王 川，金曉怡，陳志鵬，葉黎杰

（上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海 201620）

1 引言

近年來，在生產(chǎn)加工自動(dòng)化中，為提高工件拋光精度和生產(chǎn)效率，拋光機(jī)器人的應(yīng)用越來越廣泛[1]。機(jī)器人在執(zhí)行拋光加工任務(wù)時(shí)，需考慮運(yùn)動(dòng)位移、速度和加速度等約束條件，這屬于軌跡規(guī)劃的研究內(nèi)容。機(jī)器人軌跡規(guī)劃分為笛卡爾空間與關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃，由于關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃計(jì)算量小，能有效避免機(jī)器人的奇異性問題，所以常被采納[2]。運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃的好與壞直接影響拋光零件的質(zhì)量。文獻(xiàn)[3]采用五次多項(xiàng)式進(jìn)行手術(shù)機(jī)器人關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃，并用平均法確定角速度和角加速度；文獻(xiàn)[4]在關(guān)節(jié)空間分別研究通過起點(diǎn)和終點(diǎn)的三次、五次和七次多項(xiàng)式插值算法，發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式次數(shù)越高，軌跡精度越高，但計(jì)算量大且容易出現(xiàn)“龍格現(xiàn)象”；文獻(xiàn)[5]采用五次多項(xiàng)式進(jìn)行關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃，對比三次多項(xiàng)式，角速度和角加速度更加光滑，但沒有考慮中間點(diǎn)角速度優(yōu)化；工業(yè)機(jī)器人在生產(chǎn)操作中，經(jīng)過加工路徑中間點(diǎn)時(shí)關(guān)節(jié)速度往往不為零，這就需要充分考慮中間點(diǎn)角速度的確定。

以六自由度拋光工業(yè)機(jī)器人為研究對象，采用五次多項(xiàng)式進(jìn)行關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃，通過三次多項(xiàng)式與五次多項(xiàng)式函數(shù)的插值結(jié)果進(jìn)行標(biāo)定，表明五次多項(xiàng)式插值更加優(yōu)越。同時(shí)，對五次多項(xiàng)式插值算法的約束條件中間點(diǎn)角速度的設(shè)置方法提出改進(jìn)，采用角速度加權(quán)值作為中間點(diǎn)瞬時(shí)角速度的估計(jì)值，在MATLAB 上進(jìn)行仿真，驗(yàn)證該角速度約束條件下軌跡規(guī)劃算法的有效性和可靠性。

2 拋光工業(yè)機(jī)器人結(jié)構(gòu)

IRB1600 機(jī)器人由基座、腰部、大臂、肘部、小臂、手腕6 個(gè)部分組成，具體結(jié)構(gòu)，如圖1 所示。該機(jī)器人屬于6 自由度關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人，且6 個(gè)關(guān)節(jié)均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，能夠在可達(dá)空間內(nèi)按照示教或規(guī)劃指令進(jìn)行定位和調(diào)姿，完成工件的搬運(yùn)或拋光等工作。

圖1 拋光機(jī)器人結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of the Polishing Robot

3 關(guān)節(jié)空間軌跡插補(bǔ)算法

首先利用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)將已知的笛卡爾空間路徑點(diǎn)轉(zhuǎn)化為各個(gè)關(guān)節(jié)角度值，采用三次、五次多項(xiàng)式對各個(gè)關(guān)節(jié)角進(jìn)行插值得到相應(yīng)的關(guān)節(jié)軌跡曲線，每個(gè)關(guān)節(jié)時(shí)間函數(shù)是相互獨(dú)立的，但總運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同。假設(shè)起始點(diǎn)t=0 時(shí)刻的關(guān)節(jié)角度為θ0，終點(diǎn)t=tf時(shí)刻的關(guān)節(jié)角度為θf。

3.1 五次多項(xiàng)式插值[6]

關(guān)節(jié)插值函數(shù)為：

各關(guān)節(jié)角度、角速度、和角加速度在起點(diǎn)和終點(diǎn)滿足的約束條件為：

求解方程組（2）得五次多項(xiàng)式插值系數(shù)為：

3.2 角速度設(shè)置方法

在關(guān)節(jié)空間中采用適當(dāng)?shù)膯l(fā)式方法，由控制系統(tǒng)自動(dòng)選擇路徑點(diǎn)的速度[7]，常采用的是取相鄰兩段運(yùn)動(dòng)軌跡角速度平均值作為中間路徑點(diǎn)的瞬時(shí)角速度，對此方法進(jìn)行改進(jìn)，取相鄰兩段運(yùn)動(dòng)軌跡平均角速度的加權(quán)值作為中間路徑點(diǎn)的瞬時(shí)角速度，角加速度由系統(tǒng)根據(jù)角速度變化自適應(yīng)產(chǎn)生。

4 MATLAB 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 機(jī)器人建模

通過D-H 參數(shù)法建立拋光工業(yè)機(jī)器人數(shù)學(xué)模型，如表1 所示。利用MATLAB Robotics Toolbox 建立機(jī)器人連桿模型，如圖2所示。

表1 拋光機(jī)器人D-H 參數(shù)表Tab.1 D-H Parameter List of the Polishing Robot

圖2 機(jī)器人連桿模型Fig.2 Link Model of the Robot

4.2 針對特定工件的軌跡規(guī)劃仿真

將手表表殼的表耳部分作為拋光加工面，如圖3 藍(lán)色部分所示。利用Pro/E 軟件，在待拋光曲面寬度中心選取10 個(gè)點(diǎn)為路徑關(guān)鍵點(diǎn)，如表2 所示[8]。

圖3 表殼表耳部分?jǐn)M拋光曲面Fig.3 Surface to be Polished of the Ear on the Watch Case

表2 目標(biāo)路徑上選取的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)Tab.2 Key Points Chosed from the Target Path

利用MATLAB 軟件[9]，將直角坐標(biāo)空間每個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)求逆解轉(zhuǎn)化為關(guān)節(jié)空間中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的關(guān)節(jié)角度值。設(shè)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的角速度和角加速度為零，相鄰兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的時(shí)間間隔為1s，總運(yùn)動(dòng)時(shí)間為9s。利用三次、五次多項(xiàng)式插值算法對上述點(diǎn)進(jìn)行插值，分別得到運(yùn)動(dòng)過程中6 個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角度、角速度和角加速度變化情況，如圖4 所示。由于篇幅原因，此處以關(guān)節(jié)2 為示例。其中實(shí)線為三次多項(xiàng)式規(guī)劃曲線，虛線代表五次多項(xiàng)式規(guī)劃曲線。

圖4 三次多項(xiàng)式與五次多項(xiàng)式規(guī)劃后關(guān)節(jié)2 各曲線Fig.4 Curves of Joint Two After Cubic Polynomial Planning and Quintic Polynomial Planning

由圖4 可知，三次多項(xiàng)式插值算法規(guī)劃的關(guān)節(jié)2 角度和角速度曲線光滑連續(xù)，三次多項(xiàng)式插值算法規(guī)劃的關(guān)節(jié)2 角加速度曲線突變且不光滑，易對驅(qū)動(dòng)電機(jī)造成損壞。五次多項(xiàng)式插值算法規(guī)劃的關(guān)節(jié)2 角加速度光滑連續(xù)，運(yùn)動(dòng)較為平穩(wěn)。但是角速度最大為0.906rad/s，角加速度最大達(dá)到2.859rad/s2，其它關(guān)節(jié)角速度、角加速度值更大，因此需要對角速度的約束條件進(jìn)行優(yōu)化，取相鄰兩段運(yùn)動(dòng)軌跡角速度的加權(quán)平均值作為中間點(diǎn)瞬時(shí)角速度，各關(guān)節(jié)角度、角速度和角加速度曲線對比，如圖5～圖7 所示。角速度和角加速度最大值，如表3 所示。其中實(shí)線為角速度加權(quán)優(yōu)化曲線，虛線代表角速度平均優(yōu)化曲線。

圖5 各關(guān)節(jié)角位移對比曲線Fig.5 Comparison Curves of Angular Position of Different Joints

圖6 各關(guān)節(jié)角速度對比曲線Fig.6 Comparison Curves of Angular Velocity of Different Joints

圖7 各關(guān)節(jié)角加速度對比曲線Fig.7 Comparison Curves of Angular Acceleration of Different Joints

表3 不同優(yōu)化方法各關(guān)節(jié)角速度、角加速度最大值Tab.3 Maximum of Angular Velocity and Acceleration of Each Joint in Different Optimization Methods

由圖5～圖7 和表3 可知，角速度加權(quán)優(yōu)化方法改善了關(guān)節(jié)軌跡運(yùn)動(dòng)參數(shù)，如關(guān)節(jié)4 角速度最大值減少7.4rad/s，角加速度最大值減少36.44rad/s2；關(guān)節(jié)6 角速度最大值減少7.41rad/s，角加速度最大值減少24.6rad/s2，與此同時(shí)，關(guān)節(jié)2 角速度增加0.22ad/s，角加速度增加1.169rad/s2，關(guān)節(jié)3 和關(guān)節(jié)5 角速度和角加速度都少量增加，但變化在合理的安全范圍內(nèi)，相對關(guān)節(jié)4 和關(guān)節(jié)6 的明顯改善，角速度和角加速度增幅較小。

在規(guī)劃出的角速度加權(quán)優(yōu)化和平均優(yōu)化的五次多項(xiàng)式樣條上以等時(shí)間間隔0.05s 采集各關(guān)節(jié)角位移數(shù)據(jù)，可采集到180 組關(guān)節(jié)角位移數(shù)據(jù)，通過fkine 函數(shù)可求出角速度加權(quán)優(yōu)化和角速度平均優(yōu)化條件下的末端軌跡，如圖8 所示。

圖8 不同優(yōu)化條件下的末端軌跡圖Fig.8 Trajectory in Different Optimization Methods

兩種優(yōu)化方法規(guī)劃的軌跡在X、Y、Z 方向都有誤差，以Z 方向的誤差為例進(jìn)行分析，將規(guī)劃的軌跡在Z 方向上的擺動(dòng)做成誤差曲線，如圖9 所示。

圖9 兩種優(yōu)化方法Z 方向上的軌跡誤差Fig.9 Trajectory Error in Z Direction in Two Weighted Optimization Method

由圖9 可知，基于角速度加權(quán)優(yōu)化的五次多項(xiàng)式規(guī)劃的軌跡誤差相對較小，說明角速度加權(quán)優(yōu)化的五次多項(xiàng)式優(yōu)于角速度平均優(yōu)化的五次多項(xiàng)式。

5 結(jié)論

以六自由度拋光工業(yè)機(jī)器人為研究對象，設(shè)計(jì)基于角速度加權(quán)優(yōu)化的約束條件的五次多項(xiàng)式插值算法。以機(jī)器人對手表表殼拋光為例，根據(jù)待拋光表面選取的作業(yè)關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃，利用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)算法得到各關(guān)節(jié)在每個(gè)路徑點(diǎn)的關(guān)節(jié)角度，經(jīng)過MATLAB 編程進(jìn)行仿真驗(yàn)證，該五次多項(xiàng)式插值算法能夠較好地滿足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)、連續(xù)的要求，相比于傳統(tǒng)的角速度平均優(yōu)化的約束條件，具有運(yùn)動(dòng)參數(shù)變化更小、軌跡誤差更小的優(yōu)點(diǎn)。但結(jié)果顯示某個(gè)別關(guān)節(jié)角加速度優(yōu)化后在某個(gè)時(shí)間段值還是較大的，這也為后續(xù)拋光工業(yè)機(jī)器人軌跡規(guī)劃的理論研究提供方向。