劉 鵬 楊光偉

(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 321004)

1 問題呈現(xiàn)

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2015年10月號(hào)問題2268:

試證明:等式1

(1)

對(duì)于該問題,供題者柳冉在《數(shù)學(xué)通報(bào)》2015年第11期“2015年10月號(hào)問題解答”[1]中反復(fù)利用正弦、余弦的積化和差等公式及一定的運(yùn)算技巧給出了證明.

其次,黃盛清老師在《數(shù)學(xué)通報(bào)》2017年第6期《基于余弦7倍角公式求幾個(gè)一元三次方程的解及其應(yīng)用》[2]一文中通過余弦多倍角公式和方程的關(guān)系給出了證明.

筆者認(rèn)為,此命題結(jié)論結(jié)構(gòu)優(yōu)美,在閱讀過程中思考能否簡化其證明的同時(shí),也有其它發(fā)現(xiàn).

2 嘗試簡證

文獻(xiàn)[2]有結(jié)論如下:

以上兩結(jié)論是從余弦7倍角出發(fā),給出了一個(gè)一元七次方程的解,分解一元七次方程進(jìn)而得到幾個(gè)一元三次方程的解.最終根據(jù)一元三次方程3個(gè)根與系數(shù)的關(guān)系證明式(1).筆者在探索過程中,發(fā)現(xiàn)由結(jié)論1推出結(jié)論2的證明過程可以簡化許多,本文給出結(jié)論2的證明如下.

證明將結(jié)論1的方程

(2)

(3)

根據(jù)代換x2=y可知式(3)的解為

由此,結(jié)論2證畢.

進(jìn)而證明式(1),根據(jù)式(3),令y=1-u,得

根據(jù)一元三次方程3個(gè)根與系數(shù)的關(guān)系,得

得等式1

可見,根據(jù)x巧妙的自身代換,將黃盛清老師的部分證明過程簡化許多.并且,在探究過程中,也有新的發(fā)現(xiàn).

3 探究發(fā)現(xiàn)

在思考過程中發(fā)現(xiàn),將式(2)先變形為

再變形為

(4)

又因?yàn)槭?3)的證明過程中令x2=y,故

將式(3)直接變形為

z3-21z2+35z-7=0,

(5)

由結(jié)論2知式(5)的解為

由此,得到結(jié)論3.

-7u3+35u2-21u+1=0.

(6)

由式(5)知式(6)的解為

由此,得到結(jié)論4.

受等式1的啟發(fā),由結(jié)論2根據(jù)一元三次方程3個(gè)根與系數(shù)的關(guān)系,得

(7)

同理,由結(jié)論3可得

(8)

(9)

同理,由結(jié)論4可得

(10)

4 應(yīng)用

顯然,根據(jù)一元三次方程的自身代換,不僅可以使得證明過程更加簡潔,還可以得到一些漂亮的結(jié)論.例如,通過結(jié)論2、結(jié)論3和結(jié)論4,得到了等式2、等式3、等式4三個(gè)結(jié)構(gòu)優(yōu)美的等式;同時(shí),還可得結(jié)論5與結(jié)論6.最后，進(jìn)行簡單的應(yīng)用.

證明由式(10)化簡可以直接證明.

兩邊平方

(11)

根據(jù)式(8)等式左邊為

等式右邊展開為

根據(jù)式(8)可得

故

證畢.

證明由式(8)得

又

故

又

則

=7,

利用二倍角的轉(zhuǎn)化和函數(shù)的最值判斷,可得

故

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說過,問題是數(shù)學(xué)的心臟[3].面對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)問題,總有其值得我們思考之處;在探索發(fā)現(xiàn)的過程中,總會(huì)有意想不到的收獲.本文通過對(duì)余弦7倍角公式應(yīng)用方面的探究,簡化了證明,并得到了一些漂亮的結(jié)論.期望能夠引起更多數(shù)學(xué)愛好者的共鳴.