[摘要]《復(fù)變函數(shù)與積分變換》是一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，在力學(xué)與電學(xué)等多個(gè)工科方向中有著非常廣泛的應(yīng)用。而此課程又因?yàn)槌橄?、?jì)算復(fù)雜等原因使得不少學(xué)生對(duì)這門課程的興趣不高。所以如何提高學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣就顯得尤為重要。工科學(xué)生有著自己的特點(diǎn)，抓住特點(diǎn)，因材施教可以大大提高效率。

[關(guān)鍵詞]復(fù)變函數(shù)與積分變換;工科院校;學(xué)習(xí)興趣培養(yǎng)

[中圖分類號(hào)] 0174.5-4

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

1 引言

復(fù)變函數(shù)理論自19世紀(jì)蓬勃發(fā)展以來，就在力學(xué)、電學(xué)等多個(gè)方面有著重要的應(yīng)用，而后基于復(fù)數(shù)理論的積分變換更在信號(hào)處理、自動(dòng)控制、圖形圖像處理等方向中都有著非常廣泛的應(yīng)用。一般來說在工科院校中都會(huì)含有上述專業(yè)方向，以湖北汽車工業(yè)學(xué)院為例，其中機(jī)械工程學(xué)院、電氣與信息工程學(xué)院、材料工程與科學(xué)學(xué)院與汽車工程學(xué)院的十余個(gè)專業(yè)，都將《復(fù)變函數(shù)與積分變換》作為專業(yè)必修基礎(chǔ)課。這反映了這門課程在相關(guān)工科專業(yè)中的重要工具地位。

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》作為一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，有著數(shù)學(xué)課程的共有特點(diǎn)。課程內(nèi)容多半抽象，邏輯性強(qiáng)，計(jì)算繁復(fù)，需要一定的空間想象能力。不少學(xué)生容易在課堂學(xué)習(xí)的過程中被嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定理、公式推導(dǎo)消磨掉學(xué)習(xí)熱情。又由于《復(fù)變函數(shù)與積分變換》是在必修課程《高等數(shù)學(xué)》之后開設(shè)，不少學(xué)生的高數(shù)基礎(chǔ)不牢，因而在學(xué)習(xí)這門課程的過程中挫折感強(qiáng)，這也會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生對(duì)這門課程的畏難心理。這些因素都會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)《復(fù)變函數(shù)與積分變換》的學(xué)習(xí)興趣下降，最終影響知識(shí)的掌握。

2 興趣培養(yǎng)

興趣是最好的老師，所以保持學(xué)生們對(duì)這門課程的學(xué)習(xí)興趣是提升教學(xué)質(zhì)量的一個(gè)重要手段。通過總結(jié)幾年來在一線的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合工科學(xué)生的一些自身特點(diǎn)，下面提出一些培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣的方法，供大家參考。

2.1 多元化教學(xué)手段，提升學(xué)習(xí)興趣

傳統(tǒng)的《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課堂教學(xué)一般采用講授的方法，同時(shí)內(nèi)容上注重?cái)?shù)學(xué)理論的完整與推導(dǎo)。但是隨著近年來電子技術(shù)與網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，學(xué)生們的生活習(xí)慣與學(xué)習(xí)習(xí)慣也被極大的改變了，傳統(tǒng)的重視知識(shí)結(jié)構(gòu)推導(dǎo)的教學(xué)方式難以激發(fā)學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣，而碎片化的知識(shí)點(diǎn)以及與網(wǎng)絡(luò)結(jié)合的新式教學(xué)手段則更能引起他們的興趣。所以教師采用多元化教學(xué)手段是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的一個(gè)重要方式。經(jīng)過一段時(shí)間的發(fā)展，已經(jīng)有很多網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)發(fā)展的非常完善，例如學(xué)習(xí)通，微助教等。這些平臺(tái)的功能強(qiáng)大，除了可以實(shí)現(xiàn)上傳課件與資料，編輯知識(shí)點(diǎn)等傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)課程平臺(tái)的功能外。還可以完成簽到、討論、課堂點(diǎn)答、上交作業(yè)、線上考試和網(wǎng)絡(luò)直播等教學(xué)過程。在這些網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)中，可以很好地結(jié)合現(xiàn)今更為先進(jìn)的教學(xué)模式，重新組織教學(xué)過程，達(dá)到預(yù)習(xí)、學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)的一體化效果。

例如，課程中“復(fù)數(shù)的幾何表示”這節(jié)?？梢圆捎肂OOPPS模式，通過導(dǎo)人、學(xué)習(xí)目標(biāo)、前測(cè)、參與式學(xué)習(xí)、后測(cè)、總結(jié)這六個(gè)過程，把預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)融入到課堂學(xué)習(xí)中。在加入了網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)后，導(dǎo)入部分的“實(shí)數(shù)的幾何意義”，前測(cè)部分的“平面與向量”、“復(fù)數(shù)的概念”等知識(shí)點(diǎn)，則可以通過網(wǎng)頁(yè)與電子書的鏈接輔以動(dòng)圖，給學(xué)生更為方便與直觀的呈現(xiàn)。學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中，對(duì)于自己模糊不清的知識(shí)點(diǎn)都可以通過鏈接快速的找到概念，這樣就極大的碎片化了知識(shí)點(diǎn)，滿足了當(dāng)代學(xué)生用手機(jī)隨時(shí)隨地學(xué)習(xí)的需求。對(duì)于學(xué)習(xí)興趣的提高大有裨益。

而且網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)的優(yōu)勢(shì)不僅僅在重組教學(xué)結(jié)構(gòu)上。它對(duì)于各個(gè)教學(xué)過程的表現(xiàn)形式會(huì)顯得更加多元、豐富，比如在簽到過程上，學(xué)生可以通過手機(jī)主動(dòng)參與，并通過多媒體投影了解到自己是第幾個(gè)簽到的，前十名簽到的又都是哪些同學(xué)。這時(shí)有些平臺(tái)還會(huì)自動(dòng)幫助前三名分別帶上金冠，銀冠和銅冠，這樣一來學(xué)生的參與感大大提高，學(xué)習(xí)興趣也更加濃厚。其他猶如課堂點(diǎn)答，課堂討論等教學(xué)過程都可以在平臺(tái)的輔助下，提高表現(xiàn)力與課堂參與度，這正好契合學(xué)生們好奇與喜歡互動(dòng)的特點(diǎn)，可以很好的激發(fā)學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣。

教學(xué)手段與教學(xué)方法一直在進(jìn)步，從最開始的書本、黑板、粉筆到后來的多媒體教學(xué)。而如今通過微助教、學(xué)習(xí)通等網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)建立的網(wǎng)課，可以更好地利用網(wǎng)絡(luò)的特性。教師可以隨時(shí)發(fā)送知識(shí)點(diǎn)與任務(wù)給學(xué)生，學(xué)生們?cè)谡n余時(shí)間也能夠通過手機(jī)隨時(shí)觀看。這種強(qiáng)調(diào)了碎片化時(shí)間與知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)方式，既能通過新技術(shù)使得知識(shí)表現(xiàn)得更加直觀、生動(dòng)。又迎合了學(xué)生們的學(xué)習(xí)、生活習(xí)慣。在鍛煉了學(xué)生們自學(xué)能力的同時(shí)，提高了學(xué)習(xí)興趣。

2.2 合理安排學(xué)時(shí)，提升學(xué)習(xí)興趣

現(xiàn)行的《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程多為48學(xué)時(shí)，分為“復(fù)變函數(shù)”、“積分變換”兩大部分，其中數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)在課程中占有很大的比例。而工科專業(yè)中與《復(fù)變函數(shù)與積分變換》相關(guān)的知識(shí)應(yīng)用主要集中在積分變換部分。例如，電路與自動(dòng)控制中的拉普拉斯變換，模擬電子中的頻率分析信號(hào)與系統(tǒng)中的傅里葉變換等。所以在工科院校中，本課程可以結(jié)合工科的特點(diǎn)，適當(dāng)調(diào)整學(xué)時(shí)，可在“復(fù)變函數(shù)”部分弱化一定的內(nèi)容，比如弱化部分共形映射知識(shí)等，減少一些學(xué)時(shí)。而在重點(diǎn)的“積分變換”部分則應(yīng)該進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)習(xí)，增加課時(shí)，增加和實(shí)際貼合緊密的例題?？傮w達(dá)到的目標(biāo)是降低理論推導(dǎo)要求，增加實(shí)用性的知識(shí)學(xué)習(xí)，由此來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.3 挖掘課程內(nèi)容，提升學(xué)習(xí)興趣

工科學(xué)生大多具有較強(qiáng)的數(shù)理基礎(chǔ)與探索精神，所以從課程內(nèi)容人手，找到學(xué)生們感興趣的點(diǎn)也能有效地提高學(xué)習(xí)興趣。

例如一經(jīng)提出就受到人們廣泛關(guān)注的分形理論，其中構(gòu)造分形圖形就需要經(jīng)常用到復(fù)變函數(shù)中的復(fù)解析函數(shù)族。常用的有，（z）=zn+c，f（Z） =Z-n +C等。分形理論在非線性研究中占有重要位置，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)分形幾何則是用分?jǐn)?shù)維度的視角來探究部分與整體自相似的理論，這樣的描述更加符合客觀事物的復(fù)雜性與多樣性。自然界中具有自相似性質(zhì)的事物數(shù)不勝數(shù)，其中最廣為人知的便屬由Mandelbrot提出的英國(guó)海岸線的自相似性，其他諸如連綿的山脈，海螺的花紋，大腦皮層，布朗運(yùn)動(dòng)都是具有自相似性質(zhì)的例子。分形理論哲學(xué)思維強(qiáng)，揭示了大自然復(fù)雜表面下的數(shù)學(xué)秩序，容易使學(xué)生們產(chǎn)生興趣。（分形圖形：見圖1、圖2）

而加入了無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)討論的復(fù)球面，也讓學(xué)生對(duì)有限與無(wú)限有了幾何直觀認(rèn)識(shí)。復(fù)球面借助了地球的形象，取兩點(diǎn)分別為N與S，稱為北極和南極。讓S點(diǎn)與復(fù)平面中的直角坐標(biāo)系的零點(diǎn)重合，如圖3所示。通過建立復(fù)球面，使得平面上所有的點(diǎn)都在球面上能找到點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。而球面上的N點(diǎn)在有限的平面上則沒有對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)極限的思想，N點(diǎn)就和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)了起來。從復(fù)球面的圖像上可以看出，四面八方的無(wú)窮遠(yuǎn)最后都匯聚于同一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。直線在復(fù)球面上就是一個(gè)過無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的圓。這樣從直觀上讓學(xué)生觀察到了無(wú)窮遠(yuǎn)，并明白了一些無(wú)窮遠(yuǎn)的性質(zhì)，刺激了學(xué)生的探索欲，從而提高學(xué)習(xí)興趣。

2.4 聯(lián)系工程實(shí)際，提升學(xué)習(xí)興趣

工科學(xué)生動(dòng)手能力強(qiáng)，實(shí)際問題更能引起他們的興趣。比起掌握定理推導(dǎo)，學(xué)生們更希望“學(xué)以致用”。在教學(xué)過程中，更多地講解與工科專業(yè)相聯(lián)系的例題，或是與實(shí)際工程相聯(lián)系的問題。橫向朕合加縱向聯(lián)合的方式，能夠有效地引起學(xué)生們的注意，提高課堂的關(guān)注度。

例：求矩形脈沖函數(shù)

由這道例題，學(xué)生們則可以很快地聯(lián)想到自己的電學(xué)以及自動(dòng)化方面的實(shí)例，由此感受到知識(shí)的重要，從而提升對(duì)本門課程的學(xué)習(xí)興趣。

2.5 應(yīng)用軟件簡(jiǎn)化計(jì)算和抽象思維，提升學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)學(xué)科有兩大難點(diǎn)，一是計(jì)算復(fù)雜，例如微分、積分的計(jì)算，矩陣的運(yùn)算，高維方程組的運(yùn)算等。另一方面則是需要有一定的抽象思維能力，一部分概念的闡述與高維度圖形的想象對(duì)這個(gè)能力有較高的要求。而近年來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，應(yīng)用專業(yè)軟件來簡(jiǎn)化計(jì)算與實(shí)現(xiàn)可視化，已經(jīng)成為解決復(fù)雜問題的重要手段。計(jì)算機(jī)可以通過專業(yè)軟件快速的進(jìn)行計(jì)算，并且強(qiáng)大的畫圖和列表功能也能幫助人們更方便、直觀的理解復(fù)雜問題。這正好符合工科學(xué)生普遍有較強(qiáng)的計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)的特點(diǎn)，所以把專業(yè)軟件帶入課堂，可以發(fā)揚(yáng)工科學(xué)生的長(zhǎng)處，降低理論學(xué)習(xí)的難度，從而極大提高學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣。

例如，用MATLAB計(jì)算余弦函數(shù)f（t）=cos 2t的拉普拉斯變換。代碼如下：

>>symst

>>f =cos（2*t）

>>F=laplace（f）

>>pretty（F）

>>subplot（1，2，1）

>>ezplot（f）

>>subplot（1，2，2）

學(xué)生們利用專業(yè)軟件可以非常輕松地得出以前難以計(jì)算的結(jié)果，并且可以通過畫圖來加深對(duì)知識(shí)的印象。

3 結(jié)語(yǔ)

“愛好即獲得知識(shí)的第一步”，興趣在學(xué)習(xí)中的作用往往大于責(zé)任感。學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣一旦得到激發(fā)，那么他就會(huì)自己認(rèn)真聽講，自己查資料進(jìn)行鉆研。如此不光知識(shí)能夠掌握，更能培養(yǎng)出學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，鍛煉自學(xué)能力。

[參考文獻(xiàn)]

[1]邵子遜.復(fù)變函數(shù)理論思想方法的形成與發(fā)展[J].成陽(yáng)師專學(xué)報(bào)（綜合雙月刊），1997（03）.

[2]洪乃剛，陳玉燕，徐明.復(fù)變函數(shù)積分變換與有關(guān)課程整合的研究[J].華東冶金學(xué)院學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），2000 （03）.

[3]李志艷.《復(fù)變函數(shù)與積分變換》學(xué)習(xí)興趣培養(yǎng)[J].讀與寫雜志，2019（10）.

[4]李明‘來自復(fù)變函數(shù)族f（z）=z- +c的IFS構(gòu)造分形研究[D].沈陽(yáng)建筑大學(xué)，2019.

[5]胡政發(fā).復(fù)變函數(shù)與積分變換[M]同濟(jì)大學(xué)出版社，2015.

[6]王璐.復(fù)變函數(shù)與積分變換的MATLAB解法與可視化的教學(xué)改革研究[J].黑龍江教育（理論與實(shí)踐），2015 （01）.

[作者簡(jiǎn)介]姜皓（1987-），男，回族，湖北十堰市人，助教，研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。