武捷

【摘要】本文以《正比例的意義》為例，對(duì)課程改革指向大概念下的單元知識(shí)結(jié)構(gòu)化展開(kāi)多元的分析，從學(xué)生視角出發(fā)，重視學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)理解、參與和實(shí)踐，促進(jìn)師生看見(jiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)的“完整樣子”，理解知識(shí)元素的“關(guān)聯(lián)變化”， 讓學(xué)生真正經(jīng)歷思維的整個(gè)過(guò)程，促進(jìn)知識(shí)體系的構(gòu)建與融通。

【關(guān)鍵詞】結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí) 大單元 小學(xué)數(shù)學(xué) 正比例的意義

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)需要將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的研究對(duì)象看成一個(gè)整體，學(xué)生在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，借助教師對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的整體理解與適切的課程開(kāi)發(fā)，經(jīng)歷個(gè)性化的連續(xù)、關(guān)聯(lián)、循環(huán)的認(rèn)知轉(zhuǎn)化，促進(jìn)結(jié)構(gòu)思維并實(shí)現(xiàn)心智轉(zhuǎn)換。在結(jié)構(gòu)化的觀課、評(píng)課、思課、研課中，筆者越來(lái)越清晰地看到結(jié)構(gòu)化視角下教師與文本、與學(xué)生、與過(guò)往經(jīng)驗(yàn)、與思維發(fā)展方向的對(duì)話，教師之思更有方向、教師之言更有力量、教師之察更有角度。

一、對(duì)話文本：學(xué)理分析，促進(jìn)知識(shí)結(jié)構(gòu)縱橫成網(wǎng)

1.教學(xué)宏觀背景研究

在數(shù)學(xué)教育從注重“雙基”到“四基”再到“核心素養(yǎng)”的當(dāng)下，我們有必要弄清楚知識(shí)、能力、素養(yǎng)之間的關(guān)系。長(zhǎng)期以來(lái)，我們的教學(xué)一直是一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，因?yàn)榻處焸兇蠖嘁罁?jù)教材的編排而為，因此學(xué)生頭腦中的知識(shí)也常常是點(diǎn)狀不連續(xù)的。結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的教材觀是：整體進(jìn)入，縱橫成網(wǎng)，融匯貫通。學(xué)習(xí)前將每課放在一定領(lǐng)域、一定知識(shí)結(jié)構(gòu)下來(lái)對(duì)待，找準(zhǔn)教學(xué)內(nèi)容的前延后續(xù)，縱向地理出學(xué)習(xí)內(nèi)容在本單元、本冊(cè)、年段、全冊(cè)的位置，前后關(guān)系。同時(shí)，橫向地分析所教知識(shí)在這冊(cè)中除了知識(shí)結(jié)構(gòu)之外的思想、方法、培養(yǎng)目標(biāo)、學(xué)科核心素養(yǎng)等共同之處和各個(gè)側(cè)重點(diǎn)。在解讀教材時(shí)，教師回歸到知識(shí)發(fā)生的源頭，不僅要找到知識(shí)的元素，更要發(fā)現(xiàn)知識(shí)元素的有機(jī)聯(lián)系。

《正比例的意義》是小學(xué)階段最后一節(jié)新授課，它與除法、分?jǐn)?shù)和比等知識(shí)有極大的關(guān)聯(lián)。正比例可以算作分?jǐn)?shù)從大板塊中發(fā)展開(kāi)來(lái)的一部分，在結(jié)構(gòu)化理念的指引下，聚焦分?jǐn)?shù)大板塊。梳理蘇教版數(shù)學(xué)12冊(cè)教材發(fā)現(xiàn)，“除法—分?jǐn)?shù)—比—比例”這條隱線的研究是貫連整個(gè)小學(xué)的，從三年級(jí)集中研究分?jǐn)?shù)往下追溯，二年級(jí)的平均分、等分除和包含除是“分”這條支流的上游，再往前一年級(jí)的減法、連續(xù)減去相同的數(shù)直至減完，這是“分”的源頭，往上追看，“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”之后的性質(zhì)、運(yùn)算，百分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)，比、比例，這些對(duì)于分?jǐn)?shù)更為深入、系統(tǒng)的研究集中在五、六年級(jí)。其中，比和比例的研究全部安排在六年級(jí)展開(kāi)，因此整體上理解分?jǐn)?shù)這個(gè)大板塊在小學(xué)階段的意義與價(jià)值很有必要。

再看一看這里交流的正比例的意義，它描述的是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量變化中的關(guān)系，蘇教版數(shù)學(xué)早在二年級(jí)就出現(xiàn)過(guò)相似的痕跡（見(jiàn)下頁(yè)圖1）：

這里量的變化是相伴產(chǎn)生的，學(xué)生利用不變的量“每只船坐5人”成功獲得“幾條船就能坐幾個(gè)5人”這樣的經(jīng)驗(yàn)，這是學(xué)生初步理解兩個(gè)量的相互影響，伴隨變化的過(guò)程，學(xué)生用乘的思維再反過(guò)來(lái)理解不變的量。

2.教學(xué)點(diǎn)中部剖析

若課時(shí)內(nèi)容是個(gè)點(diǎn)，那么單元內(nèi)容就是一條線?！包c(diǎn)動(dòng)成線，點(diǎn)線相連。”要理清課時(shí)內(nèi)容在單元中的前后聯(lián)系，充分認(rèn)識(shí)課時(shí)內(nèi)容在單元中的地位、作用和價(jià)值，把握遞進(jìn)的層次和邏輯關(guān)系，形成單元結(jié)構(gòu)塊。

《正比例的意義》是小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”中重要的內(nèi)容之一，也是學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)函數(shù)的開(kāi)始。函數(shù)思想的建立更多體現(xiàn)在第三學(xué)段，可以說(shuō)正比例、反比例的研究是函數(shù)的重要啟蒙，對(duì)六年級(jí)學(xué)生而言，這是一次數(shù)領(lǐng)域中的飛躍。那么，這個(gè)階段我們?nèi)绾味ㄎ缓瘮?shù)的概念？簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)：函數(shù)是一種以運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)來(lái)反映兩種數(shù)量之間相互聯(lián)系的一種數(shù)學(xué)模型。小學(xué)階段所探究的正比例意義、正比例關(guān)系也是當(dāng)中最簡(jiǎn)單、最線性的關(guān)系，追溯前五年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生經(jīng)歷過(guò)探索規(guī)律、數(shù)量關(guān)系和運(yùn)算公式中多個(gè)量的變化、字母表示數(shù)中多個(gè)字母之間的關(guān)聯(lián)……這些都為學(xué)生學(xué)習(xí)正比例的意義奠定了一定的知識(shí)基礎(chǔ)。同時(shí)，正比例意義的學(xué)習(xí)將直接為反比例意義的學(xué)習(xí)提供研學(xué)方法和研學(xué)模式，又為后續(xù)的解決實(shí)際問(wèn)題，乃至于將在初中系統(tǒng)地學(xué)習(xí)函數(shù)做好了知識(shí)和方法上的準(zhǔn)備。

二、對(duì)話學(xué)生：學(xué)情調(diào)研，關(guān)注個(gè)體成長(zhǎng)的“彈性”

學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，必須與其已有知識(shí)發(fā)生關(guān)系，以已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為載體來(lái)理解新知識(shí)，重新構(gòu)建知識(shí)體系。了解學(xué)生的學(xué)習(xí)潛在狀態(tài)、現(xiàn)實(shí)狀態(tài)以及發(fā)展的可能狀態(tài)，基于真實(shí)學(xué)情設(shè)計(jì)教學(xué)、組織學(xué)習(xí)活動(dòng)才能讓學(xué)習(xí)真正深遠(yuǎn)。以《正比例的意義》這個(gè)教學(xué)內(nèi)容為例，筆者進(jìn)行了綜合的分析。

1.學(xué)情訪談

教師課前了解了學(xué)生對(duì)于涉及的兩種相變化的量的認(rèn)知基礎(chǔ)，學(xué)生能夠結(jié)合自身充分的生活經(jīng)驗(yàn)，舉出大量實(shí)例。比如在訪談中，當(dāng)涉及“兩種相關(guān)聯(lián)的量”這個(gè)話題時(shí)，有的學(xué)生就說(shuō)：大樹(shù)生長(zhǎng)的高度跟它生長(zhǎng)的年份相關(guān)聯(lián)，還有的說(shuō)一天當(dāng)中氣溫是隨著時(shí)間的變化而發(fā)生變化的，等等。學(xué)生對(duì)于相關(guān)聯(lián)的含義是有自己的理解的，但不可否認(rèn)的是，從學(xué)生面對(duì)正比例的學(xué)習(xí)角度來(lái)看，還存在一定的認(rèn)知困難。因?yàn)閺难芯繑?shù)量關(guān)系的角度來(lái)看，學(xué)生對(duì)于以往的數(shù)量關(guān)系，包括一些運(yùn)算公式有比較清晰的了解，比如路程、時(shí)間、速度這組常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系，但還僅僅停留在對(duì)具體問(wèn)題的解決上，而正比例的意義是要從一種運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)去理解數(shù)量間的關(guān)系，要通過(guò)觀察、分析兩種數(shù)量之間的變化情況、變化規(guī)律，進(jìn)而達(dá)到對(duì)兩個(gè)變量關(guān)系的進(jìn)一步理解。因此，學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)和思考將從以往的靜態(tài)過(guò)渡到今天的動(dòng)態(tài)觀察分析，乃至抽象概括。這種研究問(wèn)題的角度對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)還是比較陌生的。

2.知識(shí)點(diǎn)調(diào)查

課前設(shè)計(jì)了這樣一份學(xué)情了解單（如圖2），利用學(xué)生熟悉的話費(fèi)場(chǎng)景，感受不同量間的關(guān)聯(lián)，從反饋可知，學(xué)生可以從情境中抽取不同的量，這是學(xué)生以往解決問(wèn)題提煉數(shù)量關(guān)系積累下的經(jīng)驗(yàn)，但在表達(dá)兩個(gè)量之間有怎樣的關(guān)系時(shí)，困難較大，不知如何表達(dá)或者只關(guān)注到一個(gè)量是如何變化的學(xué)生較多。說(shuō)明量之間是如何產(chǎn)生關(guān)聯(lián)的？怎樣一起變化的？什么是不變的？這些是真正的難點(diǎn)。

正比例函數(shù)思想的價(jià)值是什么？如果只是記住某段描述或模仿，這僅僅是基本知識(shí)、基本技能的層面。學(xué)生學(xué)習(xí)正比例的意義，應(yīng)在系統(tǒng)的模型背景下展開(kāi)研究，其更深遠(yuǎn)的價(jià)值在于學(xué)生以一種運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)、變化的眼光來(lái)看待生活中的現(xiàn)象，在變化中尋求對(duì)應(yīng)關(guān)系，在對(duì)應(yīng)中確定事物間的聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)與以往觀察的角度不同的理解。學(xué)生構(gòu)建正比例的模型，需要教師提供豐富的研究素材：文字、表格、關(guān)系式、圖像……利用多種形式來(lái)促進(jìn)理解，從而有意義地建構(gòu)正比例的概念本質(zhì)。

三、對(duì)話時(shí)空：學(xué)程設(shè)計(jì)，凝望課堂生長(zhǎng)的模樣

小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從直觀思維開(kāi)始，連接生活經(jīng)驗(yàn)和親身體驗(yàn)，在生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓生活現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知對(duì)象，并逐步建立整體表象。本課從學(xué)生的已有的知識(shí)基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，利用購(gòu)物的場(chǎng)景，引發(fā)學(xué)生感受量、相關(guān)聯(lián)的量的意義，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析，從而發(fā)現(xiàn)成正比例量的規(guī)律，概括成正比例量的特征。課堂上啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，提供自主探究的平臺(tái)，凡是能讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的，就讓學(xué)生親自去探究。通過(guò)課始、課中的數(shù)學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生把在課堂上所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到解決實(shí)際問(wèn)題中去，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力。

1.連續(xù)：整體進(jìn)入，關(guān)聯(lián)元素

正比例的意義探究是有深度的，它的意義在于相關(guān)聯(lián)量之間的“變與不變”，教材運(yùn)用時(shí)間與路程這組量展開(kāi)，并非學(xué)生最熟悉的場(chǎng)景，本課中更為形象地利用數(shù)量與總價(jià)這組直觀的量開(kāi)展研究，還原真實(shí)的購(gòu)物情景，喚起學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，“從圖中你能找到不同的量嗎？”學(xué)生從感受量開(kāi)始一步步體會(huì)相關(guān)聯(lián)的量，提取多樣豐富的素材。本課考查了學(xué)生分類、抽象的能力，學(xué)生經(jīng)過(guò)合情推理展開(kāi)聯(lián)想，對(duì)量的關(guān)聯(lián)性的感受是充足的。

接下來(lái)充實(shí)關(guān)聯(lián)的方式。動(dòng)畫模擬是一種形象、直觀的表征方式，學(xué)生通過(guò)觀察三組動(dòng)畫中兩個(gè)量的變化過(guò)程，進(jìn)行匹對(duì)，這需要特征上的提煉，通過(guò)反復(fù)推敲，學(xué)生相互交流，抽取出數(shù)學(xué)元素，在變化的過(guò)程中感受不變的量，為后續(xù)知識(shí)的展開(kāi)形象地進(jìn)行鋪墊。

2.關(guān)聯(lián)：主題探究，聯(lián)想發(fā)散

結(jié)構(gòu)化的學(xué)材設(shè)計(jì)能引領(lǐng)學(xué)生積極地在新舊知識(shí)之間建立聯(lián)系，將原有的經(jīng)驗(yàn)投射到新的情境中，將外在的信息轉(zhuǎn)化成“自己的知識(shí)”，更加有利于學(xué)生的學(xué)。本課中學(xué)生在有關(guān)數(shù)量與總價(jià)的相關(guān)研究之后，圍繞自身對(duì)正比例意義的感悟進(jìn)行發(fā)散思考，將素材進(jìn)行個(gè)性化的豐富，自發(fā)地利用小學(xué)階段其余一些需掌握的數(shù)量關(guān)系作為研究素材，將熟悉的量串聯(lián)起來(lái)。由此深入思考，舉例子、列數(shù)據(jù)、觀察對(duì)比，概括總結(jié)，自我發(fā)現(xiàn)、自主整理，學(xué)生的研究有明確要求，反饋時(shí)有層次劃分，互通聯(lián)系，對(duì)比觀察，促進(jìn)對(duì)概念本質(zhì)的理解。

3.循環(huán)：多向遞進(jìn)，思維攀升

在最后的層階練習(xí)階段，給學(xué)生提供了數(shù)形結(jié)合、動(dòng)靜相融的練習(xí)空間，有同心圓、同心正方形的變化，有數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)，更有回歸生活的現(xiàn)實(shí)素材，一個(gè)量隨著另一個(gè)量變化的過(guò)程在活動(dòng)中動(dòng)態(tài)生成了。學(xué)生在教師設(shè)計(jì)的活動(dòng)中、看似不經(jīng)意的動(dòng)作中感受到正比例的隨處可見(jiàn)，為深度思維的發(fā)生提供更大的空間。

四、對(duì)話效果：學(xué)評(píng)調(diào)節(jié)，循環(huán)知識(shí)的生長(zhǎng)結(jié)構(gòu)

結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)提倡根據(jù)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系對(duì)知識(shí)進(jìn)行歸類，使知識(shí)條理化、組塊化。學(xué)評(píng)調(diào)節(jié)的重要作用是既能幫助學(xué)生做好系統(tǒng)化的整理，也能將問(wèn)題延伸，將方法內(nèi)化?；仡櫿頃r(shí)讓學(xué)生通過(guò)觀察和思考找出各部分內(nèi)容之間的關(guān)系或者蘊(yùn)藏的規(guī)律，以達(dá)到完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的目的。結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)還強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)學(xué)習(xí)的自然延伸，在自然而然的知識(shí)應(yīng)用中，激起學(xué)生的問(wèn)題再生，有序創(chuàng)造知識(shí)結(jié)構(gòu)。

本課的最后，學(xué)生在具體情境中識(shí)別、再認(rèn)識(shí)正比例關(guān)系之后，感受到動(dòng)態(tài)中的知識(shí)，產(chǎn)生思考：圖形的變化背后是否存在不變的因素？隨處可見(jiàn)的“量”之間是否有關(guān)聯(lián)？有怎樣的聯(lián)系？除了本課所感受的“正”的關(guān)系，還會(huì)有其他的可能嗎？帶著這些思考，學(xué)生不斷地在頭腦中建構(gòu)新的結(jié)構(gòu)。

在結(jié)構(gòu)化的視角下，回望知識(shí)生長(zhǎng)中每階段的模樣，看清來(lái)時(shí)的軌跡和要去的路，全新的體驗(yàn)讓思維深入。結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)不是灌輸，而是點(diǎn)燃火焰，從自學(xué)、同伴互學(xué)，向網(wǎng)絡(luò)拓展，在問(wèn)題的引領(lǐng)中像“小科學(xué)家”一樣去發(fā)明、創(chuàng)造，為兒童多元發(fā)展提供思維動(dòng)力，讓課堂不斷生長(zhǎng)著新的生命氣息，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)逐步豐富、精細(xì)化，在自然中實(shí)現(xiàn)價(jià)值提升。

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