谷旭東，滕科嘉,史雪梅

0 引 言

小波分析是一門(mén)正在迅速發(fā)展的信號(hào)處理方法，可以對(duì)測(cè)量信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻域分析，具有多分辨分析的特性[1]，可有效地從非平穩(wěn)信號(hào)中提取瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)信息及信號(hào)的波形特征.近年來(lái)實(shí)際的工程項(xiàng)目中，有很多采用小波濾波進(jìn)行信號(hào)處理方面的應(yīng)用，并且效果也十分令人滿(mǎn)意[2].特別是Mallat在基于塔式構(gòu)造思想提出基于小波變換的多分辨率分析算法之后，學(xué)界又提出了一系列基于小波理論的信號(hào)分析方法.

工程中常用基于傅里葉變換的帶通濾波器進(jìn)行降噪，但在處理過(guò)程中經(jīng)常將部分系統(tǒng)真實(shí)信號(hào)一起過(guò)濾掉，造成信息損失.近年來(lái)，隨著小波理論的發(fā)展.工程中廣泛采用小波閾值去噪方法進(jìn)行信號(hào)去噪[3,4].小波閾值去噪主要用于處理含有白噪聲的信號(hào)，測(cè)量信號(hào)經(jīng)小波變換后，通常認(rèn)為那些由信號(hào)產(chǎn)生的小波系數(shù)主要包含著信號(hào)的重要信息部分，并且其幅值較大，數(shù)目較少，而由白噪聲產(chǎn)生的小波系數(shù)的幅值較小，可以方便分離出噪聲干擾.小波降噪能夠很好地抑制非平穩(wěn)信號(hào)中的噪聲并且保留原始信號(hào)的特征，這使得小波降噪在信號(hào)領(lǐng)域得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用.其中小波閾值降噪實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、降噪效果好，因此在工程應(yīng)用中得到了深入研究和廣泛應(yīng)用.小波濾波后的信號(hào)經(jīng)時(shí)窗小波變換后,可獲得不同尺度下的小波系數(shù).對(duì)于信號(hào)的奇異點(diǎn),可以從小波分解系數(shù)的模極大值檢測(cè)出來(lái)[4].樊春玲等[5]采用小波模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)陀螺儀系統(tǒng)進(jìn)行了故障診斷，吳麗娜等研究了離散小波變換在衛(wèi)星姿控系統(tǒng)故障診斷中的應(yīng)用，均取得了很好的效果[6].

在航天、航空中的機(jī)械系統(tǒng)中，存在眾多的旋轉(zhuǎn)、振動(dòng)組件，其運(yùn)行狀態(tài)需要進(jìn)行檢測(cè)，故障模式需要識(shí)別.近年來(lái)，基于小波能量譜方法的分析方法在機(jī)械故障診斷中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛[7-8].近年來(lái)，許多學(xué)者將小波能量譜與主成分分解、自適應(yīng)等方法結(jié)合應(yīng)用于軸承等結(jié)構(gòu)中[9-10].基于小波包分解的小波能量譜方法可將測(cè)量信號(hào)的能量在不同頻段的分布展現(xiàn)出來(lái)，通過(guò)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)機(jī)械系統(tǒng)固有頻率、模態(tài)等參數(shù)隨時(shí)間的變化，并識(shí)別出系統(tǒng)的狀態(tài).本文將首先基于小波分析的折中閾值法對(duì)測(cè)量信號(hào)進(jìn)行降噪，然后基于小波能量譜方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析，識(shí)別出系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài).

1 小波分析簡(jiǎn)介

小波變換的本質(zhì)就是用精心挑選的基來(lái)表示信號(hào)方程的過(guò)程.每個(gè)小波變換都會(huì)有一個(gè)母小波ψ(t)，同時(shí)還有一個(gè)尺度函數(shù)，對(duì)二者進(jìn)行縮放和平移后即可得到任何小波變換的基函數(shù)集合.

對(duì)于信號(hào)f(t)的連續(xù)小波變換定義為

(1)

其逆變換(恢復(fù)信號(hào)或重構(gòu)信號(hào))為

(2)

小波的兩個(gè)系數(shù)a,b表示信號(hào)分解的伸縮因子和平移因子，分別可以刻畫(huà)信號(hào)的頻域信息和時(shí)域信息，參數(shù)a又可以稱(chēng)為尺度因子，用于將信號(hào)在不同頻域進(jìn)行分解，進(jìn)行多尺度的分析.

信號(hào)f(t)的離散小波變換定義為

(3)

其逆變換(回復(fù)信號(hào)或重構(gòu)信號(hào))為

(4)

一般信號(hào)的小波多尺度分解可以從如下示意圖看出：

圖1 三層小波的分解Fig.1 Wavelet decomposition with three layer

一般的，小波分解時(shí)僅對(duì)上一層的低頻信號(hào)進(jìn)行分解，而高頻信號(hào)不再進(jìn)行分解，會(huì)造成高頻段的頻率分辨率和低頻段的時(shí)間分辨率不太好，因此，發(fā)展出了小波包分解方法，它是一種更為精細(xì)的信號(hào)分解方法，提高了信號(hào)的時(shí)頻分辨率，且在能量分布分析時(shí)有較好的表現(xiàn)(信號(hào)損失更少)，小波包分解的圖示如下圖所示：

圖2 三層小波包分解Fig.2 Wavelet packet decomposition with three layers

2 小波系數(shù)估計(jì)的折中閾值法

小波閾值降噪包括軟閾值和硬閾值去噪方法，即在眾多小波系數(shù)中，把絕對(duì)值較小的系數(shù)置為零，而讓絕對(duì)值較大的系數(shù)保留或收縮，分別對(duì)應(yīng)于硬閾值和軟閾值方法.在本項(xiàng)目研究中，通過(guò)對(duì)比分析了基于軟閾值和硬閾值的小波閾值降噪方法的特點(diǎn)，提出了軟硬閾值折中法，小波系數(shù)估計(jì)的軟硬閾值折中法模型定義為：

(5)

3 小波包能量譜

根據(jù)小波分解的表達(dá)式，小波變換遵循能量守恒，有：

(6)

上式可改寫(xiě)為如下兩種形式

(7)

(8)

分別定義

(9)

(10)

E1(b),E1(a)分別表示能量在時(shí)間坐標(biāo)和尺度坐標(biāo)中的分布.E1(b)為只含有時(shí)間參數(shù)的函數(shù)，對(duì)其進(jìn)行頻譜分析，可得到待分析信號(hào)能量分布的頻率信息，可用于分析非穩(wěn)態(tài)信號(hào)，即本項(xiàng)目中的升速信號(hào).E1(a)為只含有尺度參數(shù)a的函數(shù)，對(duì)其按分解層數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到能量在不同頻率段的分布，可用于分析穩(wěn)態(tài)信號(hào), 通過(guò)與正常信號(hào)的對(duì)比，可以識(shí)別出故障信號(hào).

Pi=Ei/E

(11)

Pi代表各頻帶能量在總能量中的占比.

4 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

4.1 仿真驗(yàn)證及分析

為考察所采用降噪方法的有效性，用軟硬閾值折中法對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行分析，仿真信號(hào)如下：

f(t)=1.6cos(60t)+1.3sin(40t)+r(t)

(12)

r(t)是強(qiáng)度為1的高斯白噪聲.在計(jì)算過(guò)程中，采用db4小波，進(jìn)行4層分解，采用的閾值函數(shù)為Stein的無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)估計(jì).

圖3 初始含噪信號(hào)Fig.3 Original signal with noises

圖4 采用折中閾值法降噪后的信號(hào)，a=0.5Fig.4 Denoised signal with compromised threshold, a=0.5

圖3展示了含有噪聲的原始信號(hào)，可以看到隨機(jī)擾動(dòng)將使信號(hào)呈現(xiàn)很強(qiáng)的隨機(jī)性，圖4展示了采用折中閾值法降噪后的信號(hào)，采用小波去噪方法可以很好的消除信號(hào)中的噪聲影響，將隨機(jī)擾動(dòng)從初始信號(hào)中剝離出來(lái).

圖5 軟閾值法降噪后的信號(hào)Fig.5 Denoised signal with soft threshold

圖6 硬閾值法降噪后的信號(hào)Fig.6 Denoised signal with hard threshold

將折中閾值方法得到的結(jié)果(圖4)與采用軟閾值(圖5)和硬閾值(圖6)方法得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，可以看出硬閾值降噪方法能夠更多的保留系統(tǒng)的特征，但所得圖形相對(duì)粗糙，軟閾值降噪方法處理的結(jié)果相對(duì)光滑，但會(huì)損失一些系統(tǒng)信息；針對(duì)這兩種閾值的特點(diǎn)，折中閾值法通過(guò)折中因子的選取，可以在保留系統(tǒng)特征和圖形光滑度之間進(jìn)行折中調(diào)節(jié)，結(jié)果表明，折中閾值法可以通過(guò)選取折中因子來(lái)平衡信號(hào)光滑度和信息損失的矛盾，更具有靈活性和操作性.

4.2 測(cè)量結(jié)果驗(yàn)證及分析

對(duì)穩(wěn)定轉(zhuǎn)速為 6000 r/min到的軸承信號(hào)分析，采樣頻率為25.6kHz, 分別在三個(gè)不同時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，每個(gè)時(shí)段測(cè)得三組數(shù)據(jù).采用小波能量譜的方法進(jìn)行分析，分別得到信號(hào)能量在各頻帶中的分布，可根據(jù)不同時(shí)間測(cè)量的信號(hào)能量分布變化，完成對(duì)結(jié)構(gòu)狀態(tài)的診斷.在對(duì)信號(hào)的分析過(guò)程中，采用db12小波函數(shù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行三層分解，可將信號(hào)在八個(gè)頻帶進(jìn)行分解.

圖7 同一時(shí)間測(cè)得的三組信號(hào)能量分布Fig.7 The energy distribution of three sets of signals obtained in the same time period

圖7展示了在同一時(shí)間測(cè)得的信號(hào)能量在各頻帶中的分布，從圖中我們可以看到，信號(hào)在各頻帶中的分布具有一致性，三組信號(hào)在各能帶中分布的百分比最大不超過(guò)2%，其他各組數(shù)據(jù)也具有這一特點(diǎn)，因此可以說(shuō)明信號(hào)測(cè)量中不存在影響分析的干擾.

圖8 不同時(shí)間測(cè)量信號(hào)的能量分布Fig.8 The energy distribution of three sets of signals obtained in different time period

圖8展示了在三個(gè)不同時(shí)間測(cè)量信號(hào)的能量在各頻帶中的分布，從圖中可以看出信號(hào)在各頻段的分布隨時(shí)間有一定的變化.且第二組數(shù)據(jù)相較于第一和第三信號(hào)的能量在低頻和中頻均有一定的分布，而第二組信號(hào)在中頻部分無(wú)分量且在高頻部分有部分分量，這是由于在第二段時(shí)間后，對(duì)軸承系統(tǒng)進(jìn)行了維護(hù).由分析結(jié)果可以看出，所采用的小波能量譜方法可以很好的監(jiān)測(cè)振動(dòng)結(jié)構(gòu)的狀態(tài)，用于振動(dòng)系統(tǒng)的故障識(shí)別.

5 結(jié) 論

對(duì)含有噪聲的初始信號(hào)，本文首先基于折中閾值的小波包去噪方法對(duì)初始信號(hào)進(jìn)行去噪，去掉噪聲的影響，然后基于小波能量譜方法計(jì)算出去噪后的信號(hào)在各頻帶種的占比，可有效提取出測(cè)量信號(hào)的分布特征，識(shí)別出系統(tǒng)的狀態(tài).并從仿真實(shí)例和實(shí)際測(cè)量信號(hào)分析中驗(yàn)證了方法的有效性.