張沁生，趙長見，趙 蕊，李 璞，程永欣

（中國運載火箭技術(shù)研究院，北京，100076）

0 引 言

新一代智能技術(shù)與航天技術(shù)的深度融合正在成為中國由航天大國走向航天強國的重要驅(qū)動，新一代項目管理智能信息化系統(tǒng)的發(fā)展也同步成為航天項目管理的熱點問題。

關(guān)鍵鏈法提供了一種新的項目管理方法，相對傳統(tǒng)關(guān)鍵路徑法（Critical Path Method，CPM）或計劃評審技術(shù)（Project Evaluation and Review Technique，PERT）的改進點在于在約束理論基礎(chǔ)上實現(xiàn)了計劃與資源的緊密結(jié)合。歷經(jīng)20 余年的發(fā)展，其理論逐漸被引入實際應(yīng)用，但其先進性仍主要體現(xiàn)在管理思想方面，許多重要理論方法在實際應(yīng)用中仍存在普適性不足的問題。

將關(guān)鍵鏈法應(yīng)用于新一代航天項目管理信息化系統(tǒng)中需要解決多方面的問題，包括航天多級計劃中哪幾級應(yīng)用關(guān)鍵鏈法、長周期型號項目緩沖區(qū)（項目緩沖、匯入緩沖、資源緩沖）設(shè)置問題、多項目計劃的智能優(yōu)化、多項目計劃智能再調(diào)度以及多項目計劃的魯棒性等一系列問題。所有問題的最基本元素是活動的工期估計和各類緩沖區(qū)確定。

1 問題分析

1.1 航天項目科研生產(chǎn)活動分類及特點

依據(jù)“研制程序”等行業(yè)規(guī)范，項目科研生產(chǎn)直接相關(guān)活動主要分為：設(shè)計類（含技術(shù)創(chuàng)新與工藝創(chuàng)新）、產(chǎn)品生產(chǎn)類、試驗類和驗收評審類。通過分析歷年來部分型號項目的各類活動完成工期，并與部分項目管理人員研究，總結(jié)了上述4 類活動工期特點：

a）設(shè)計類：工作分解結(jié)構(gòu)中各活動由設(shè)計人員單獨或與其他設(shè)計人員協(xié)調(diào)完成。其不確定性較大，主要取決于技術(shù)難度、人員的水平、態(tài)度及人員間的相互配合程度。多型號的此類活動實作工期數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析顯示，完工工期基本呈正態(tài)分布或略左傾的正態(tài)分布?！芭两鹕▌t”、“學(xué)生綜合癥”等確實在一定程度上影響著工作的完成。

b）生產(chǎn)類：各類活動主要指各種產(chǎn)品或試驗件的生產(chǎn)，其活動內(nèi)容及時間由生產(chǎn)工藝進行規(guī)范，該類活動的完工工期有一定的剛性。不確定性主要來源于生產(chǎn)準(zhǔn)備時間、人員操作熟練程度等。該類活動的完工工期統(tǒng)計數(shù)據(jù)呈右傾較多的正態(tài)分布，或以對數(shù)正態(tài)分布擬合更為恰當(dāng)。

c）試驗類：指利用試驗設(shè)備、設(shè)施，按試驗大綱規(guī)定完成試驗，取得各類試驗參數(shù)，供設(shè)計人員確定和調(diào)整設(shè)計狀態(tài)。其不確定性主要來源于操作人員、試驗進程是否符合預(yù)期等。不確定性介于設(shè)計類和生產(chǎn)類之間，完工工期統(tǒng)計數(shù)據(jù)呈現(xiàn)略右傾的正態(tài)分布。

d）驗收評審類：經(jīng)對統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析，該類活動工期通常較短，確定性較高，可以將估計工期直接設(shè)置為計劃的執(zhí)行時間，不設(shè)置緩沖區(qū)。

主要類型活動的完工工期概率密度如圖1所示（不包括評審驗收類）。

1.2 緩沖區(qū)大小確定常用方法

關(guān)鍵鏈法緩沖區(qū)大小的確定通常采用“剪切-粘貼法”或“根方差法”。

“剪切-粘貼法”[1]由關(guān)鍵鏈法創(chuàng)始人Goldratt 提出，將活動執(zhí)行時間設(shè)定為估計工期值的50%，將關(guān)鍵鏈或非關(guān)鍵鏈的各活動工期剪去部分的1/2 作為安全時間，求和后直接放置在關(guān)鍵鏈尾或非關(guān)鍵鏈尾，作為項目緩沖（Project Buffer，PB）或匯入緩沖（Feeding Buffer，F(xiàn)B）。此方法自提出之日起就頗具爭議，文獻[2]～[6]從不同側(cè)面做了論述，項目緩沖、匯入緩沖都隨著計劃網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度增加和活動數(shù)量增多而呈線性增長，與項目實際嚴(yán)重脫節(jié)。

根方差法[2]由Newbold 提出，主要目的是解決“剪切-粘貼法”緩沖區(qū)隨鏈上活動線性增長問題。具體方法是以估計工期的50%作為執(zhí)行時間，將核減的時間作為安全時間σi，對關(guān)鍵鏈或非關(guān)鍵鏈上各活動安全時間的平方和開平方，放置鏈尾形成項目緩沖PB 或匯入緩沖FB。其計算式為

林晶晶[3]認(rèn)為：根方差法提出的各活動相對獨立的基本假設(shè)并不符合實際；張文靜等[4]認(rèn)為“根方差法”與“剪切粘貼法”一樣，都未考慮資源約束的松緊度。

1.3 航天項目緩沖區(qū)確定需解決的首要問題

a）執(zhí)行時間應(yīng)符合航天項目各類活動工期分布

王雪青等[5]提出不應(yīng)簡單地將安全時間設(shè)定為估計工期的50%，緩沖區(qū)大小確定應(yīng)考慮人員、設(shè)備、技術(shù)、風(fēng)險等因素的影響。蔡晨等[6]在三點估值法基礎(chǔ)上，設(shè)置彈性系數(shù)KB，通過KB計算安全時間。

航天項目3 類主要活動呈現(xiàn)出不同的工期分布特征，統(tǒng)一以估計工期的50%劃分為執(zhí)行時間和安全時間不符合航天項目實際。上級計劃按此考核下級執(zhí)行單位，對生產(chǎn)類、試驗類工作則過于嚴(yán)苛、失實，不僅于任務(wù)完成無益，而且可能造成管理混亂。

b）多項目計劃的魯棒性問題

航天項目管理信息化系統(tǒng)，安排著眾多的型號科研生產(chǎn)任務(wù)，各型號、各項目的眾多活動存在對同一資源的爭奪。為平衡競爭，在計劃制定之初就依據(jù)設(shè)定的各活動工期進行了多項目計劃的優(yōu)化與反復(fù)協(xié)調(diào)。在執(zhí)行過程中，如果由于活動工期嚴(yán)重失準(zhǔn)，導(dǎo)致前項計劃未按期完成，必然造成后續(xù)計劃節(jié)點的批量調(diào)整。如果此現(xiàn)象在眾多型號中普遍存在，必然造成多型號、多項目普遍進行計劃的再調(diào)度和再優(yōu)化。計劃的大面積、頻繁變更不僅造成計算資源大幅浪費，也將導(dǎo)致系統(tǒng)失敗和項目管理失控。

面對上述問題，基于中心極限定理，忽略各活動工期分布特征，將緩沖區(qū)大小建立在統(tǒng)一的正態(tài)分布基礎(chǔ)上，簡單地將各活動估計工期的50%設(shè)定為安全時間顯然是不可行的。

為解決這一問題，需要尋找更為靈活、符合航天項目各類活動實際完工工期分布特點的執(zhí)行工期、安全時間及緩沖區(qū)大小的確定方法。綜上，航天項目計劃緩沖區(qū)確定方法應(yīng)滿足下述基本條件：

a）活動工期估計、執(zhí)行時間確定、緩沖區(qū)大小計算方法應(yīng)能夠利用活動完工工期統(tǒng)計數(shù)據(jù)和經(jīng)驗，符合航天項目不同類型活動的完工概率密度分布特征；

b）以新方法編制的關(guān)鍵鏈法計劃，不必追求項目紙面計劃的盡可能短，而應(yīng)為實際執(zhí)行計劃和多項目執(zhí)行計劃具有高魯棒性提供必要的基礎(chǔ)；同時，新方法計劃也應(yīng)體現(xiàn)關(guān)鍵鏈法的先進思想。

2 緩沖區(qū)大小確定

2.1 基于模糊理論的執(zhí)行時間確定

項目工作分解結(jié)構(gòu)中任意一項活動的執(zhí)行時間及安全時間都源于對該活動的工期估計。活動的工期估計一般由經(jīng)驗豐富的項目管理人員依據(jù)經(jīng)驗主觀估計，不可避免地具有模糊性。將模糊數(shù)學(xué)引入活動工期估計，能較貼切地描述和處理這種模糊性。

2.1.1 模糊數(shù)簡介

模糊數(shù)學(xué)基本理論將模糊數(shù)定義為一個連續(xù)的模糊集合[7,8]。描述活動工期通常采用梯形模糊數(shù)和三角形模糊數(shù)，梯形模糊數(shù)形式如圖2 所示。

圖2 梯形模糊數(shù)Fig.2 Trapezoidal Fuzzy Number

梯形模糊數(shù)（a，b，c，d）的隸屬函數(shù)表達式為

式中 μ(t) 為隸屬函數(shù)；t 為活動執(zhí)時間。

2.1.2 一致指數(shù)

一致指數(shù)最早由Gupta 和Kaufmand[9]提出，被用來評價兩個模糊事件的一致程度。其實際含義為描述模糊事件A 有多大比例分布在事件B 的區(qū)間中。兩個事件A、B 的一致指數(shù)AI（A，B）面積表達式為

式中 μ(A∩B)為模糊數(shù)A 與模糊數(shù)B 交集的隸屬函數(shù)；μ(A)為模糊數(shù)A 的隸屬函數(shù)。

一致指數(shù)AI（A，B）指標(biāo)的面積表示如圖3 所示。設(shè)定項目工作分解結(jié)構(gòu)中某一活動A（事件A）的工期估計為梯形模糊數(shù)（a，b，c，d）；同時假定事件B 的模糊數(shù)為（0，0， th， th），則Area(A ∩ B)為圖中陰影部分的面積，一致指數(shù)AI（A，B）為陰影部分面積除以梯形（a，b，c，d）的面積。

圖3 一致指數(shù)的含義Fig.3 The Meaning of the High Agreement Index

性質(zhì)1：0≤AI（A，B）≤1

性質(zhì)2：AI（A，B）= f （ th）

2.1.3 執(zhí)行工期確定

將梯形模糊數(shù)引入項目活動工期估計，梯形模糊數(shù)（a，b，c，d）對應(yīng)的完工可能性如表1 所示。

表1 梯形模糊數(shù)表示的完工可能性Tab.1 Probability of Task Completion Indicated by Trapezoidal Fuzzy Number

梯形模糊數(shù)b，c 取值相等時，就轉(zhuǎn)化為三角形模糊數(shù)，因此“三點法”可以看作“梯形模糊數(shù)法”的一個特例。

工期估計的四點分布需結(jié)合歷史經(jīng)驗、活動類型、技術(shù)成熟度、活動不確定性等因素，應(yīng)體現(xiàn)被評估活動完工概率密度的基本特征。

在文獻[9]～[10]的基礎(chǔ)上得出以下定義：

一致指數(shù)AI（A，B）反映的是：在 th時刻活動A的完工概率。若令h=AI（A，B），此時 th為完工概率為h 時活動A 的執(zhí)行時間，稱h 為活動A 的真度值。

由表1 可知，活動的執(zhí)行時間th取值范圍僅應(yīng)在（b，c）或（c，d）區(qū)間內(nèi)。

由假設(shè)條件及式（3），可推導(dǎo)出：

活動執(zhí)行工期的分類計算：

a）新技術(shù)（新工藝）開發(fā)或應(yīng)用等類型活動：主要歸類為設(shè)計類活動，真度值h 取50%，活動執(zhí)行時間可取t50%；

b）試驗等類活動：真度值h 取55%，活動執(zhí)行時間取t55%；

c）生產(chǎn)等類活動：真度值h 取60%，活動執(zhí)行時間取t60%。

驗收評審類工作與其它類型活動相比，通常時間較短，可以將估計工期作為執(zhí)行時間，不設(shè)定安全時間裕量，不計入緩沖區(qū)。

本文僅基于部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)和經(jīng)驗總結(jié)，對有關(guān)類型活動真度值h 選取給出概略性建議。更合理、準(zhǔn)確的選取值有待大量各類活動實際執(zhí)行時間的積累和分析。項目管理人員可依據(jù)經(jīng)驗、歷史數(shù)據(jù)積累以及具體活動的不同特點等選取具體活動的真度值h。

通過真度值h 的調(diào)整，項目管理人員能靈活地應(yīng)用活動的完工概率積累數(shù)據(jù)，確定活動的執(zhí)行時間th，從而使計劃更符合實際，有利于提高實際執(zhí)行計劃的魯棒性。

2.2 緩沖區(qū)大小計算

2.2.1 安全時間裕量與風(fēng)險因素

活動的安全時間裕量：

式中si為活動i 的安全時間裕量； di為活動i 估計工期的最大值； thi為活動i 的執(zhí)行時間。

決定緩沖區(qū)大小的因素除安全時間裕量外，還有影響各活動執(zhí)行的風(fēng)險因素，主要有資源不確定性（αi）、網(wǎng)絡(luò)活動復(fù)雜度（βi）、技術(shù)不確定性（δi）及環(huán)境不確定性等。

資源不確定性是指被評估活動所需資源（人力、設(shè)備及設(shè)施等可更新資源）的保障程度，其評價指標(biāo)多以資源緊張度（αi）表示[3]。

網(wǎng)絡(luò)活動復(fù)雜度是指：距離項目開始時間越遠(yuǎn)的活動，其工期估計的不確定性越大。其評價指標(biāo)以網(wǎng)絡(luò)活動復(fù)雜度（βi）表示[3]。

技術(shù)不確定性：活動包含新技術(shù)開發(fā)或應(yīng)用，理論的成熟性、新技術(shù)的實現(xiàn)途徑、作用機理、對環(huán)境的適應(yīng)性以及應(yīng)用結(jié)果等都會對活動完成時間造成較大的影響。為定量化表示技術(shù)不確定性，部分研究采用了層次分析法。該方法的評價指標(biāo)打分、權(quán)重的確定是主觀的，計算過程也相對較多。本文采用經(jīng)驗設(shè)定，即參照其他項目歷史數(shù)據(jù)，對特定的活動可設(shè)定技術(shù)不確定性系數(shù)（δi）為0.2～0.5 的一個經(jīng)驗系數(shù)。

環(huán)境的不確定性，是指用戶要求、項目實施環(huán)境變化等對活動的影響，具有不可預(yù)測性，一般采用臨時應(yīng)對措施，不在緩沖區(qū)計算中考慮。

2.2.2 緩沖區(qū)大小計算

確定緩沖區(qū)大小的步驟是：a）計算各活動執(zhí)行時間；b）依據(jù)緊前、緊后關(guān)系，結(jié)合資源約束繪制網(wǎng)絡(luò)圖，確定關(guān)鍵鏈、非關(guān)鍵鏈；c）確定插入?yún)R入緩沖及項目緩沖的位置；d）計算項目緩沖PB 及匯入緩沖FB。

綜合各風(fēng)險因素影響，項目緩沖與匯入緩沖大小的計算公式為

式中 PB 為項目緩沖；i 為關(guān)鍵鏈上所有活動（1，2，3…，i，…，n-1，n）的第i 項；n 為關(guān)鍵鏈上所有活動的最后一項；αi，βi，δi和si分別為關(guān)鍵鏈上第i 項活動的資源緊張度、網(wǎng)絡(luò)活動復(fù)雜度、技術(shù)不確定性系數(shù)和安全時間裕量；FB 為匯入緩沖；j 為某一非關(guān)鍵鏈上所有活動（1，2，3…，j，…，m-1，m）的第j 項；m 為某一非關(guān)鍵鏈上所有活動的最后一項；αj，βj，δj和sj分別表示此非關(guān)鍵鏈上第j 項活動的資源緊張度、網(wǎng)絡(luò)活動復(fù)雜度、技術(shù)不確定性系數(shù)和安全時間裕量。

2.3 緩沖的檢驗與調(diào)整

非關(guān)鍵鏈匯入關(guān)鍵鏈如圖4 所示。

圖4 非關(guān)鍵鏈匯入關(guān)鍵鏈?zhǔn)疽釬ig.4 Schematic Diagram of Non Critical Chain and Critical Chain

將關(guān)鍵鏈各項活動及項目緩沖向右靠齊，非關(guān)鍵鏈各項活動向左靠齊；匯入緩沖的大小須滿足：

式中 FBmn為非關(guān)鍵鏈活動（i～m）的匯入緩沖；FFm為非關(guān)鍵鏈上最后一個活動m 的自由時差；LFn為關(guān)鍵鏈上活動n 的最晚結(jié)束時間；EFm為非關(guān)鍵鏈上活動m的最早結(jié)束時間。

若不滿足式（11）要求，則令 FBmn=FFm；否則此匯入緩沖將導(dǎo)致關(guān)鍵變更和項目完工時間推遲。

3 算例

3.1 項目基本信息

算例網(wǎng)絡(luò)圖如圖5 所示。

圖5 算例網(wǎng)絡(luò)Fig.5 Network Graph of the Example

算例的工作內(nèi)容、資源、工期估計如表2 所示。

表2 算例基本信息Tab.2 Basic Information of the Example

其關(guān)鍵路徑為B-C-F-H-I，以活動估計工期的期望值為執(zhí)行工期，關(guān)鍵路徑法求得的算例項目總工期為70.17 個時間單位。此關(guān)鍵路徑未考慮活動C 與活動D的資源沖突，實際此關(guān)鍵路徑不可執(zhí)行。

3.2 緩沖區(qū)尺寸計算

不同方法計算所得各活動執(zhí)行時間、安全時間裕量具體數(shù)值如表3 所示。

表3 各活動執(zhí)行時間、安全時間裕量Tab.3 Execution Time and Safety Allowance of Activities

對比表3 中活動F、G、H 有關(guān)數(shù)據(jù)可見：當(dāng)活動的估值范圍（d～a）較大且不屬于正態(tài)分布時，本文方法計算所得活動的執(zhí)行時間、標(biāo)準(zhǔn)差明顯不同于其他兩種方法的計算值。其原因在于其他兩種方法不考慮數(shù)據(jù)的分布特征。

算例中，由于活動C 與活動D 存在資源使用沖突，原并行執(zhí)行關(guān)系轉(zhuǎn)為了串行執(zhí)行關(guān)系。以資源需求、供給為依據(jù)，根據(jù)活動的緊前關(guān)系、活動的執(zhí)行時間，可尋得關(guān)鍵鏈與非關(guān)鍵鏈。此算例3 種不同計算方法所得關(guān)鍵鏈均相同，其甘特圖如圖6 所示，關(guān)鍵鏈為A-D-C-F-H-I，非關(guān)鍵鏈為B 及E-G。

圖6 算例關(guān)鍵鏈法甘特圖Fig.6 Gantt Chart of the Example Based on Critical Chain

不同方法計算所得項目緩沖PB、匯入緩沖FB1、FB2以及項目完工時間如表4 所示。

表4 不同方法計算所得緩沖區(qū)大小及完工時間Tab.4 Buffer Size and Completion Time Calculated by Different Methods

由表4 可知，3 種方法計算所得項目完工時間差別不顯著，最大差距也僅為0.93 個時間單位；因此，本文所列方法既實現(xiàn)了關(guān)鍵鏈法的先進思想，也借助于真度值h 的靈活調(diào)整，使項目的各活動執(zhí)行時間及各類緩沖區(qū)更符合實際。

3.3 完工時間模擬

本文應(yīng)用Crystal Ball 軟件，以各活動估計工期的概率密度為輸入假設(shè)，進行算例完工時間模擬。

算例執(zhí)行計劃網(wǎng)絡(luò)如圖7 所示。由于資源約束，活動C 與活動D 之間增加了約束關(guān)系。

圖7 算例關(guān)鍵鏈法計劃網(wǎng)絡(luò)Fig.7 Network Graph of the Example Based on Critical Chain

非關(guān)鍵鏈匯入關(guān)鍵鏈共有兩個結(jié)點，由于輸入數(shù)據(jù)為滿足一定概率分布特征的隨機數(shù)，故模擬過程中其緊后活動須滿足限制條件式（13）：

式中 ESC、ESI為關(guān)鍵鏈被匯入點緊后活動C、I 的最早開始時間；LFB、LFD分別為匯入節(jié)點緊前活動B、D的最晚結(jié)束時間；LFG、LFH分別為匯入節(jié)點緊前活動G、H 的最晚結(jié)束時間。模擬結(jié)果如圖8、圖9 所示。模擬結(jié)果顯示：確定性為90%、95%時，項目完工時間分別為85.5、87.61 個時間單位。采用本文計算方法所得項目完工時間按計劃完工的確定性達到90%，體現(xiàn)了關(guān)鍵鏈法的先進思想和作用。

圖8 完工時間模擬頻率視圖Fig.8 Simulation Frequency of Completion Time

圖9 完工時間累計頻率視圖Fig.9 Accumulation Frequency of Completion Time

4 結(jié) 論

a）將模糊數(shù)學(xué)引入活動工期估計，能較貼切地描述和處理工期估計的模糊性；同時采用梯形模糊數(shù)進行工期估計，也能體現(xiàn)航天項目不同類型活動的工期分布特征。

b）本文方法改變了僵化的執(zhí)行時間確定方法，以不同真度值h 下的可靠工期th作為活動執(zhí)行工期，有堅實的理論支撐。

c）項目管理人員可以充分利用人員經(jīng)驗和工期統(tǒng)計數(shù)據(jù)概率分布等知識，通過真度值h 取值的調(diào)整恰當(dāng)?shù)卮_定活動執(zhí)行時間th、安全時間及緩沖區(qū)大小，從而使得編制的計劃更加符合實際。

d）通過仿真模擬，應(yīng)用該方法確定的緩沖區(qū)大小與項目計劃，計劃完工確定性可以達到較高水平，體現(xiàn)了關(guān)鍵鏈法的先進思想。

綜上，本文提出的緩沖區(qū)大小確定方法，實現(xiàn)了初始設(shè)定的目標(biāo)，具有一定的實用價值。