陳國興 陳惠增

[摘? 要] 文章從課堂教學(xué)的實用性角度來探討目前復(fù)習(xí)課堂中的突出問題，并從課本中的基本圖形、基本模型以及數(shù)學(xué)活動出發(fā)，以點帶面，整合提升，把部分零散的知識點串聯(lián)成整體的問題串，以達到提升數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)實效性與有效性的目的.

[關(guān)鍵詞] 復(fù)習(xí);實效;感悟;變式;演變

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課對于初中學(xué)習(xí)來說是一個重要的課型，是教師為了不讓學(xué)生所學(xué)的知識遺忘而進行的數(shù)學(xué)課堂活動之一. 課堂復(fù)習(xí)的目的是讓學(xué)生所學(xué)的知識得到鞏固、解決問題的能力得到提升，并站在更高的角度思考問題，因此它的重要性不容小覷. 一節(jié)效率高的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課要鞏固所學(xué)知識，優(yōu)化解題方法，滲透數(shù)學(xué)思想方法，提升解題效率. 下面，筆者針對復(fù)習(xí)過程中的一些問題與困惑，談幾點探索與創(chuàng)新的嘗試.

問題的提出

多數(shù)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課采用教師為主的課堂模式，教學(xué)順序基本按照“知識點羅列——例題講評——練習(xí)鞏固”的方式進行. 這樣的復(fù)習(xí)模式優(yōu)點雖然較多，但具體的教學(xué)中卻發(fā)現(xiàn)學(xué)生的收獲很少，課堂中忽視了學(xué)生的主體地位，忽略了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，而且知識的呈現(xiàn)過于直接，呈現(xiàn)的方式都是點狀的，無法以點帶面，缺乏知識來源過程的領(lǐng)悟;解題方法比較單一，缺乏總結(jié)、缺少深度. 這樣的復(fù)習(xí)課教學(xué)模式局限于老、舊例題的反復(fù)出現(xiàn)，以及關(guān)鍵知識點的順序羅列，容易陷入“題?！?，容易讓學(xué)生覺得課堂乏味，而且課堂的收獲較低，不利于學(xué)生能力的培養(yǎng)以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，復(fù)習(xí)效率低下.

提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)實效的探索

新課程理念下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)過程，應(yīng)注重學(xué)生在課堂教學(xué)過程中的主動參與和積極探索，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生感悟解題方法，發(fā)現(xiàn)并挖掘重要知識的內(nèi)涵與外延、變式與拓展，指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)與歸納結(jié)論和方法，演變與創(chuàng)新教材中的數(shù)學(xué)活動資源，鼓勵學(xué)生一題多解、一問多思、一圖多變、多圖化一、多解歸一，使所有教學(xué)內(nèi)容的應(yīng)用性與實用性都得到落實. 要注重學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的狀況，形成學(xué)生內(nèi)化的知識結(jié)構(gòu)和內(nèi)生的意識能力，把提高學(xué)生解決問題的策略當(dāng)成課堂的總要求，促進其思維能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)等方面的發(fā)展.

1. 發(fā)現(xiàn)并挖掘核心知識、核心問題的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)讓學(xué)生主動參與知識梳理的過程，發(fā)揮學(xué)生的潛力，讓其帶著問題思考，感悟所學(xué)知識點之間錯綜復(fù)雜的關(guān)聯(lián)，理清它們的區(qū)別. 初中很多知識點，其核心知識是相似的，學(xué)習(xí)方法也是相通的，這樣的學(xué)習(xí)完全可以通過類比的方式完成. 如整數(shù)與分數(shù)、整式與分式、整式方程與分式方程、方程與函數(shù)等. 在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)相通知識的內(nèi)涵，感悟知識間的聯(lián)系，揭示關(guān)聯(lián)知識的本質(zhì)，引導(dǎo)他們高角度高方位地看問題，挖掘知識背后的關(guān)鍵內(nèi)涵.

比如，復(fù)習(xí)“二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)”時，可以引導(dǎo)學(xué)生體驗如下過程：

針對方程x2-3x+2=0，預(yù)設(shè)如下問題：

（1）要求出此方程的根，你有哪些方法？

（2）在不求解方程的前提下，可以判斷這個方程的根的情況嗎？

在以上兩個問題的基礎(chǔ)上，可以借助與之相應(yīng)的函數(shù)的圖像來解答如下問題：

（1）畫出拋物線y=x2-3x+2與直線y=0的圖像，觀察兩個函數(shù)圖像的交點，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（2）若變?yōu)閽佄锞€y=x2-3x與直線y=-2的圖像呢？

（3）若再變?yōu)閽佄锞€y=x2與直線y=3x-2的圖像呢？

（4）若改為直線y=x-3與雙曲線y=-■的圖像呢？

（5）進一步探究方程x2-3x+2-■=0與方程x2-3x+2-■=0的根的情況.

學(xué)生在積極主動觀察圖像的過程中發(fā)現(xiàn)方程與函數(shù)的本質(zhì)是一樣的，感受到了方程與函數(shù)之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，領(lǐng)悟到了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像特點與方程之間的關(guān)系. 通過多角度的思考，學(xué)生歸納、總結(jié)了解決此類問題的策略，同時對各知識點進行了相應(yīng)的補充，最終提升了自己各方面的能力. 復(fù)習(xí)中多以互相聯(lián)系的知識點為載體，能讓學(xué)生不斷地聯(lián)想、感悟、體驗，從而達到比較理想的學(xué)習(xí)效果.

2. 變式與拓展同一背景、同一模型的問題

復(fù)習(xí)課中，若再將新課所學(xué)的知識一成不變地重復(fù)出現(xiàn)，將不容易激發(fā)學(xué)生思維的火花，不利于調(diào)動學(xué)生參與課堂的主動性，學(xué)生會無法體驗到學(xué)習(xí)的新鮮感與成就感. 因此，在教學(xué)過程中，應(yīng)不斷地對問題進行變式、拓展、整合，應(yīng)將新、舊知識點串成問題串. 教師進行教學(xué)預(yù)設(shè)時，無法把握生成的結(jié)果，因此應(yīng)關(guān)注如何整理復(fù)習(xí)資料，選擇典型案例，激發(fā)學(xué)生積極參與課堂活動的熱情，課后不斷反思，使復(fù)習(xí)課堂的有效性得以保證.

如初中的最值問題可做如下變式拓展.

探究：（1）已知A，B兩點在直線a的同側(cè)，如圖1，在直線a上找一點M，使MA=MB.

（2）若A，B兩點在直線a的異側(cè)，能否在直線a上找到一點N，使AN+BN最短？若A，B兩點在直線a的同側(cè)，能否在直線a上找到一點M，使AM+BM最短？

（3）已知A，B兩點在直線a的同側(cè)，能否在直線a上找到一點G，使△AGB的周長最短？

（4）已知A，B兩點在直線a的同側(cè)，能否在直線a上找到一點D，使DA-DB最長？

（5）已知A，B兩點在直線a的異側(cè)，能否在直線a上找到一點E，使EA-EB最長？

（6）已知A，B兩點在直線a的同側(cè)，請在直線a上找一點P，使△PAB是直角三角形.

（7）已知A，B兩點在直線a的同側(cè)，請在直線a上找到一點Q，使△QAB是等腰三角形.

（8）如圖2，若把直線a看作x軸，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，問題將變得新穎.

以上問題以“兩點一線”為背景建立模型，引導(dǎo)學(xué)生在變化的過程中發(fā)現(xiàn)基本的幾何模型（如“K”形圖，“X”形圖）. 復(fù)習(xí)時可以借助幾何模型的結(jié)論，探討解決基本模型的通性通法，從而利用幾何圖形的結(jié)論解決幾何壓軸問題. 對一些較常用的模型做變式處理，能引導(dǎo)學(xué)生歸納與總結(jié)某類題的通性通法，能激起學(xué)生強烈的參與熱情與求知欲望，從而進行有效復(fù)習(xí).

3. 指導(dǎo)學(xué)生研究歸納的方法

課堂45分鐘的復(fù)習(xí)時間有限，所以課堂上應(yīng)盡量避免出現(xiàn)下列情況：教師包辦、學(xué)生獨立思考時間短;練習(xí)量足夠多，但解題能力卻不見提升. 教學(xué)中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生研究、歸納解題方法，提升他們對同一系列問題的理解程度，同時在教師的指導(dǎo)下開展研究活動，讓學(xué)生成為復(fù)習(xí)課中的主人，而不是觀看者.

如復(fù)習(xí)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、位似這四個變換時，可以啟發(fā)學(xué)生研究下列問題：

（1）先歸納點（x，y）左右平移和上下平移后坐標(biāo)變化的規(guī)律，再研究二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律，以及一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖像的平移規(guī)律. 如二次函數(shù)y=3x2向左平移4個單位長度后的函數(shù)解析式是什么？一次函數(shù)y=3x向左平移4個單位長度后的函數(shù)解析式是什么？雙曲線y=-■向左平移4個單位長度后的函數(shù)解析式是什么？

（2）再如旋轉(zhuǎn)，引導(dǎo)學(xué)生先歸納一個點關(guān)于原點對稱的坐標(biāo)變化規(guī)律，再指導(dǎo)研究：若原點改為其他任意點呢？對稱后的坐標(biāo)應(yīng)如何變化？若一個點繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°、270°后坐標(biāo)應(yīng)如何變化？你發(fā)現(xiàn)了什么新的規(guī)律？拋物線y=3x2的圖像關(guān)于原點中心對稱的圖像是怎樣的？解析式是什么？直線y=3x-2關(guān)于原點中心對稱的圖像是怎樣的？解析式是什么？雙曲線y=-■關(guān)于原點中心對稱的圖像是怎樣的？解析式是什么？

（3）再如軸對稱，引導(dǎo)學(xué)生先歸納一個點分別關(guān)于兩條坐標(biāo)軸對稱的坐標(biāo)變化規(guī)律，然后研究一個點關(guān)于直線y=x（或直線y=-x）對稱的坐標(biāo)變化規(guī)律.

學(xué)生在上述活動中不僅復(fù)習(xí)了這幾個變換的特點和規(guī)律，更通過“函數(shù)圖像的變換研究”對問題有了新的發(fā)現(xiàn)與認識. 這種“研究”方式將影響學(xué)生今后思考問題的方式.

4. 創(chuàng)新使用教材中實驗觀察與數(shù)學(xué)活動類資源

教材中各個章節(jié)后面都提供了“數(shù)學(xué)活動”“閱讀與思考”以及“實驗與探究”等資源. 近幾年，各省市中考題經(jīng)常將教材中的這些資源作為背景來命題，因此我們在復(fù)習(xí)時可以挖掘課后實驗與探究以及數(shù)學(xué)活動的內(nèi)容，將這些素材進行變式處理，從而深度理解教材，讓學(xué)生站在更高的角度看問題，順暢地進行數(shù)學(xué)探究活動.

如人教版八年級下冊第63頁實驗與探究“豐富多彩的正方形”（稍做修改）：如圖3，有兩個完全相同的正方形ABCD和正方形OEFG，且正方形OEFG的頂點O與正方形ABCD的對角線交點重合. 可以發(fā)現(xiàn)，不論正方形OEFG繞點O如何旋轉(zhuǎn)，兩正方形重疊部分的面積始終等于正方形ABCD面積的■，請說明理由.

接下來，可對上述問題做如下演變與創(chuàng)新：

（1）旋轉(zhuǎn)正方形OEFG的過程中，哪些量始終不變？

（2）如圖4，連接MN，GE，探究MN與GE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由.

（3）若AB=a，試探究兩正方形重疊部分的面積S與a之間的函數(shù)關(guān)系式;重疊部分的周長會隨著正方形的旋轉(zhuǎn)而改變嗎？

（4）如圖4，設(shè)BN=x，△MON的面積為y，試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值或最小值.

（5）如圖5，若改為點O與點A重合，猜想上述結(jié)論有哪些依然正確.

（6）若把上述兩個正方形變?yōu)樾螤钜粯拥膬蓚€正三角形或者正六邊形，你會得到什么新的結(jié)論？

在以上探究活動中，教師應(yīng)讓學(xué)生體會任意正多邊形在旋轉(zhuǎn)過程中的不變性，體會動態(tài)幾何中隱藏的“不變量思想”與“方程函數(shù)思想”. 教材中的很多材料都可以作為這樣的素材進行變式與創(chuàng)新，體現(xiàn)了教材編寫組獨特的意圖，以及數(shù)學(xué)課本獨有的魅力. 教學(xué)中，我們應(yīng)慢慢體會編寫教材專家們的“編寫初心”，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)內(nèi)涵以及數(shù)學(xué)思維的發(fā)散本色.

反思與感悟

復(fù)習(xí)時切忌貪多求全，急功近利，要循循善誘，充分考慮到不同學(xué)生的個性差異以及認知結(jié)構(gòu)，要關(guān)注復(fù)習(xí)過程中的知識關(guān)聯(lián)，以及學(xué)生的能力提升，要努力反思學(xué)生的學(xué)習(xí)收獲以及學(xué)習(xí)體驗，及時引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去歸納，讓問題在嘗試和互動中生成. 我們要交給學(xué)生解決問題的思路與方法，要達到講一題、通一類，使所有的解題策略達到“一通百通”的效果. 復(fù)習(xí)時，只要留給學(xué)生充裕的思考時間，讓他們主動質(zhì)疑、反思，領(lǐng)悟解題策略，領(lǐng)會數(shù)學(xué)方法，掌握數(shù)學(xué)思維，就能讓他們在感受成功的同時體會學(xué)習(xí)的樂趣，養(yǎng)成勇于質(zhì)疑、敢于創(chuàng)新的思維品質(zhì). 如講解完一道綜合題后，不要馬上講下一題，應(yīng)留幾分鐘時間讓學(xué)生反思，讓學(xué)生從自己的視角來重新看這道題，這樣他就會有新的發(fā)現(xiàn);復(fù)習(xí)時應(yīng)分段進行，復(fù)習(xí)完一段后，先讓學(xué)生反思這一段的得失，總結(jié)方法，歇一歇，目的是為了更好地前行.

有效復(fù)習(xí)是一種教學(xué)理念，更是成功的方向，只要我們立足教材，抓住基本模型，對教材例題進行有效的變式，就會激發(fā)學(xué)生不斷地進取與探索;為了提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的實用性與有效性，我們應(yīng)該堅持以先進的教育理念為引領(lǐng)，大膽探索，勇于實踐，不斷改進，創(chuàng)新求變.