都會在思考和解決陌生的問題中表現(xiàn)出來，這是數(shù)學教育價值的外在表現(xiàn)．因此建議，我們的數(shù)學教育評價，應該設置一些學

生陌生的、結構不良的數(shù)學問題、準數(shù)學問題和現(xiàn)實生活問題；要讓學生面對一些開放性問題與真實情境，在過程中考察學生的思維發(fā)展與認知狀況．

(3)加強數(shù)學學習的性別差異研究

數(shù)學學習上的性別差異，一直是國際數(shù)學教育界關注和研究的難點問題．TIMSS2015的研究表明，男孩在數(shù)學認知的總體表現(xiàn)和三個維度上都好于女孩，尤其在推理維度差異明顯．國外相關研究還表明，男孩在視覺/空間能力上優(yōu)于女孩，而女孩在計算方面的表現(xiàn)優(yōu)于男孩．可見，性別差異在高中階段的數(shù)學學習中是存在的．

然而，我們國家的高中學生在學習數(shù)學上是否存在性別差異，至今尚未看到有一定說服力的研究．因此，我們需要加強這方面的研究，比如數(shù)學認知及其各個維度、數(shù)學態(tài)度與情感、數(shù)學計算與直觀想象等方面是否存在性別差異．然后，我們才能科學地利用研究成果，為不同性別的學生提供有針對性的數(shù)學教育，更好地促進學生發(fā)展，提高數(shù)學教育的質(zhì)量．