例析“基本條件”相同試題中韋達(dá)定理應(yīng)用的兩種模式

文嶺南師范學(xué)院附屬中學(xué) 羅東萍

一、問(wèn)題提出

“韋達(dá)定理”在解析幾何中是一個(gè)耳熟能詳?shù)拿~，關(guān)于它在解析幾何中的應(yīng)用文章已經(jīng)寫(xiě)得非常多了，查閱近20年關(guān)于解析幾何中韋達(dá)定理應(yīng)用的文獻(xiàn)資料發(fā)現(xiàn)，這些文章基本局限于簡(jiǎn)化計(jì)算以及運(yùn)算技巧，我們可換一個(gè)視角討論韋達(dá)定理在解決高考試題中的應(yīng)用。首先觀察下面兩例解析幾何試題：

引例1和引例2有一個(gè)共同的條件“直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)”，我們稱之為“基本條件”， 時(shí)隔九年，這兩道試題的“基本條件”雷同，不同的是已知直線的條件，因而，建立根與系數(shù)關(guān)系的方法和步驟完全一樣：聯(lián)立方程組，構(gòu)造一元二次方程，韋達(dá)定理應(yīng)用(建立根與系數(shù)的關(guān)系)。

有理由推斷，如果將“基本條件”相同的試題歸為一類，該類試題中直線存在的狀態(tài)將影響韋達(dá)定理的應(yīng)用。事實(shí)上，讀者將會(huì)看到，根據(jù)直線的形態(tài)可將高考解析幾何試題中韋達(dá)定理使用情形清晰分類。

二、兩種模式

1.單參數(shù)模式

單參數(shù)模式意指僅已知題設(shè)“基本條件”中決定直線方程的一個(gè)條件，引例1和引例2皆為單參數(shù)橫式，大量的高考試題亦屬于這種模式。

習(xí)慣上將例1中韋達(dá)定理的使用歸為“設(shè)而不求”這一技巧，本質(zhì)含意為：假設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)，但在整個(gè)解題過(guò)程中并不需要具體求出交點(diǎn)；然而，單參數(shù)模式高考試題并非永遠(yuǎn)“設(shè)而不求”，有一類單參數(shù)高考試題需要利用韋達(dá)定理求出具體的交點(diǎn)，且極具技巧性。

2.雙參數(shù)模式

雙參數(shù)模式意指題設(shè)“基本條件”中決定直線方程的兩個(gè)條件都未知，這類試題應(yīng)用韋達(dá)定理有一定的難度。

解析：由于E，F(xiàn)是橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線EF的方程的兩個(gè)參數(shù)未知，故屬于雙參數(shù)模式，構(gòu)建一元二次方程、建立根與系數(shù)的關(guān)系需要一定的技巧，設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，直線EF的方程為y=kx+m；將直線EF的方程和橢圓C的方程分別變形為：

由此看到，對(duì)于雙參數(shù)問(wèn)題，不是將基本條件中的直線與圓錐曲線聯(lián)立得到一元二次方程，而是將方程的變?cè)臑槠渌问?，如本例變?cè)莾牲c(diǎn)連線的斜率，此時(shí)，一元二次方程的解亦不是直線與曲線的交點(diǎn)；有時(shí)，對(duì)于雙參數(shù)模式，有時(shí)構(gòu)造一元二次方程并不需要聯(lián)立方程組。