陳彩華

摘要：為轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，圍繞“學(xué)為中心”的教學(xué)觀，踐行睿智數(shù)學(xué)教學(xué)主張，文章結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，對(duì)一次函數(shù)的一個(gè)最值問(wèn)題進(jìn)行了拓展與應(yīng)用研究。文章從一個(gè)問(wèn)題、兩種解法、三類變式、四點(diǎn)思考四方面展開(kāi)分析，對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和分析問(wèn)題能力的培養(yǎng)做了嘗試。

關(guān)鍵詞：教學(xué)改革 函數(shù) 最值問(wèn)題

通過(guò)圖表，使學(xué)生能從中觀察審視函數(shù)，有利于更好地認(rèn)識(shí)函數(shù)，提高學(xué)生對(duì)一次函數(shù)斜率的幾何直觀認(rèn)識(shí)?！皼](méi)有思路就沒(méi)有出路”，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程實(shí)質(zhì)上在于引導(dǎo)他們找出解決問(wèn)題的有效方式與方法，使學(xué)生能從動(dòng)態(tài)與靜態(tài)角度來(lái)觀察審視函數(shù)，這有利于學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)函數(shù)。

一、問(wèn)題

已知：點(diǎn)（x，y）在如圖1所示的正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，求s=y-2x的最大值和最小值。

旨在激發(fā)學(xué)生換位思考，讓學(xué)生明白任何一個(gè)代數(shù)式子的背后往往有它的幾何意義存在。

如果我們暫時(shí)將s當(dāng)作常數(shù)來(lái)認(rèn)識(shí)，那么s在一次函數(shù)中起到截距的作用。現(xiàn)在我們又讓它還原本色，s是一個(gè)可變化的截距，看會(huì)在什么范圍內(nèi)變化。

這種方法旨在滲透數(shù)形結(jié)合思想，強(qiáng)化數(shù)型結(jié)合，讓學(xué)生感受s變化的規(guī)律，體悟代數(shù)式背后的幾何意義。

對(duì)于y=kx+b，當(dāng)k不變時(shí)，與6對(duì)應(yīng)的所有直線都相互平行。所以我們通過(guò)畫(huà)圖可以看出，當(dāng)直線y=2x+s經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0），（1，0）時(shí)，相應(yīng)的截距分別達(dá)到最大值和最小值（如圖2）。所以我們直接將點(diǎn)（-1，0），（1，0）代入直線y=2x+s解析式，就可以求得s的最大值與最小值。

2.二類變式如下

（1）變式一

讓學(xué)生能通過(guò)改變點(diǎn)（x，y）的路徑，編制一個(gè)類似的問(wèn)題。

學(xué)生提供的問(wèn)題：

①點(diǎn)（x，y）在菱形的邊上運(yùn)動(dòng)，求s=y-2x的最大值和最小值。

（其他學(xué)生還補(bǔ)充了平行四邊形、矩形）

②點(diǎn)（x，y）在等腰梯形的邊上運(yùn)動(dòng)，求s=y-3x的最大值和最小值。

③點(diǎn)（x，y）在線段上運(yùn)動(dòng)，求s=y-x的最大值和最小值。

④把線段改成雙曲線段，其余不變。

⑤把線段改成拋物線段，其余不變。

⑥把線段改成圓，其余不變。

（針對(duì)學(xué)生可能對(duì)端值上取到最大值或最小值存在誤區(qū)，筆者又設(shè)置了兩個(gè)問(wèn)題）

（2）變式二

教師給一個(gè)問(wèn)題引領(lǐng)：

點(diǎn)（x，y）在如圖3所示的雙曲線段上運(yùn)動(dòng)，其中A（2，3），B（3，2），求s=y+x的最大值和最小值。

學(xué)生討論給出類似問(wèn)題：

①點(diǎn)（x，y）在如圖4所示的拋物線段上運(yùn)動(dòng)，其中A（-3，0），B（1，0），拋物線段頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為-4，求s=y+2x的最大值和最小值。

學(xué)生通過(guò)小組討論發(fā)現(xiàn)，S最大在點(diǎn)B取得2，最小在點(diǎn)（-2，-3）取得-7，

即：-7≤S≤2。

提出問(wèn)題：你能歸納出何時(shí)一定在端點(diǎn)取得最值，何時(shí)有最值不在端點(diǎn)取得嗎？

②點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，最值在端點(diǎn)取得，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)往往有一個(gè)最值通常不在端點(diǎn)上。

教師說(shuō)明：其實(shí)學(xué)生提出來(lái)的點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)與雙曲線、拋物線一樣可求，待我們到高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生對(duì)端值取值的情況重新做了認(rèn)識(shí)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，端值未必取到最值。

歸納：這類問(wèn)題通常有兩種解法：一是代數(shù)方法：化歸函數(shù)，即已知自變量范圍，求函數(shù)的取值范圍或最值;二是幾何方法，即經(jīng)過(guò)換位思考，視s為截距，轉(zhuǎn)化為在給定條件下求s的取值范圍或最值。

二、四點(diǎn)思考

教育家陶行知說(shuō)過(guò)：“創(chuàng)造始于問(wèn)題，有了問(wèn)題才會(huì)思考，有了思考，才有解決問(wèn)題的方法，才有找到獨(dú)立思路的可能?！蓖ㄟ^(guò)對(duì)案例實(shí)踐的反思，筆者認(rèn)為培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和分析問(wèn)題的能力可以從以下四方面著手：

1.引導(dǎo)學(xué)生重視數(shù)學(xué)思想，掌握思維方法

案例中學(xué)生的回答就是根據(jù)式子和圖形的特點(diǎn)，運(yùn)用分類討論的思想和轉(zhuǎn)化思想，對(duì)問(wèn)題有初步的思考方法。將s與兩個(gè)變量x，y的關(guān)系轉(zhuǎn)化為s與x或者s與y的一次函數(shù)關(guān)系，回歸函數(shù)定義，為問(wèn)題的解決提供關(guān)鍵性的一步。

數(shù)學(xué)思想在人的實(shí)踐活動(dòng)中產(chǎn)生，并且成為人們認(rèn)識(shí)世界和改造世界極為重要的工具，是問(wèn)題解決的靈魂。所以要培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想方法去分析、思考、發(fā)現(xiàn)，這樣解決問(wèn)題更有針對(duì)性和實(shí)效性。

2.引導(dǎo)學(xué)生善編善變，促進(jìn)靈活多變

案例中，當(dāng)學(xué)生回答完畢后，筆者有意識(shí)地讓學(xué)生自己編題，目標(biāo)是改變點(diǎn)（x，y）的路徑，編制類似的問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)有更深刻的理解，實(shí)現(xiàn)做一題懂一類的目的，大大提高學(xué)習(xí)效率。

所以讓學(xué)生自己參與問(wèn)題的設(shè)計(jì)，或改變條件，或改變結(jié)論，從而更好地挖掘問(wèn)題的生長(zhǎng)點(diǎn)，獲得問(wèn)題解決的通性通法，可以促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的進(jìn)一步提升。

3.引導(dǎo)學(xué)生換位思考，突破思維定式

平時(shí)教學(xué)中，我們可以有意識(shí)地適當(dāng)調(diào)整視角，使問(wèn)題中的元素進(jìn)行“角色換位”，讓學(xué)生從不同角度審視問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)已知與未知、常量與變量、相等與不等、特殊與一般、局部與整體、數(shù)式與圖形、運(yùn)動(dòng)與靜止等的轉(zhuǎn)換，突破思維定式，獲得新的解決問(wèn)題的思路和方法。換位思考也有利于教學(xué)內(nèi)容的深化和延伸，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和創(chuàng)新能力。

4.給學(xué)生創(chuàng)造自主發(fā)揮的機(jī)會(huì)

在“學(xué)為中心”教學(xué)理念指引下，在案例最后筆者設(shè)計(jì)學(xué)生自己編題一環(huán)，方向是s為定值、k可變的一類題型，并由學(xué)生自己解答，完成后進(jìn)行小組交流共享。根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力等情況，成立合作小組，把學(xué)習(xí)主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生互相合作交流，在自主環(huán)境中有更多時(shí)間和空間盡情暢想。

三、總結(jié)

在培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題分析能力的過(guò)程中，我們應(yīng)該努力做到“六讓”：特征讓學(xué)生觀察，思路讓學(xué)生探索，方法讓學(xué)生尋找，意義讓學(xué)生概括，結(jié)論讓學(xué)生驗(yàn)證，規(guī)律讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)。只有這樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力才會(huì)不斷得到強(qiáng)化，從而有效發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并解決問(wèn)題，逐漸接近數(shù)學(xué)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)、分析與思考的最高境界。