胡嘉葦

[摘? 要] 摘要：提到統(tǒng)計一章中涉及的核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析是比較明顯的兩條線，直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)卻容易在實際教學(xué)中被人忽略. 一個重要的原因在于，教材中數(shù)據(jù)的整理收集到最后的統(tǒng)計圖表直觀呈現(xiàn)，需要信息技術(shù)的支持，而一線教師擅長的幾何畫板等工具在這方面的功能有限，所以實際的高中課堂就出現(xiàn)了直接“套用”“默認”教材的圖表呈現(xiàn). 但缺少了學(xué)生的“建構(gòu)體驗”，“直觀想象”也就大打折扣. 圖形計算器兼具數(shù)與形的優(yōu)點，相當(dāng)于移動的數(shù)學(xué)實驗室. 文章以線性回歸方程的教學(xué)設(shè)計為例，探討其在培養(yǎng)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的一些操作形式.

[關(guān)鍵詞] 直觀想象;圖形計算器;線性回歸

問題提出

1. 如何理解“直觀想象”核心素養(yǎng)

2014年3月教育部頒布的《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》，確立了核心素養(yǎng)在立德樹人中的突出地位. 林崇德教授曾提出：“學(xué)生應(yīng)具備能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.”核心素養(yǎng)兼具個體發(fā)展和社會發(fā)展，連接個體價值和社會價值，是人從事社會實踐活動必備的知識、能力和品格的綜合表現(xiàn).直觀想象作為六大核心素養(yǎng)之一，其重要性不言而喻，也就順理成章成為一線教師認真鉆研、努力踐行的重頭戲.

那什么是“直觀想象”？

著名數(shù)學(xué)家希爾伯特曾說：“要幫助我們的學(xué)生學(xué)會用圖形來描述和刻畫問題，學(xué)會用圖形去發(fā)現(xiàn)解決問題的思路.”這可以說是給出了直觀想象的本質(zhì)界定.

“直觀想象”在高中教學(xué)中的具體培養(yǎng)要求是什么？

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中“直觀想象”核心素養(yǎng)的界定：指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括：借助空間認識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題. 主要表現(xiàn)為：建立形與數(shù)的聯(lián)系;利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

個人覺得，直觀和想象都是人們認識和感知世界的一種基本方式.人們認知世間萬物的一個基本特點就是將事物直觀化. 直觀的呈現(xiàn)方式是多種多樣的，可以是短視頻或圖片，可以是一張思維導(dǎo)圖. 直觀雖是低層次的認知，但它可以為進一步的抽象與想象做鋪墊.直觀能促進更豐富有效的想象，所以直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).

2. 統(tǒng)計教學(xué)中“直觀想象”核心素養(yǎng)的現(xiàn)狀與困境

必修三中統(tǒng)計版塊的教材雖然處處可見直觀想象的素材，但真正在實際教學(xué)的過程中，我們卻常常選擇忽略這些金子般的直觀素養(yǎng)培養(yǎng)的種子. 一個重要的原因在于，教材中數(shù)據(jù)的整理收集到最后的統(tǒng)計圖表直觀呈現(xiàn)，需要信息技術(shù)的支持. 一線教師擅長的幾何畫板等工具在這方面的功能有限，沒有辦法在教材呈現(xiàn)這一“從數(shù)據(jù)到圖像”的重要過程，而是被迫選擇直接“套用”“默認”教材的圖表呈現(xiàn). 于是，“大家觀察圖……”這樣的話語就頻頻出現(xiàn)在課堂. 雖然學(xué)生基本不會懷疑教材中圖表呈現(xiàn)的真實性，但缺少了學(xué)生的“建構(gòu)體驗”，“直觀想象”就變成了“讓我們看”，更別提教材為我們精心設(shè)計準(zhǔn)備的那些有著強烈實際背景的課后習(xí)題了，基本上被我們在教學(xué)中“打入冷宮”.

3. 圖形計算器的特點與優(yōu)勢

何為圖形計算器？圖形計算器通常指一種能夠繪制函數(shù)圖像、解聯(lián)立方程組以及執(zhí)行其他各種操作的手持計算器，大多數(shù)圖形計算器還能編寫數(shù)學(xué)類程序. 概括起來，其突出特點是：手持便攜，圖文并茂，能動會變，形象直觀，及時反饋.正是由于它兼具數(shù)與形的優(yōu)點，所以在統(tǒng)計這一版塊知識的教學(xué)中，能夠成為直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的重要載體.

4. 《變量間的相關(guān)關(guān)系》教學(xué)設(shè)計片段

環(huán)節(jié)一、動手操作，作散點圖

在一次對人體脂肪和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù).（PPT展示人教A版教材必修3第85頁人體的脂肪百分比和年齡圖）

問題（1）：針對上述數(shù)據(jù)所提供的信息，你認為人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？

問題（2）：怎樣直觀形象地展示兩個變量的關(guān)系？——引出散點圖.

問題（3）：你能想象一下作出的散點圖的大致情況嗎？嘗試用圖形計算器驗證你的猜想.

學(xué)生操作：先把數(shù)據(jù)中成對出現(xiàn)的兩個數(shù)分別作為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，把數(shù)據(jù)輸入表格當(dāng)中（第一列橫坐標(biāo)、第二列縱坐標(biāo)）得到圖1;繪出散點圖，得到圖2.

問題（4）：這些散點圖有什么特點？——引出線性相關(guān)關(guān)系.

問題（5）：下面給出三組數(shù)據(jù)（PPT展示），請我們的三個學(xué)習(xí)小組，每個小組作出其中一個散點圖，并觀察數(shù)據(jù)特點. 結(jié)合作出的散點圖，教師總結(jié)：線性相關(guān)關(guān)系，正負相關(guān)關(guān)系等概念.

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)回到了教材所舉的例子進行探究，在引導(dǎo)學(xué)生得出圖像（散點圖）的必要性過后，筆者給時間讓學(xué)生嘗試在腦袋里暢想散點圖的大致形狀. 然后通過圖形計算器作出散點圖進行對照，一是與自己的想象對照，二是把自己作出的散點圖與教材給出的散點圖進行對照. 經(jīng)歷這個過程的目的是讓學(xué)生感受：直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).同時相比教材中“從天而降”的散點圖，自己動手作出的散點圖將會更加真實、更加親切且讓人印象深刻.

環(huán)節(jié)二、直觀想象，引出回歸直線

問題：結(jié)合散點圖，你能說說人在62、63、64歲時的脂肪含量大約是多少嗎？你做出判斷的理由是什么？可以把你的想法在小組內(nèi)交流探討.

教師：參與到學(xué)生的小組討論中，了解學(xué)生的想法. 在了解的基礎(chǔ)之上，請一些具有典型想法的學(xué)生來與全班交流.

結(jié)合學(xué)生的回答，引導(dǎo)學(xué)生觀察：所有的點都大致分布在一條直線的附近，只要求出這條直線的方程，那么就可以知道人在62、63、64歲時的脂肪含量.如圖2，從整體上看，散點圖中的點分布大致在一條直線附近，我們把這條直線叫做“回歸直線”. （教師引導(dǎo)學(xué)生在圖形計算器上作出回歸直線）？搖

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)可以說是本節(jié)課的精華所在，精彩之處就在于開放性的提問. “結(jié)合圖2”就是把學(xué)生的關(guān)注點引到對散點圖的分析，“62、63、64歲時的脂肪含量大約是多少”本來就是一個沒有標(biāo)準(zhǔn)答案的提問，這樣可以讓學(xué)生有自由發(fā)揮想象的空間. 設(shè)置小組討論、全班交流的環(huán)節(jié)，就是想讓學(xué)生在交流中不斷修正、取舍、優(yōu)化. 結(jié)合教師引導(dǎo)，讓學(xué)生自然而然地過渡到找一條直線來“近似代替”，從而經(jīng)歷：獨立看圖自由想象—小組討論取舍方案—全班思考明晰方向.

5. 信息技術(shù)助力直觀想象變成學(xué)生可操作的基本活動經(jīng)驗

新課程標(biāo)準(zhǔn)由原來的“雙基”拓展為“四基”，“基本活動經(jīng)驗”成為核心素養(yǎng)培養(yǎng)必不可少的“關(guān)鍵詞”. 而在統(tǒng)計這一章節(jié)中，受信息技術(shù)條件和教師理念的影響，很多時候的課堂都是照搬、照抄教材中給出的圖表. 或許從知識理解以及最后的考試來看影響不大，但是學(xué)生的活動操作經(jīng)驗卻被簡單粗暴地換成了閱讀和接受. 直觀想象素養(yǎng)的滲透當(dāng)然也就無計可施，失去了知識的生長點. 信息技術(shù)的介入，能夠讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識的發(fā)生發(fā)展過程，或許過程會出錯，或許會走彎路，但這也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必不可少的活動經(jīng)驗. 此外，這種直觀想象的探究不僅可以在課堂上，也可以在課后、在家里;不僅可以研究教材的舉例，也可以研究課后的習(xí)題、課后的實習(xí)作業(yè)等. 這樣就拓展了學(xué)生基本活動經(jīng)驗獲得的時間和空間，同時也為教師的教學(xué)設(shè)計提供了更多可能.