探究圓錐曲線中定點(diǎn)與面積問題的一般解法

何定杰

摘 要：圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)解析幾何的一個(gè)重難點(diǎn)知識(shí)，通常會(huì)結(jié)合其他版塊的知識(shí)進(jìn)行考查，比如直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，定點(diǎn)問題和構(gòu)成圖形面積問題是其典型代表。以2019年全國(guó)Ⅲ卷（理科數(shù)學(xué)）中的10題、21題為例，解析高考真題，以求分離出解題過程中的數(shù)學(xué)思想及思維，從而總結(jié)類型問題的一般解法，讓難點(diǎn)變成可攻克的一般問題。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線 解析幾何 定點(diǎn) 面積 數(shù)學(xué)思想及思維

新課標(biāo)2017版將高中數(shù)學(xué)劃分為五大主題，而圓錐曲線是幾何與代數(shù)主題下的一個(gè)重難點(diǎn)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系更是考查的重中之重，這樣一來(lái)就要求學(xué)生具備足夠的數(shù)形結(jié)合的思想以及構(gòu)造函數(shù)（或方程）的解題思維，同時(shí)還對(duì)學(xué)生翻譯與轉(zhuǎn)化的能力、運(yùn)算能力有著較高的要求。

下面就以2019年高考全國(guó)Ⅲ卷（理科數(shù)學(xué)）10題、21題為例，對(duì)這類型的問題進(jìn)行解析。

總結(jié)：本題考查了圓錐曲線中的定點(diǎn)問題以及圓錐曲線與定直線的四邊形的面積問題，考查的知識(shí)面廣，計(jì)算復(fù)雜，包括函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線、四邊形的內(nèi)容，難度較大，是這張?jiān)嚲淼膲狠S題之一。從函數(shù)角度入手，結(jié)合拋物線的一些性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，利用弦長(zhǎng)公式聯(lián)系二次函數(shù)與圓錐曲線的方程，巧妙將四邊形切割成兩個(gè)三角形，從而將求四邊形的面積轉(zhuǎn)化成求兩個(gè)三角形的面積之和的問題，提高運(yùn)算的效率。

二、類型總結(jié)

1.定點(diǎn)問題

定點(diǎn)問題是圓錐曲線考查的難點(diǎn)和熱點(diǎn)問題，對(duì)所學(xué)知識(shí)的綜合考查力度是比較強(qiáng)的，對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯推理的能力要求都是較高的。涉及這類型的題目常常令學(xué)生望而卻步，那么下面介紹兩種這類題常用的解題方法。

（1）參數(shù)法

參數(shù)法是高考解題中很常見的方法，函數(shù)、解三角形、數(shù)列、幾何等等類型的題都可以運(yùn)用參數(shù)法求解，其核心思想就是引進(jìn)參數(shù)將題設(shè)中的條件聯(lián)系起來(lái)，從而達(dá)到求解的目的。那么下面我們就圓錐曲線的定點(diǎn)問題總結(jié)參數(shù)法的一般步驟：

設(shè)參：根據(jù)題設(shè)條件引進(jìn)參數(shù);一般引進(jìn)的參數(shù)都是點(diǎn)的坐標(biāo)或者直線的斜率

列式：根據(jù)題設(shè)列出關(guān)系式;題中條件一般都能指引我們表示出對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)直線或者曲線的方程

轉(zhuǎn)化：根據(jù)題設(shè)探求直線過某一定點(diǎn);一般的，將表示出來(lái)的動(dòng)態(tài)直線轉(zhuǎn)化成的形式，這樣就能找到直線恒過某一定點(diǎn);若設(shè)立的是動(dòng)態(tài)曲線的方程，就要將其轉(zhuǎn)化成的形式，從而找到直線恒過的定點(diǎn)。

本題既然是探究以MN為直徑的圓過不過定點(diǎn)，就需要將圓的方程表示出來(lái)，由題設(shè)，不難發(fā)現(xiàn)將M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出來(lái)是首要的。我們直接設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩個(gè)參量表示出其他量，從而結(jié)合題設(shè)達(dá)到消參的目的，求出定點(diǎn);本題還有另一種解法，可以通過引入?yún)⒘縦，設(shè)立直線PQ的方程，再通過解方程組求出各個(gè)量，找到定點(diǎn)（參考例3自行探究）。

通過探究，可以發(fā)現(xiàn)，第一種方法比第二種的運(yùn)算少，計(jì)算相對(duì)容易。從而我們可以得到一個(gè)啟示：只有合理的選擇參數(shù)，才能有效地減少運(yùn)算量。

（2）由特殊到一般法

當(dāng)題設(shè)沒有給出定點(diǎn)，但要求解決這個(gè)定點(diǎn)問題，我們就可以從題設(shè)中尋找特殊情況以確定這個(gè)定點(diǎn)，找到目標(biāo)之后再進(jìn)行一般情況下的推理。

解題步驟：

研究特殊情況;從題設(shè)的特殊情況入手，得到目標(biāo)關(guān)系索要探求的定點(diǎn)。一般的特殊情況有：直線斜率不存在、直線過原點(diǎn)等。

探究一般情況;從得到的定點(diǎn)入手，探究一般情況下，是否會(huì)經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)，從而判定我們得到的點(diǎn)是否是正解。

得出結(jié)論;綜合上述得出結(jié)論。

有關(guān)方法二需要大家自主訓(xùn)練，對(duì)于圓錐曲線的定點(diǎn)問題，計(jì)算量大，式子復(fù)雜，但只要運(yùn)用好這兩種方法，認(rèn)真、仔細(xì)的演算，基本沒有問題。

2.面積問題

圓錐曲線中的面積問題往往是幾個(gè)知識(shí)面的交匯考查，如例1綜合考查了三角形的性質(zhì)和雙曲線的內(nèi)容，又如例2（2）考查了函數(shù)、圓和拋物線的內(nèi)容，是高考的一大難題。這類問題一般考查的面積計(jì)算無(wú)非是三角形與四邊形，也可以總結(jié)出一些解題的規(guī)律。

（1）熟練尋找三角形的底和高：

如例1，分析題設(shè)條件我們很容易能找到底邊OF是最合適的突破口，從而結(jié)合三角形的性質(zhì)我們很快就求出答案。

實(shí)際上，求三角形的面積離不開底和高，由此至少需要兩條線段的長(zhǎng)度，而為了簡(jiǎn)便運(yùn)算，我們通常會(huì)選擇能以坐標(biāo)直接表示的線段作為底或高。

（2）熟悉特殊類型的三角形：焦點(diǎn)弦三角形

定義：過有心圓錐曲線一個(gè)焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)與另一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱為有心圓錐曲線的焦點(diǎn)弦三角形[1]

這類最值問題， 通常動(dòng)直線是過定點(diǎn)斜率不定或截距變化斜率不變，如定點(diǎn)在x軸（y軸） 且在橢圓內(nèi)（外），不管哪一種類型，都要恰當(dāng)選擇直線點(diǎn)斜式方程避免分類討論， 并合理選擇三角形面積公式進(jìn)行割補(bǔ)等簡(jiǎn)化運(yùn)算， 此外還要求熟練掌握換元法和配湊法等策略。[2]

三、思考啟示

圓錐曲線是高考重難點(diǎn)，考題綜合性強(qiáng)，?？碱}目交匯內(nèi)容多，是一個(gè)需要大量練習(xí)與記憶的內(nèi)容。有關(guān)其中的定點(diǎn)問題以及面積問題都能總結(jié)出比較常見的模型，在練習(xí)時(shí)，聯(lián)合曲線、直線構(gòu)建合理的解題模型能起到事半功倍的效果。需要注意的是，有的題不止一種解法（如例3），不同解法的計(jì)算量和復(fù)雜程度也有可能不一樣，所以解題時(shí)需要分析清楚適合的解法，提高解題效率。

參考文獻(xiàn)

[1]張超.焦點(diǎn)弦三角形的面積表示及應(yīng)用[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.2019（7）：56

[2]黃偉才.圓錐曲線最值問題處理策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究.2019（4）：43