丁婳婳

(華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 鄭州 450046)

0 引言

灰數(shù)及其運(yùn)算是灰色系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)?；覕?shù)是指僅知道取值范圍但不知其確切值的數(shù)，用記號“?”表示[1]。

文獻(xiàn)[2]根據(jù)區(qū)間灰數(shù)的已有分布信息發(fā)掘其幾何意義，并把灰數(shù)序列轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)序列完成建模預(yù)測，但僅能解決典型白化權(quán)函數(shù)類型。文獻(xiàn)[3-4]從區(qū)間灰數(shù)的“核”“信息域”以及“認(rèn)知程度”等特征出發(fā)實(shí)現(xiàn)預(yù)測；文獻(xiàn)[5]利用文獻(xiàn)[3-4]定義的信息域和認(rèn)知程度，構(gòu)建了改進(jìn)的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型；區(qū)間灰數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化形式在文獻(xiàn)[6]中給出，文中把區(qū)間灰數(shù)分為“白部”和“灰部”兩個實(shí)數(shù)序列；文獻(xiàn)[7]中對文獻(xiàn)[6]所定義的兩個實(shí)數(shù)序列分別進(jìn)行預(yù)測，進(jìn)而完成區(qū)間灰數(shù)的預(yù)測；文獻(xiàn)[8]在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上又運(yùn)用函數(shù)的面積和重心給出白化權(quán)函數(shù)預(yù)測模型；文獻(xiàn)[9]基于核與測度完成了區(qū)間灰數(shù)的預(yù)測；文獻(xiàn)[10]為了保證灰度在建模過程中不減，利用準(zhǔn)灰度因子對區(qū)間灰數(shù)取值范圍進(jìn)行灰度最大化處理；文獻(xiàn)[11]在“灰度不減”公理?xiàng)l件下，定義兩組含上下限信息的核序列的預(yù)測模型降低誤差;文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]分別提出了基于白化權(quán)函數(shù)的灰數(shù)的核與灰度的定義。

本文將利用文獻(xiàn)[12-13]給出的定義，完成基于白化權(quán)函數(shù)的區(qū)間灰數(shù)的預(yù)測。根據(jù)已有信息，本文通過充分利用白化權(quán)函數(shù)端點(diǎn)值與區(qū)間灰數(shù)的邊界值之間的關(guān)系，建立預(yù)測模型。最后將模型應(yīng)用于已有文獻(xiàn)的算例分析中，驗(yàn)證了模型的有效性和實(shí)用性。

1 基本概念

定義1[2]既有下界ak，又有上界bk的灰數(shù)稱為區(qū)間灰數(shù)，記為?k∈[ak,bk]，其中ak≤bk，k=1,2,…。由區(qū)間灰數(shù)構(gòu)成的序列記為X(?)=(?1,?2,…,?n)。

定義2[1]對于區(qū)間灰數(shù)?k∈[ak,bk],ak≤bk，k=1,2,…，在缺乏灰數(shù)取值信息分布情況下稱

(1)

為區(qū)間灰數(shù)的核。

定義3[4]對于區(qū)間灰數(shù)?k∈[ak,bk],ak≤bk，k=1,2,…，稱區(qū)間長度

d(?k)=bk-ak

(2)

為區(qū)間灰數(shù)的信息域。X(?)中所有區(qū)間灰數(shù)的信息域構(gòu)成的序列稱作信息域序列，記為

Xd=(d1,d2,…,dn)。

定義4[3]對于區(qū)間灰數(shù)?k∈[ak,bk],ak≤bk，k=1,2,…，稱

(3)

Xp=(p1,p2,…,pn)。

定義5[13]用來描述一個灰數(shù)?k∈[ak,bk]在其取值范圍[ak,bk]內(nèi)對不同數(shù)值的偏好程度的函數(shù)，稱作區(qū)間灰數(shù)?k的白化權(quán)函數(shù)，記為f?k(x)；起點(diǎn)、終點(diǎn)確定的左升、右降連續(xù)函數(shù)稱為典型白化權(quán)函數(shù)，如圖1所示。

圖1 典型白化權(quán)函數(shù)Fig.1 Typical whitening weight function

定義6[13]圖1中，當(dāng)a′k=b′k時，則稱函數(shù)為三角白化權(quán)函數(shù)，如圖2所示。

圖2 三角白化權(quán)函數(shù)Fig.2 Triangular whitening weight function

定義7[12]論域Ω∈[a,b]，區(qū)間灰數(shù)?k∈[ak,bk]?Ω，k=1,2,…，f?k(x)為灰數(shù)?k的白化權(quán)函數(shù)，且0≤f?k(x)≤1，則區(qū)間灰數(shù)的核為

(4)

定義8[13]一種基于灰色白化權(quán)函數(shù)的灰數(shù)灰度定義(如圖1)

(5)

2 基于白化權(quán)函數(shù)的改進(jìn)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型的構(gòu)造

基于白化權(quán)函數(shù)的改進(jìn)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型的建模流程：首先根據(jù)已有的信息內(nèi)容，計算出區(qū)間灰數(shù)的信息域和認(rèn)知程度序列，對兩序列依次建立DGM(1,1)模型，經(jīng)由推導(dǎo)還原，完成區(qū)間灰數(shù)上下界值的預(yù)測；因?yàn)橐阎鲄^(qū)間灰數(shù)的白化權(quán)函數(shù)，就已知其在取值區(qū)間內(nèi)的偏好信息，故在計算認(rèn)知程度時，用文獻(xiàn)[12]給出的核來作為白化值。然后根據(jù)核與灰度，建立白化權(quán)函數(shù)端點(diǎn)值與區(qū)間灰數(shù)的上下界信息之間的關(guān)系，通過對核與灰度序列建立GM(1,1)模型再推導(dǎo)，完成白化權(quán)函數(shù)端點(diǎn)值的預(yù)測。

2.1 白化權(quán)函數(shù)已知的區(qū)間灰數(shù)上下界預(yù)測

其中k=1,2,…,n，

且

其還原值為

(6)

其中k=1,2,…，n。

同理建立認(rèn)知程度序列的DGM(1,1)模型，還原值為

(7)

其中k=1,2,…,n。

由于此時缺乏預(yù)測值的取值分布信息，故用式(1)給出的核作為認(rèn)知程度中的白化值。有

(8)

且

(9)

聯(lián)立式(8)和式(9)可得

(10)

將式(6)和式(7)的預(yù)測結(jié)果代入式(10)中即可得區(qū)間灰數(shù)上下界的預(yù)測值。

2.2 白化權(quán)函數(shù)端點(diǎn)值預(yù)測

基于白化權(quán)函數(shù)的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型，在預(yù)測完區(qū)間灰數(shù)的取值范圍基礎(chǔ)上，完成白化權(quán)函數(shù)端點(diǎn)值的預(yù)測。本文研究了兩種白化權(quán)函數(shù)類型。

1)白化權(quán)函數(shù)為典型白化權(quán)函數(shù)。

當(dāng)f?k(x)為典型白化權(quán)函數(shù)時，如圖1所示，其具體表達(dá)式為

由式(4)可求得區(qū)間灰數(shù)的核為

(11)

由式(5)可得區(qū)間灰數(shù)的灰度

(12)

對核與灰度序列分別建立GM(1,1)模型，其還原值為

(13)

(14)

已知區(qū)間灰數(shù)的核與灰度的預(yù)測值，聯(lián)立式(11)和式(12)，將式(13)和式(14)的結(jié)果代入即可得典型白化權(quán)函數(shù)端點(diǎn)預(yù)測值的表達(dá)式，為

(15)

(16)

由式(15)和(16)即可得典型白化權(quán)函數(shù)的端點(diǎn)預(yù)測值。

歸納建模步驟：

步驟1通過式(2)式(3)計算出區(qū)間灰數(shù)的信息域和認(rèn)知程度，形成信息域序列和認(rèn)知程度序列,認(rèn)知程度中的白化值由式(4)給出；

步驟2通過式(6)和(7)對兩個實(shí)數(shù)序列建立DGM(1,1)模型；

步驟3通過式(10)可還原得區(qū)間灰數(shù)預(yù)測值的上下界；

步驟4通過式(11)和(12)求出各灰數(shù)的核與灰度，形成核與灰度序列；

步驟5通過式(13)和(14)對核序列與灰度序列建立GM(1,1)模型；

步驟6通過式(15)和(16)可得典型白化權(quán)函數(shù)端點(diǎn)預(yù)測值；

步驟7模型精度分析。

2)白化權(quán)函數(shù)為三角白化權(quán)函數(shù)。

當(dāng)f?k(x)是三角白化權(quán)函數(shù)時，如圖2所示，其具體表達(dá)式為

由式(4)可得區(qū)間灰數(shù)的核為

(17)

由式(17)可得三角白化權(quán)函數(shù)端點(diǎn)值的表達(dá)式為

(18)

通過式(17)求出核，并形成核序列。通過式(13)可得區(qū)間灰數(shù)的核預(yù)測值。將上下界預(yù)測值和核預(yù)測值代入式(18)即可得三角白化權(quán)函數(shù)的端點(diǎn)預(yù)測值。

歸納建模步驟：

步驟1-3同1)；

步驟4通過式(17)求出所有灰數(shù)的核；

步驟5通過式(13)對核序列建立GM(1,1)模型；

步驟6通過式(18)得到三角白化權(quán)函數(shù)端點(diǎn)預(yù)測值；

步驟7模型精度分析。

3 算例分析

為了便于比較模型精度，本文引用文獻(xiàn)[8]的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，并將結(jié)果進(jìn)行對比分析。文獻(xiàn)[8]收集了黃河巴彥高勒站2008—2013年在凌期12月09日到第二年3月15日的日均流量，原數(shù)據(jù)見表1。可轉(zhuǎn)化為基于三角白化權(quán)函數(shù)的區(qū)間灰數(shù)，如表2。

表1 巴彥高勒站2008—2013年凌期日均流量/m3·s-1Tab.1 Daily average flow rate of Bayangola Station during ice age from 2008 to 2013/m3·s-1

表2 巴彥高勒站2008—2013年凌期日均流量/m3·s-1Tab.2 Daily average flow rate of Bayangola station during ice age from 2008 to 2013/m3·s-1

根據(jù)2008—2012年的數(shù)據(jù)，建立模型預(yù)測2012—2013年的日均流量，步驟如下：

步驟1通過式(2)式(3)計算出區(qū)間灰數(shù)的信息域和認(rèn)知程度，得到信息域序列和認(rèn)知程度序列

步驟2通過式(6)和(7)對兩個實(shí)數(shù)序列建立DGM(1,1)模型得

步驟3通過式(10)可得區(qū)間灰數(shù)預(yù)測值的取值區(qū)間為[312.41,780.9]；

步驟4通過式(17)求出的核序列為

步驟5通過式(13)對核序列建立GM(1,1)模型為

步驟7模型精度分析,將本文模型預(yù)測結(jié)果與文獻(xiàn)[8]方法的預(yù)測結(jié)果對比見表3。

表3 兩種方法模擬預(yù)測值對比分析

4 結(jié)論

本文通過區(qū)間灰數(shù)的已有信息計算出各特征值，先計算出信息域與認(rèn)知程度序列，對兩序列建立DGM(1,1)模型，經(jīng)由推導(dǎo)還原得區(qū)間灰數(shù)預(yù)測值的上下界；再根據(jù)核與灰度，建立白化權(quán)函數(shù)端點(diǎn)值與上下界信息之間的關(guān)系，通過推導(dǎo)還原，來完成白化權(quán)函數(shù)端點(diǎn)值的預(yù)測，研究了兩種白化權(quán)函數(shù)類型。 并將本文模型應(yīng)用到已有文獻(xiàn)的算例分析中，結(jié)果表明本文所提出的預(yù)測模型模擬精度較好。但本文的白化權(quán)函數(shù)都是線性函數(shù)，當(dāng)白化權(quán)函數(shù)為非線性函數(shù)時要做出怎樣的改進(jìn)，這是接下來研究的重點(diǎn)。