2020年6月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

(北京粉筆未來科技有限公司 鄭小彬)

展開得abc=a+b+c+2,

則待證不等式

≤(a+b+c)2

≤2(ab+bc+ca-a-b-c),

由均值不等式有

故只需證

≤2(ab+bc+ca-a-b-c),

展開整理，等價(jià)于證

ab+bc+ca-2(a+b+c)≥0,

由均值不等式有

所以ab+bc+ca-2(a+b+c)

故不等式得證.

(山東省泰安市寧陽第一中學(xué) 劉才華 271400)

證明設(shè)∠BCD=α,∠ACD=β,則

?1-(sinα+sinβ)+(cosα+cosβ)-sin (α+β)+cos (α+β)=0.

設(shè)α+β=x，則β=x-α.代入上式并整理得

(1+cosα-sinα)(1-sinx)+

cosx(1+sinα+cosα)=0

故三角形ABC是直角三角形.

2548已知m>1,求證:存在相異正數(shù)a,b,使am-alna=bm-blnb=1,且a+b>2.

(四川省成都華西中學(xué) 張?jiān)迫A 610051)

則當(dāng)x=1時(shí),f′(x)=0,當(dāng)01時(shí),f′(x)>0,

得f(x)在區(qū)間(0,1)上為減函數(shù),在(1,+∞)上為增函數(shù),則f(x)≥f(1)=1.

由m>1可知函數(shù)y=f(x)圖象與函數(shù)y=m圖象有兩個(gè)相異交點(diǎn),

即關(guān)于x的方程f(x)=m有相異二實(shí)根,

即存在相異正數(shù)a,b,使f(a)=f(b)=m,

即am-alna=bm-blnb=1.

故存在相異正數(shù)a,b,

使am-alna=bm-blnb=1.

不妨設(shè)a>b>0，

2549如圖1，△ABC中的邊AC與BC不等，其內(nèi)切圓I與△ABC的邊BC、CA、AB切于點(diǎn)D、E、F,邊AB的中點(diǎn)為M,.直線DE與△ABC的外接圓O交于點(diǎn)H、G,證明：H、F、M、G四點(diǎn)共圓.

(安徽省旌德中學(xué) 趙忠華 242600)

圖1

圖2

證明如圖2，因?yàn)锳C≠BC,

所以DE與AB不平行，

設(shè)直線DE與直線BA交于點(diǎn)X,

由圓I為△ABC的內(nèi)切圓得

AE=AF,BF=BD,CD=CE.

從而XA·BF=XB·AF,

即XA·(XB-XF)=XB·(XF-XA),

即2XA·XB=(XA+XB)·XF=2XM·XF,

得XM·XF=XA·XB=XH·XG.

于是H、F、M、G四點(diǎn)共圓.

2550 設(shè)△ABC的三邊長、三個(gè)內(nèi)角平分線長、半周長及面積分別為a,b,c,wa,wb,wc,p,Δ,且∑為三元循環(huán)和,求證：

(1)

(天津水運(yùn)高級技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

證明由內(nèi)角平分線長公式

立得

(2)

另一方面由

代入(2)式整理立得(1).

2020年7月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2551 設(shè)△ABC的面積為S,證明：

(華中師范大學(xué) 國家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心 彭翕成 曹洪洋 430079)

(江蘇省溧陽市光華高級中學(xué) 錢德全 213300;江蘇省溧陽市永平小學(xué) 張曉蔚 213333)

2553在銳角△ABC中，求證：

2cosAcosB+2cosBcosC+2cosCcosA

≤4cosAcosBcosC+1≤cosA+cosB+cosC.

(安徽省樅陽縣宏實(shí)中學(xué) 江保兵 246700)

2554已知⊙O為△ABC的外接圓，⊙Ia為∠BAC內(nèi)的旁切圓，∠A的外角平分線交⊙O于點(diǎn)P，直線PIa交⊙O于點(diǎn)T,⊙Ia切BC于點(diǎn)D,切AB的延長線于點(diǎn)E.求證：∠ATP=∠DTP.

(江西省高安市石腦二中 王典輝 330818)

(興化市教育局教研室 張俊 225700)