顧彥

[摘? 要] 文章以“探索相似三角形的判定（2）”一課為例，立足“四基”，探索基于原點的課堂重構：回歸基本知識、回歸基本技能、回歸基本思想和回歸基本活動經(jīng)驗. 利用知識與探索方法的關聯(lián)展開教學活動，讓“數(shù)學化”學習過程自然發(fā)生;學生經(jīng)歷體驗過程，深化了數(shù)學思考，明晰了數(shù)學本質.？搖

[關鍵詞] 數(shù)學教學;立足“四基”;回歸原點;課堂重構？搖

2019年11月，筆者有幸參加了全國第二屆生長數(shù)學教學研討會，主題為“踐行生長數(shù)學，提升核心素養(yǎng)”，現(xiàn)場觀摩了江蘇省評優(yōu)課一等獎獲得者金敏老師的一節(jié)課“探索相似三角形的判定（2）”. 筆者受益從中，本文記錄了該節(jié)課的教學流程，并附個人賞析，以供探討.

基本情況

1. 授課對象

本節(jié)課是對江蘇省示范性初中特色班的初三學生. 這個班級的學生從初一開始強化學生用規(guī)范的數(shù)學語言表達如何解決數(shù)學問題的能力，使得學生在“動手實踐、自主探索與交流合作”中培養(yǎng)了數(shù)學思維能力，因此學生在課堂上語言表達精確、思維開闊，有利于課堂的動態(tài)生成.

2. 教材分析

該節(jié)課所用教材為《義務教育教科書·數(shù)學（蘇科版）》九年級下冊，教學內容為第六章“圖形的相似”的第四節(jié)“探索三角形相似的條件”（第2課時）. 之前，學生已經(jīng)歷過探索全等三角形的過程，學習了相似三角形的定義及預定定理，研究相似三角形的判定有助于學生理解圖形特征和內涵，也是后續(xù)學習相似三角形的性質及應用的基礎，同時還為研究“投影與視圖”“圓中比例線段”和“三角函數(shù)”奠定基礎，更是解決中考綜合題型的重要工具. 本節(jié)課對學生深層理解探索定理的一般策略及構建一以貫之的知識體系具有重要作用.

3. 學情分析

在學習本章之前，學生已經(jīng)經(jīng)歷了全等三角形的判定定理的探索過程，全等是相似的一種特殊情況，即相似比全等更具有一般性，因此本章的學習是在前面研究圖形的全等、平移、旋轉、軸對稱等變化基礎上的拓展與延伸，相似實際上也是一種圖形變換. 有一部分學生能靈活轉化，類比全等三角形，順利過渡到相似三角形的判定，而有一部分學生并不理解相似三角形判定定理的內涵，還有一部分學生熱衷于利用判定定理做題海戰(zhàn)術，對判定定理本身的探索卻忽略了，流失了學習內容中自主探索、合作交流、自我提升的寶貴經(jīng)驗. 基于上述教材觀念、學生觀、教學觀，確定了下列教學目標及重難點.

4. 教學目標

（1）使學生經(jīng)歷兩個三角形相似判定定理的探索過程，用幾何語言準確的描述，會利用判定定理解決一些實際問題.

（2）在類比、猜想、推理、歸納、探究等數(shù)學活動中積累經(jīng)驗，理解從邊角的角度研究兩個三角形相似的判定定理，進一步體會從“具體到抽象”“特殊到一般”等研究問題的基本套路，初步感悟“疊合法”“轉化”“歸納”的數(shù)學思想方法，發(fā)展合情推理和演繹推理的能力.

（3）回顧舊知與新知的關系，使所學知識結構化、系統(tǒng)化，積累探索判定和性質的基本活動經(jīng)驗，發(fā)展學生自主構建知識體系的能力，實現(xiàn)可遷移式的學習模式.

5. 教學重難點

教學重點：“兩組角對應相等的兩個三角形相似”的判定定理的探索發(fā)現(xiàn)與證明.

教學難點：機構化、系統(tǒng)化探索一般判定定理乃至研究數(shù)學問題的基本策略和基本路徑.

教學過程

1. 復習“舊知”，關聯(lián)“新知”

師：同學們，我們已經(jīng)學習過相似三角形的哪些判定方法？你能結合圖形，用符號來描述嗎？（要求學生用數(shù)學語言規(guī)范表達）

眾生：因為∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，且■=■=■，所以△A′B′C′∽△ABC.

師：非常好，對于任何圖形的判定，定義是它的本源，也是它的生長之根，在學習了定義后，借助平行線分線段成比例定理，又得到一個判定，是什么？

眾生：因為DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.

設計意圖? 教師引導學生復習、回顧相似三角形的定義及兩種判定方法（定義法和平行法），激發(fā)學生快速搜索已有的圖形研究知識和方法，再追問相似三角形的定義和預備定理的圖形特征及數(shù)學表達式，激勵學生進行學習內容和方法的“類比”以及“遷移”，為學生后續(xù)的探索提供知識的起點，也是知識的生長之根.

2. 類比、猜想，啟發(fā)學生研究“三角形相似的判定”的探索思路

師：前面的知識是我們今天繼續(xù)探索的起點和新知識生長的本源，同學們想一想，兩個三角形究竟?jié)M足什么條件才相似？

（1）師生回顧、復習全等三角形的判定方法和探索過程（見圖3）.

（2）學生結合全等是特殊的相似（相似比為1），探索如何類比全等三角形的判定定理，展開小組合作、交流談論，展示研究成果——猜想判定命題（見圖4）.

設計意圖? 數(shù)學的學習離不開思維的訓練，教師通過啟發(fā)式和開放式提問，幫助學生指明了研究方向：類比全等三角形的判定過程，為學生的探索提供了理論依據(jù)，學生結合全等是特殊的相似，弱化三角形相似的條件，展開獨立的思維活動和小組討論，歸納、猜想出判定相似三角形的四個新命題. 這樣的教學設計聚焦學生活動過程的體驗的積累，結果是自然生長的成果，并讓學生自主提煉與總結學習方法，這才是對學生來說真正能從數(shù)學課上帶走的東西.

3. 學生獨立研究，師生交流，證明三角形相似的判定命題的思路、方法

師：我們以兩角分別相等為例，請同學們在學習單上想一想怎么完成證明呢？我們先來弄清問題：

已知：如圖1，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′. 求證：△ABC∽△A′B′C′.

思路1：如圖5，在A′B′上截取A′D=AB，在A′C′上截取A′E=AC，連接DE，發(fā)現(xiàn)：△A′DE≌△ABC（SAS）. 因為△A′DE∽△A′B′C′，所以△ABC∽△A′B′C′.

思路2：如圖5，在A′B′上截取A′D=AB，過D作DE∥B′C′，交A′C′于點E，同樣可以證明△A′DE≌△ABC（ASA），所以△ABC∽△A′B′C′.

思路3：如圖6，延長BA，C′A′，交于點D，連接CB′. 得到一個更大的△BDC′. 因為∠B=∠B′，所以BD∥A′B′，即△A′B′C′∽△DBC′;同理△ABC∽△DBC′. 根據(jù)相似的傳遞性，所以△ABC∽△A′B′C′.

設計意圖? 第三部分是本節(jié)課最精彩的生成部分，以學生“說”和“做”為主，教師適當講解，學生通過自主分析定義和預備定理的圖形結構，現(xiàn)場生成了三種證明方法，其中前兩種方法異曲同工，需要借助預定定理和相似的傳遞性完成證明;而第三種方法更加開闊，正是由于教師的引導性提問，才有精彩的證明思路：將這兩個三角形放到一個更大的圖形中，并探討了兩個三角形如果不共線如何解決的問題，最終也利用相似三角形的傳遞性完成了證明. 這三種方法將“疊合法”發(fā)揮得淋漓盡致，令現(xiàn)場的老師嘆為觀止，掌聲熱烈. 在教學過程中，教師十分注重對知識結構的整體把握，并善于引導學生自主梳理知識結構、構建新的知識體系. 學生理清了全等與相似的關系，也為后續(xù)研究位似的關系和其他幾何圖形奠定了基礎，使學生進一步體會數(shù)學的結構美.

定理總結：如果兩個三角形的對應角相等，那么這兩個三角形相似.

幾何語言：在△ABC和△A′B′C′中，因為∠A=∠A′，∠B=∠B′，所以△ABC∽△A′B′C′.

4. 回顧與展望

（1）回顧：總結三角形相似的判定方法的建構圖：

（2）展望：我們還能繼續(xù)探索相似三角形的什么知識呢？（見圖7）

設計意圖? 師生共同總結三角形相似的判定方法的知識機構圖，完成本節(jié)課的雕刻式板書，回歸數(shù)學學習的本源：解決數(shù)學問題如此，人生的探索也一樣. 教師精心設計的雕刻式板書分為三個區(qū)域，左側是本節(jié)課的微觀知識結構，中間是相似三角形與全等三角形的宏觀知識結構，右側是學生自主探究的三種證明方法的概要，發(fā)揮示范引領作用，頂部是探究判定定理乃至一般數(shù)學問題的基本策略. 這樣的板書詳略得當、結構精美、一氣呵成. 這個板書既梳理了本節(jié)課的知識與數(shù)學思想方法，還關注了知識點、知識塊之間的聯(lián)系，三角形相似的其他判定定理的探索可以說是一脈相承的，為學生后續(xù)的探索奠定了基礎. 學生帶著問題來，又帶著新的思考離開. 真正回歸了教學原點，讓不同的學生在課堂上得到了不同的發(fā)展.

課例賞析

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：數(shù)學教學創(chuàng)設的問題情境應有助于學生的自主學習，引導學生通過思考、交流、探索、實踐，獲得數(shù)學的基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，促使學生主動并富有個性的學習，提高學生分析和解決問題的能力[1]. 本課例立足“四基”，談談對回歸教學原點的課堂重構的一些想法：

1. 回歸基本知識，避免“碎片式”

基于維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”，在教學開始之前，教師引導學生回顧反思之前所學的知識內容，可稱之為“溫故知新、關聯(lián)教學基礎”. 在預習階段的重頭，教師帶領學生深度反思教學內容，明確溫故知新的重要性，確保學生能夠合理運用舊知識學習新知識. 所以在教學設計中特別強調舊知識與新知識的有效銜接，讓新知識的“生成”和“生長”有理有據(jù)、有情有理，進而達到關聯(lián)教學基礎的目的. 教師關注的舊知識與新知識的有效鏈接點就是學生的最近發(fā)展區(qū)，這也是在幫助學生尋找新知識的源頭原點，讓他們了解到新知識與舊知識之間的關聯(lián)性. 在本課例中，教師要將全等三角形知識深度滲透到教學過程中，并復習三角形相似的定義及預備定理，回顧三角形全等的判別方法，然后讓學生在類比自主探索過程中獲得三角形相似條件的新命題. 在這一教學過程中，教師遵循學生思維生長的規(guī)律，回歸到概念的本原理解概念. 這種回歸原點配合內容前置的教學方法凸顯了教學知識的關聯(lián)性，更能提高課堂的教學效率.

2. 回歸基本技能，避免“壓縮式”

數(shù)學能力是指順利完成數(shù)學活動所必須具備且直接影響其活動效率的一種個性心理特征，數(shù)學能力需要在數(shù)學活動中形成和發(fā)展[2]. 在我國，中學數(shù)學基本技能主要包括運算能力、空間想象能力、思維能力以及分析問題和解決問題的能力[3]. 本課例中，需要探討兩個問題：一是學生不明白為什么要研究相似三角形的判定過程，即學了有什么價值. 這就需要教師從整體知識結構上讓學生把握研究一般多邊形的基本套路. 二是學生不明白怎么去研究. 只是一味沿著教師預設好的路徑前行，這種教學方式太缺乏挑戰(zhàn)性，不利于創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng). 而本課例中的問題則具有很大的開放性：（1）前面我們學習過三角形相似的什么知識？（2）你能聯(lián)想到與相似三角形有關的什么知識？（3）你打算怎么研究相似三角形的判定呢？（4）你提出的新的命題具有多少可信度？教師設計的一系列開放性的“問題串”過渡到開放的數(shù)學教學，促進學生思考得更深、更合理、更準確，使得學生在“分析問題、解決問題”之前增加了“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”，在啟發(fā)學生提出富有挑戰(zhàn)性問題后，激發(fā)學生的困惑與思考，在本課證明方法3中充分展現(xiàn)，這種自上而下的問題就夠直指思維能力;若當學生思維跟不上時，逐步分解問題塊，甚至適當后退，回歸學生思維能及之處. 這種教學設計契合新課程標準的理念，強化了數(shù)學基本技能.

3. 回歸基本思想，避免“告知式”

數(shù)學思想是對數(shù)學事實與理論概括后的本質認識，而基本數(shù)學思想是體現(xiàn)基礎數(shù)學奠基性、總結性和廣泛性的數(shù)學思想，初中數(shù)學的基本思想主要包括數(shù)形結合、分類討論、轉化、類比等[4]. 本課例突出了“類比”的思想方法，在知識的“生成”上下功夫，教材上本節(jié)課的內容呈現(xiàn)碎片化、單一化，與教學內容的關聯(lián)性和整體性不夠，本課重整了教學內容. 首先回顧相似三角形與全等三角形的內在關系：從“一般”到“特殊”，再進一步梳理全等三角形判定的知識結構，正是這個知識結構的梳理，為學生類比學習相似三角形的探索過程指明了方向，是學生研究新命題的思維生長點. 緊接著學生通過“類比”自主研究相似三角形判定的新命題，最后教師引導學生再通過“類比”預備定理，結合“疊合法”從多個角度證明命題. 在教學過程中，教師適度引導，啟發(fā)得當，發(fā)揮了學生的創(chuàng)造潛能，加深了學生對數(shù)學基本思想的理解.

4. 回歸基本活動經(jīng)驗，避免“放映式”

數(shù)學的深度學習離不開概念、定理的探索過程. 教師要讓學生在探索活動中，積累觀察、猜想、分析、類比、歸納、證明等基本活動經(jīng)驗，深化對數(shù)學的理解[5] 激活、積累、遷移、升華是基于積累數(shù)學基本互動經(jīng)驗的初中數(shù)學課堂的基本特征和一般的教學路徑. 本課例從全等三角形的基本知識和探索知識的結構出發(fā)“激活經(jīng)驗”，喚醒與激活學生原有的經(jīng)驗，為積累新經(jīng)驗做鋪墊;在“經(jīng)驗積累”的基礎上自然生成新的問題——到底兩個三角形滿足什么樣的條件才能滿足相似呢？在教學中搭建腳手架，引導學生嘗試弱化條件拾階而上;緊接著學生在教師引領和自主探究中通過“經(jīng)驗遷移”“類比”全等三角形判定定理的探索結構，同化和順應到相似三角形判定的新命題中并證明;最后教師引領學生總結研究定理的一般探索過程，學生在數(shù)學活動中的體驗和感悟通過“經(jīng)驗升華”為研究數(shù)學的思維習慣和一般策略. “激活、積累、遷移、升華”這四個板塊緊密相連，活動是經(jīng)驗的教學原點，經(jīng)驗在活動中獲得和升華.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制訂. 義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]張世相. 初中數(shù)學骨干教師基本特征的研究[M]. 長春：東北師范大學，2010.

[3]于水情. 深入研究高考? ?開辟教學新路[J]. 教學與管理，2004（01）.

[4]夏玉萍. 初中數(shù)學課堂教學中數(shù)學思想的培養(yǎng)[J]. 理科考試研究，2013（09）.

[5]呂同林. 注重整體關聯(lián)，促進深度學習——以《探索三角形相似的條件》一課為例[J]. 教育研究與評論，2018（06）.