大膽猜想 數(shù)形求證

王蘇文

(浙江省諸暨市浬浦中學(xué) 311824)

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).本文以2019年浙江高考第16題為例，闡述如何在數(shù)學(xué)素養(yǎng)下求解問題.

從試題來看，題干清楚、簡潔，但有難點，尤其是存在性與任意性的問題對于學(xué)生而言始終是個難點.本題主要考查函數(shù)、不等式(含絕對值)等高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，多角度、多層次地考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)學(xué)思想，同時也深度考查數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，屬于中等題.試題背景熟悉，學(xué)生容易入手，試題設(shè)計上能適合不同能力層次的學(xué)生.

本題在很多雜志上都有相應(yīng)的佳作，在閱讀雜志過程中頭腦中有這樣一個想法，注意到函數(shù)發(fā)現(xiàn)f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，同時f(x+2)-f(x)的橫坐標(biāo)之差為定值，結(jié)合浙江高考題的命題理念(高考命題數(shù)學(xué)組的試題評析和命題思路報告中提到：從整體出發(fā)運用合理的算法快速求解問題，這種“想得多一點，算得少一點；想得少一點，算得多一點”的命題理念).

一、大膽猜想

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括：借助空間形式認識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題.

二、形的驗證

為了證實這個問題的正確性，隨后運用幾何畫板，通過圖象來驗證結(jié)果的可靠性，以下是幾何畫板的驗證情況.

在實數(shù)a的變化過程中，夾在x=t,x=t+2的縱坐標(biāo)之差最小值為恰好為t=-1時取到.

三、數(shù)的求證

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也指出：數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能進一步發(fā)展數(shù)學(xué)運算能力；有效借助運算方法解決實際問題；通過運算促進數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹求實的科學(xué)精神.為了確保解題的嚴(yán)密性，筆者也運用最基本的運算方法進行解答.

此法圍繞函數(shù)思想進行求解，作為絕對值問題的常見方法為分類討論，解法如下.

此法主要利用|x|≤m(m>0)?-m≤x≤m分類討論去掉絕對值，同時運用分離變量法求函數(shù)的最值問題，使問題越來越簡潔，明了.

四、幾種視角

從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題.本題可從以下幾個視角進一步的思考：

在平時求解過程中一方面要敢于大膽的猜想，而猜想的根源來于自己所掌握的知識和方法中所提煉的，同時也要能夠進行嚴(yán)密的計算與驗證，只有通過這樣才能將數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)得以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷提升.