丁益民

(江蘇省蘇州實驗中學(xué) 215011)

新版蘇教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(下稱新版教材)經(jīng)過多年的研制、試教、調(diào)整，于2019年獲得通過并開始投入使用.新版教材較2004版蘇教版教材(下稱舊教材)相比在體系上發(fā)生了較大變化，同時與舊教材保持一致的內(nèi)容也較多，每章的開篇都配有章首語便是其中之一.章首語是一章之首，提供了與本章教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的問題情境，一般是學(xué)生熟悉的生活背景或?qū)W習(xí)經(jīng)驗作為引子，它們是本章核心內(nèi)容的原型，在該章中將會多次出現(xiàn)，起到統(tǒng)領(lǐng)全章的作用.同時，章首語也含有引領(lǐng)整章內(nèi)容的問題，是該章的知識生長點、核心內(nèi)容或研究方法，對本塊內(nèi)容的學(xué)習(xí)起先行組織者的作用.

在舊教材的使用過程中，一線教師也越來越清楚地認(rèn)識到章首語的教學(xué)價值和教學(xué)功能，在倡導(dǎo)單元教學(xué)和素養(yǎng)提升的背景下，審視新教材中章首語的內(nèi)涵就顯得十分必要，本文擬以新版教材必修中的章首語為例進(jìn)行闡述，敬請批評指正.

1 強(qiáng)調(diào)認(rèn)知基礎(chǔ)，重在經(jīng)驗喚醒

奧蘇貝爾曾經(jīng)說過：“如果我不得不把教育心理學(xué)的所有內(nèi)容簡約成一條原理的話，我會說影響學(xué)習(xí)的最重要的因素是學(xué)生已知的內(nèi)容，弄清了這一點后，再進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué).”學(xué)生的學(xué)習(xí)活動并不是簡單的信息積累，而是新舊知識經(jīng)驗在相互作用下引發(fā)了知識結(jié)構(gòu)的重組.有效的學(xué)習(xí)是學(xué)生的經(jīng)驗體系在一定環(huán)境中由內(nèi)而外地“生長”，必須以學(xué)習(xí)者原有的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)來實現(xiàn)知識的建構(gòu).新版教材在編寫中特別關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，特別是在章首語的編寫上更體現(xiàn)這一點，下表是新版教材中相關(guān)章節(jié)的章首語主要表述語句.

章節(jié)主要表述語句第1章 集合在過去的學(xué)習(xí)中,我們已經(jīng)使用了“自然數(shù)集”“有理數(shù)集”“實數(shù)集”等術(shù)語.……第3章 不等式我們曾經(jīng)用等式(方程)刻畫一些相等關(guān)系,用不等式刻畫一些不等關(guān)系,用函數(shù)刻畫一些函數(shù)關(guān)系,……第4章 指數(shù)與對數(shù)在初中,我們就知道了a-n=1an(a≠0,n∈N)……第5章函數(shù)的概念與性質(zhì)在初中,我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)y=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0),反比例函數(shù)y=kx(k為常數(shù),k≠0),二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0),知道了“函數(shù)”的定義……第6章 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)ab=N,對此,我們已分別學(xué)習(xí)了乘方運算、開方運算和對數(shù)運算.第8章函數(shù)應(yīng)用在過去的學(xué)習(xí)中,我們已經(jīng)看到,函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和變化規(guī)律的最為重要的數(shù)學(xué)模型.第10章三角恒等變換在《數(shù)學(xué)(必修第一冊)》第7章中,我們從點的數(shù)學(xué)表示開始初步研究了圓周上一點的運動.

通過上表可看出，高中許多知識的學(xué)習(xí)是“過去的學(xué)習(xí)”的延續(xù)，是“初中”知識的生長，這些章首語力求從學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)中進(jìn)行知識經(jīng)驗的喚醒，它既是知識生長的“種子”，也是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的認(rèn)知“導(dǎo)航”，所有的教學(xué)活動都將建立在這些知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上.初中階段數(shù)學(xué)知識相對具體，高中階段知識則相對抽象，通過章首語幫助學(xué)生從已有的認(rèn)知出發(fā)完成從初中到高中的過渡，特別是剛進(jìn)高一的必修階段，這一點尤為重要.

關(guān)注學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)是實施有效教學(xué)的基礎(chǔ)，掌握學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)是實施有效教學(xué)的前提，發(fā)展學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)是實施有效教學(xué)的保證.找準(zhǔn)知識起點，關(guān)注經(jīng)驗起點，激活思維起點，在學(xué)生原有認(rèn)知水平上組織和開展教學(xué)活動，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性.

2 強(qiáng)調(diào)知識關(guān)聯(lián)，凸顯整體建構(gòu)

2017版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點，關(guān)注數(shù)學(xué)邏輯體系、內(nèi)容主線、知識之間的關(guān)聯(lián).數(shù)學(xué)是一個不可分割的、相互聯(lián)系的整體.數(shù)學(xué)的整體性不僅體現(xiàn)在內(nèi)容之間的聯(lián)系上，還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)核心概念所反映出的數(shù)學(xué)思想方法的前后一致性上，數(shù)學(xué)教育的價值就蘊(yùn)藏在這些數(shù)學(xué)核心概念及其相互聯(lián)系之中.因此，數(shù)學(xué)知識的整體性和聯(lián)系性，決定了數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從大處著眼、小處著手.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)所具備的整體性和聯(lián)系性也決定了數(shù)學(xué)教學(xué)要強(qiáng)化整體性，凸顯知識的聯(lián)系性.

新版教材在章首語的設(shè)計上很強(qiáng)調(diào)從知識的關(guān)聯(lián)性去引入問題，比如必修1第3章這樣寫到：在研究的過程中，我們看到，相等關(guān)系與不等關(guān)系是緊密聯(lián)系的.例如，一元一次方程ax+b=0與一元一次不等式ax+b>0，在結(jié)構(gòu)、性質(zhì)、解法等方面就具有很大的相似性.我們還看到，等式、不等式、函數(shù)之間也是緊密聯(lián)系的.例如，一元一次方程ax+b=0、一元一次不等式ax+b>0與一次函數(shù)y=ax+b之間具有“統(tǒng)一性”：……

這樣的表述實際是引導(dǎo)學(xué)生回顧以往的學(xué)習(xí)歷程，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)新的函數(shù)模型提供經(jīng)驗范式，體現(xiàn)了整體教學(xué)的設(shè)計思路.從學(xué)生學(xué)習(xí)角度看，喚醒他們在初中初步建立起的用函數(shù)的觀點認(rèn)識方程、不等式的認(rèn)知過程和活動經(jīng)驗，引導(dǎo)他們感悟數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，充分認(rèn)識函數(shù)的重要性，認(rèn)識函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線.從知識的關(guān)聯(lián)性上，方程、不等式是函數(shù)的兩類集合({(x,y)|f(x)=0}和{(x,y)|f(x)≠0})的代數(shù)表征，同時它們又是函數(shù)圖像上的點對x軸的位置劃分，即圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)就是方程y=0的解，落在x軸上(下)方區(qū)域內(nèi)的點的橫坐標(biāo)就是不等式y(tǒng)>0(<0)的解.這樣的章首語三位一體地揭示了函數(shù)、方程、不等式的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，同時也凸顯了函數(shù)的核心地位，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)過程中要重視其在研究方程、不等式方面的價值體現(xiàn)，以及在解決方程和不等式問題時要從函數(shù)的角度進(jìn)行審視，這樣的雙向認(rèn)知活動為更好地把握知識的本質(zhì)提供示范.

像這樣的章首語在新教材中很多，通過揭示知識間的關(guān)系來指導(dǎo)學(xué)生如何進(jìn)行本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)——或提供學(xué)習(xí)的思維(經(jīng)驗)范式，或由舊知提出新的問題，或?qū)χ爸R的拓展等，教師要充分理解這些章首語中相關(guān)知識的邏輯關(guān)聯(lián)和內(nèi)在聯(lián)系，這樣才會有體現(xiàn)整體性的教學(xué)設(shè)計和教學(xué)實施.

3 強(qiáng)調(diào)問題引領(lǐng)，體現(xiàn)單元教學(xué)

核心素養(yǎng)的提出促使教學(xué)方式要發(fā)生改變，教學(xué)設(shè)計要從設(shè)計一個知識點或課時轉(zhuǎn)為設(shè)計一個大單元的教學(xué).大單元教學(xué)設(shè)計具體體現(xiàn)在大觀念(目標(biāo)定位)、大主題或大問題(引領(lǐng))、大過程(實施).其中大主題或大問題的提出就是要打破教學(xué)課時的相對孤立的境況，改變“只見樹木不見森林”的設(shè)計方式，以鮮明的主題背景或統(tǒng)領(lǐng)整章的問題為單元教學(xué)的串聯(lián)引線，在大問題引領(lǐng)下實現(xiàn)每個概念的有機(jī)生成，體現(xiàn)一種“公理化”的知識建構(gòu)序列.新版教材在某些章節(jié)的首語中就遵循了這樣的編寫理念，如第7章的章首語：

如圖1，P是半徑為r的圓O上一點，P點的運動可以形象地描述為“周而復(fù)始”.那么，點P按怎樣的規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)？用什么樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫呢？

圖1

這是統(tǒng)領(lǐng)全章的大問題，也是三角函數(shù)概念的生長點，教材把對周期性現(xiàn)象的研究視為教學(xué)起點，將三角函數(shù)看成是刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，用函數(shù)的觀點來看三角函數(shù)，是函數(shù)概念學(xué)習(xí)的進(jìn)一步深化與具體化.整個三角函數(shù)的教學(xué)過程就應(yīng)該是對這個大問題不斷深究和作出回答的過程，即大問題引領(lǐng)下的大過程，同時這個過程也是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)地研究數(shù)學(xué)模型的全過程(提出問題——建構(gòu)數(shù)學(xué)模型——研究數(shù)學(xué)模型——應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題)，讓學(xué)生經(jīng)歷從周期性運動的原型，通過數(shù)學(xué)抽象到建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程.在解決這個問題中要始終突出三角函數(shù)是刻畫周期性變化的數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)，突出周期性——不僅要在概念的建構(gòu)過程中，還要在研究模型的性質(zhì)時(如誘導(dǎo)公式的研究、三角函數(shù)的圖象的學(xué)習(xí)等等)都要突出周期性的作用，并把這些研究活動看成是建構(gòu)模型的一部分.

由大問題(核心問題)產(chǎn)生系列問題的整體設(shè)計有助于學(xué)生認(rèn)識知識的本質(zhì)，這種建構(gòu)性的學(xué)習(xí)過程更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也更利于學(xué)生學(xué)習(xí)如何進(jìn)行一般性的科學(xué)研究，有助于學(xué)科素養(yǎng)或者說是科學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成，這就是這類章首語更深層的價值所在.

4 強(qiáng)調(diào)現(xiàn)實背景，引導(dǎo)數(shù)學(xué)抽象

史寧中教授說：“數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象.”數(shù)學(xué)抽象是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)盡可能地讓學(xué)生參與完整的抽象活動(包括感知與識別、分類與概括、想象與建構(gòu)、定義與表征、系統(tǒng)化與結(jié)構(gòu)化)，經(jīng)歷完整的抽象過程，這是因為學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)是在抽象過程中逐步培育而成，并且只有完整的抽象活動、抽象過程才能培育出完整的抽象能力和抽象素養(yǎng).

基于此，與舊教材相比，新版教材在章首語編寫時更重視從現(xiàn)實情境中進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象活動的引導(dǎo)與示范.如第九章“平面向量”設(shè)計了這樣的章首語：

冬天到了，大雪過后，白雪皚皚.如果你穿上滑雪板，站在被雪覆蓋的、平滑的斜坡上，你會感到一個力拉著你向下滑行，而且斜坡越陡，這個力就越大，下滑的加速度也越大.

把木塊放在在光滑的斜面上，木塊將向下滑動.斜面的坡度越大，木塊下滑的加速度也越大.

章首語出現(xiàn)的“力”“加速度”等都是物理中的矢量，這些矢量是學(xué)生在日常生活中能夠感受到的量，也是數(shù)學(xué)中向量的原型，正是因為向量具有這樣的豐富的現(xiàn)實背景和物理背景，為向量的概念建構(gòu)提供了可行的抽象路徑：從具體實例中抽象出共同本質(zhì)特征——定義——數(shù)學(xué)表示.進(jìn)而，我們在“向量的概念”、“向量運算”、“向量基本定理及坐標(biāo)表示”等章節(jié)中都看到了物理中“斜坡上的小木塊”的身影，充分體現(xiàn)了“向量源于力學(xué)”的歷史事實.選取學(xué)生熟悉的典型實例，提供豐富的現(xiàn)實背景，讓學(xué)生在熟悉的情境中進(jìn)行不同對象(運算)的抽象過程，熟悉數(shù)學(xué)抽象的“基本套路”，這是一種完整統(tǒng)一的抽象活動，將能幫助他們在概念形成的學(xué)習(xí)中學(xué)會數(shù)學(xué)抽象，這正是此類章首語所積極倡導(dǎo)的.

5 強(qiáng)調(diào)知識發(fā)生，還原數(shù)學(xué)本真

章首語往往是某一數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)分支或模塊知識的開始，這些內(nèi)容往往體現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史軌跡，更多地承載著傳播數(shù)學(xué)文化的功能.在復(fù)數(shù)概念的產(chǎn)生過程中，許多數(shù)學(xué)家經(jīng)過長期艱難曲折的探索，這其中就蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)文化課程資源.實際上，一些概念的產(chǎn)生本身就經(jīng)歷漫長的歷史過程，比如復(fù)數(shù)系的建立就經(jīng)歷了近300多年的努力才得以建立而成，要讓學(xué)生在短短的幾節(jié)課時間內(nèi)進(jìn)行自主建構(gòu)根本不可能.從知識產(chǎn)生的歷史真相中去學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)引入的歷史需求，感悟數(shù)系的擴(kuò)充原則，這是最真實的數(shù)學(xué)知識，也才能真正引發(fā)學(xué)生思維、觀念和情感上的共鳴.

在這些反映數(shù)學(xué)本真的數(shù)學(xué)史素材的利用上，可將知識產(chǎn)生的歷史過程進(jìn)行意義提取、適度整合，將其中的某些過程(環(huán)節(jié))進(jìn)行微型模擬(比如設(shè)計一定范圍方程有解的問題情境)，讓學(xué)生嘗試從數(shù)學(xué)家的視角進(jìn)行似真建構(gòu)，在與歷史相似的模擬情境中產(chǎn)生認(rèn)知的原動力，形成數(shù)學(xué)概念的理性建構(gòu).只有盡可能地再現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生，才可能學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的思維方式，進(jìn)而才可能形成理性的思維.

當(dāng)然，新版教材中章首語的內(nèi)涵遠(yuǎn)非這些，還需在使用過程中進(jìn)一步研究，充分挖掘其教學(xué)價值，真正發(fā)揮章首語的教學(xué)功能.