畢達(dá)哥拉斯與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

數(shù)學(xué)史上一共發(fā)生過三次危機(jī)，今天我們來說說第一次危機(jī)，這次危機(jī)的出現(xiàn)，沖擊了一直以來在西方數(shù)學(xué)界占據(jù)主導(dǎo)地位的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，同時(shí)標(biāo)志著西方世界關(guān)于無理數(shù)的研究的開始。

一、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的起源

畢達(dá)哥拉斯生于愛琴海東部薩莫斯島一個(gè)家境殷實(shí)的家庭，自幼聰明好學(xué)，曾在名師門下學(xué)習(xí)幾何學(xué)、自然科學(xué)和哲學(xué)，是古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家。

畢達(dá)哥拉斯除了鉆研出直角三角形的邊長關(guān)系外，還在數(shù)論上貢獻(xiàn)巨大，他將自然數(shù)分為奇數(shù)、偶數(shù)、素?cái)?shù)、完全數(shù)、平方數(shù)、三角數(shù)等，當(dāng)時(shí)的畢達(dá)哥拉斯被大家認(rèn)為是神話人物赫爾墨斯的轉(zhuǎn)世，擁有某種神秘的力量，在公元前580～前568年之間的古希臘，他建立了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，這是一個(gè)集政治、學(xué)術(shù)、宗教三位一體的神秘主義派別，也是一個(gè)唯心主義流派。

二、畢達(dá)哥拉斯的成就

畢達(dá)哥拉斯研究出，以直角三角形的兩短邊為邊長作方形，其面積之和正好等于以斜邊為邊長的方形面積，簡單的來說就是我們現(xiàn)在的勾股定理，

雖然古巴比倫人早就有所記載，不過畢達(dá)哥拉斯卻給出了系統(tǒng)的證明，這算是一個(gè)偉大貢獻(xiàn)，

作為一個(gè)唯心主義派的領(lǐng)頭人，畢達(dá)哥拉斯在發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理后，還殺了100頭牛來祭祀繆斯女神，以敬謝神靈的啟示，因此這個(gè)定理又被稱作“百牛定理”，除去在數(shù)學(xué)方面的成就，在音樂上，畢達(dá)哥拉斯也頗有造詣，他發(fā)現(xiàn)琴弦的長度反比于琴弦的頻率，兩個(gè)長度呈簡單整數(shù)比的琴弦能夠發(fā)出和諧的聲音，例如一組長度比為2的琴弦同時(shí)彈奏發(fā)出的聲音就特別的和諧，但是，這樣的組合過于和諧以至于失去了一些變化，于是畢達(dá)哥拉斯想出了新玩法，他以一根固定長度的琴弦為基礎(chǔ)，以3：2或4：3這樣的比值制作了其它的琴弦。

畢達(dá)哥拉斯用這種方法創(chuàng)造了一套互相有明確數(shù)學(xué)關(guān)系的音律，被稱作五度相生律，這套定律不僅成為了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派各種藝術(shù)活動(dòng)中的基石，也流傳至后世一直影響著現(xiàn)代的音樂理論。

三、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中有一個(gè)成員叫希帕索斯，是畢達(dá)哥拉斯的忠實(shí)崇拜者，有一天，愛學(xué)習(xí)的希帕索斯打算再研究研究畢達(dá)哥拉斯定理，他先是假設(shè)了一個(gè)邊長為1的正方形，準(zhǔn)備運(yùn)用老師所教授的知識(shí)算出對(duì)角線。

經(jīng)過計(jì)算，他發(fā)現(xiàn)有一個(gè)解決不了的問題：對(duì)角線的長度既不能用整數(shù)表示，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來表示。

但根據(jù)畢達(dá)哥拉斯的觀點(diǎn)，這個(gè)數(shù)字是不存在的，希帕索斯興奮地把這個(gè)發(fā)現(xiàn)告訴了畢達(dá)哥拉斯，

畢達(dá)哥拉斯知道這件事情后，讓希帕索斯不要把這件事告訴其他人，希帕索斯感到不解，認(rèn)為這是一個(gè)重大的發(fā)現(xiàn)，但畢達(dá)哥拉斯對(duì)此沒有作任何解釋，其實(shí)畢達(dá)哥拉斯早就知道這個(gè)無法表示的數(shù)字的存在，但是為了面子，他選擇沉默，希帕索斯在詢問老師而未得到解釋后，更加好奇，最后他將這個(gè)消息傳了出去，結(jié)果當(dāng)然是引得畢達(dá)哥拉斯勃然大怒，稱希帕索斯是叛徒，有意破壞學(xué)派的和諧，于是畢達(dá)哥拉斯派出其他的門徒捉拿希帕索斯，并準(zhǔn)備將其處以極刑——活埋，希帕索斯聽到了一些風(fēng)聲，打算連夜乘船流亡他鄉(xiāng)，可沒想到還是被畢達(dá)哥拉斯的門徒追上，他們將希帕索斯五花大綁，溺人了冰冷的地中海之中，

小小根號(hào)2的出現(xiàn)，在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起了一場巨大風(fēng)暴，它直接動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。

雖然倒下了一個(gè)希帕索斯，但是還有千千萬萬個(gè)希帕索斯站出來，畢竟真理是無法被淹沒的，

人們?yōu)榱思o(jì)念希帕索斯這位為真理而獻(xiàn)身的可敬學(xué)者，就把不可通約的量取名為“無理數(shù)”（irrationalnumber），之前畢達(dá)哥拉斯所認(rèn)為是宇宙全部的數(shù)（整數(shù)和兩個(gè)整數(shù)之比），稱為有理數(shù)。

在約公元前490年～前425年，古希臘著名哲學(xué)家芝諾又提出了四條著名的悖論。

1.二分法

運(yùn)動(dòng)著的東西在到達(dá)目的地之前須先完成行程的一半，而在完成行程的一半后，還須完成行程的一半的一半……如此分割，乃至無窮，因而它與目的地之間的距離是無限的，永遠(yuǎn)也達(dá)不到目的地。

2.阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜

阿基里斯是希臘跑得最快的英雄，而烏龜則爬得最慢，但是芝諾卻證明，在賽跑中跑得最陜的永遠(yuǎn)趕不上最慢的，因?yàn)樽汾s者與被追趕者同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，而追趕者必須首先到達(dá)被追趕者起步的那一點(diǎn)，如此類推，他們之間存在著無限的距離，所以被追趕者必定永遠(yuǎn)領(lǐng)先。

3.飛矢不動(dòng)

任何物體都要占有一定的空間，離開自己的空間就意味著失去了它的存在，飛矢通過一段路程的時(shí)間可被分成無數(shù)個(gè)瞬間，在每一個(gè)瞬間，飛矢都占據(jù)著一個(gè)與自己大小相同的空間，由于飛矢始終在自己的空間之中，因而它是靜止不動(dòng)的。

4.運(yùn)動(dòng)場

有兩排物體，大小相同，數(shù)目相等，一排從終點(diǎn)排到中間點(diǎn)，另一排從中間點(diǎn)排到起點(diǎn)，當(dāng)它們以相同的速度作方向相反的運(yùn)動(dòng)時(shí)，就會(huì)在時(shí)間上出現(xiàn)矛盾，芝諾認(rèn)為這可以證明一半的時(shí)間等于一倍的時(shí)間，

以上四條悖論從根本上再一次挑戰(zhàn)了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所一直貫徹的度量和計(jì)算方式。

無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)與“芝諾悖論”掀起了一場數(shù)學(xué)思想的大革命，科學(xué)史上稱之為“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。