尹訓(xùn)昌

（安慶師范大學(xué),安徽安慶246133）

0 引言

相變問(wèn)題一直是熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理中的一個(gè)研究熱點(diǎn)，在教材中主要介紹一維和二維正方晶格Ising模型的相變。教材中的正方晶格滿足平移對(duì)稱不變性，且它們的空間維數(shù)僅能取正整數(shù)。分形晶格不具有平移對(duì)稱特點(diǎn)，分形維數(shù)可以是非正整數(shù)，因此，討論分形晶格上自旋模型的相變有一定的理論意義。分形是一種具有高度自相似特性的幾何圖形，分形維數(shù)和分岔度是分形的兩個(gè)重要參數(shù)。20世紀(jì)80年代初，Gefen等人討論了幾種分形晶格上Ising模型的相變問(wèn)題［1］，得到了無(wú)外場(chǎng)下系統(tǒng)的臨界點(diǎn)。從此以后，分形晶格上自旋系統(tǒng)的相變得到了越來(lái)越多的重視［2-7］。前人關(guān)于Potts模型的工作主要集中在可以約化的分形晶格，而本文所討論的分形晶格是不能約化的，它更加接近自然界中的真實(shí)鐵磁系統(tǒng)。本文應(yīng)用實(shí)空間重整化群的方法，討論一種不可約化的分形晶格上Potts模型的相變問(wèn)題。

1 一種分形晶格和Potts模型

圖1 描述了本文所討論的分形晶格的生成過(guò)程。該分形是通過(guò)連續(xù)迭代形成的，首先選取一個(gè)由兩個(gè)點(diǎn)和一個(gè)鍵組成的圖形作為最基本單元（即n=0級(jí)），再取八個(gè)最基本單元構(gòu)成一個(gè)圖形，為了簡(jiǎn)單我們稱之為生成元（n=1級(jí)），最后把生成元作為一個(gè)整體替換生成元中的每個(gè)鍵。最后一個(gè)步驟重復(fù)無(wú)窮多次，就得到不可約化的分形晶格。容易得知，該分形晶格的分形維數(shù)表示為d f=ln 8/ln 2=3，其分岔度為無(wú)窮。對(duì)于該分形晶格，每個(gè)格點(diǎn)的配位數(shù)不相同，它與格點(diǎn)的位置密切相關(guān)，因此它屬于一種典型的非均勻晶格。該分形晶格上Potts模型的有效哈密頓量為：

其中，K用來(lái)描述約化的最近鄰相互作用參數(shù)，符號(hào)si和sj分別用來(lái)表示格點(diǎn)i和j位置上的離散自旋變量，它只能取1,2兩個(gè)整數(shù)值，＜sisj＞代表只對(duì)最近鄰之間的自旋求和，δ為克羅內(nèi)克delta記號(hào)。該系統(tǒng)的配分函數(shù)可以寫為：

圖1 一種分形晶格的生成過(guò)程

2 重整化群變換過(guò)程

為了便于表述，選取生成元進(jìn)行重整化群變換。圖2（a）為該晶格的生成元，不同格點(diǎn)位置上的自旋分別用sa，sb，s1，s2和s3來(lái)表示。根據(jù)（1）式，寫出該生成元的有效哈密頓量如下：

圖2 重整化群變換過(guò)程

經(jīng)過(guò)一次重整化群變換后，圖2（a）內(nèi)部的3個(gè)格點(diǎn)被消去變?yōu)閳D2（b），這個(gè)步驟表示為：

其中，P只表示一個(gè)僅與積分有關(guān)的重整化群常數(shù)，H′表示經(jīng)過(guò)重整化群變換后圖2（b）的有效哈密頓量，它的表達(dá)式寫為：

把（3）式和（5）式代入（4）式，通過(guò)推導(dǎo)得到重整化群變換后的關(guān)系式為：

（6）式稱為該分形晶格上Potts模型相變的遞推關(guān)系。

為了求得該系統(tǒng)的臨界點(diǎn)，假設(shè)K′=K=K?，由（6）式通過(guò)計(jì)算得到該系統(tǒng)的臨界點(diǎn)為：

為了計(jì)算關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度的臨界指數(shù)，在臨界點(diǎn)附近區(qū)域把遞推關(guān)系進(jìn)行線性如下變換:

3 結(jié)論

本文采用實(shí)空間重整化群變換方法，研究了一種不可約化的分形晶格上Potts模型的相變，求得了該系統(tǒng)的臨界點(diǎn)和表征關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度性質(zhì)的臨界指數(shù)。結(jié)果表明，該分形晶格上的Potts模型在K?=0.528發(fā)生相變，通過(guò)進(jìn)一步分析可知該相變溫度為有限值。與該分形晶格上的Ising模型進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)的臨界點(diǎn)在數(shù)值上產(chǎn)生了明顯的變化。