張榮芳

【摘要】概率論是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，概率論思想可以廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題過(guò)程中.概率論思想能夠有效地指導(dǎo)學(xué)生解題，幫助學(xué)生更快速地破題、更準(zhǔn)確地解題.同時(shí)，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該將概率論的思想逐步運(yùn)用到高等數(shù)學(xué)中，幫助學(xué)生掌握解題技巧，提升解題能力.我們通過(guò)對(duì)高等數(shù)學(xué)中概率研究的計(jì)量可視化分析發(fā)現(xiàn)，高等數(shù)學(xué)中概率思想的研究起步較早，但早期的研究更多的是將兩者并列分析，相關(guān)聯(lián)系研究較少.近幾年各研究者開(kāi)始注重概率思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，相關(guān)論文數(shù)量不斷增加，這也體現(xiàn)出人們對(duì)于兩者相關(guān)性的重視.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);概率思想;計(jì)量可視化分析

概率論是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象在數(shù)量上的統(tǒng)計(jì)規(guī)律展開(kāi)研究的一門(mén)學(xué)科，很多概率論的思想、方法很適用于高等數(shù)學(xué)問(wèn)題，并且概率思想可以為學(xué)生解題提供更便捷的思路和更廣闊的思路.比如概率思想在高等數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用，高等數(shù)學(xué)證明問(wèn)題，如果單純利用高數(shù)的證明方法有時(shí)候很難得到正確的解答且多數(shù)步驟繁雜、過(guò)程冗長(zhǎng)，但若應(yīng)用概率思想便會(huì)使得復(fù)雜的問(wèn)題變得相對(duì)簡(jiǎn)單.高等數(shù)學(xué)教師也應(yīng)該在教學(xué)中注重概率思想的灌輸和概率論方法的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)化解題方法，提升數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)習(xí)效率.

一、主題檢索可視化分析

（一）發(fā)表年度趨勢(shì)分析

在知網(wǎng)中運(yùn)用高級(jí)檢索，在第一檢索欄中輸入主題詞：高等數(shù)學(xué)，第二檢索欄中輸入主題詞：概率，兩欄檢索關(guān)系設(shè)為并且，發(fā)表時(shí)間、文獻(xiàn)來(lái)源、支持基金均不限.經(jīng)檢索共得到知網(wǎng)文獻(xiàn)庫(kù)文獻(xiàn)108篇，隨后點(diǎn)擊知網(wǎng)自帶計(jì)量可視化按鈕進(jìn)行分析.由分析可知，最早進(jìn)行高等數(shù)學(xué)與概率相關(guān)研究的文獻(xiàn)出現(xiàn)在1959年，朱恒璧（1959）發(fā)表題為《高等數(shù)學(xué)在醫(yī)學(xué)應(yīng)用上的我見(jiàn)（續(xù)）》的文章.隨后一直未出現(xiàn)該領(lǐng)域相關(guān)論文，直到1991年出現(xiàn)第二篇，之后在1992—2002年間零散出現(xiàn)過(guò)幾篇文章.賀振富（1991）發(fā)表題為《化工類(lèi)專(zhuān)業(yè)化工計(jì)算教學(xué)淺談》的文章，文章中指出化學(xué)計(jì)算這門(mén)課必須要求學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計(jì)等相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí);曹大英（1994）發(fā)表題為《概率方法在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用》的文章，文章中通過(guò)許多實(shí)例探討概率方法在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.自2003年開(kāi)始，相關(guān)領(lǐng)域文章數(shù)量逐漸增多，2003年發(fā)表論文6篇，2014年達(dá)到發(fā)表論文數(shù)量的頂峰，一年中共計(jì)發(fā)表論文13篇.

總體分析論文數(shù)量可以得出，對(duì)高等數(shù)學(xué)中概率研究主題的相關(guān)分析大致可以分為3個(gè)時(shí)期，第一階段為1956—1999年，該階段為萌芽期，在該階段主題中同時(shí)含有兩個(gè)關(guān)鍵詞的文章數(shù)量較少，一般為各自領(lǐng)域的研究，相關(guān)性方面研究未得到關(guān)注;第二階段為2000—2013年，該階段為增長(zhǎng)期，在該階段主題中同時(shí)含有高等數(shù)學(xué)和概率的文章數(shù)量不斷增加，但每年的發(fā)文數(shù)量出現(xiàn)波動(dòng)，說(shuō)明在該階段，兩者間相關(guān)性研究開(kāi)始得到關(guān)注，但關(guān)注程度仍然不高，研究還處于平緩階段;第三階段為2014—2017年，該階段為爆發(fā)期，在該階段高等數(shù)學(xué)中概率研究相關(guān)論文數(shù)量快速增長(zhǎng)，且在2014年出現(xiàn)幾十年的巔峰狀態(tài);第四階段為2018年至今，該階段為平緩期，論文數(shù)量又開(kāi)始減少，但值得注意的是，由于該階段時(shí)間比較短，所以會(huì)存在一定誤差.

（二）領(lǐng)域分布占比分析

運(yùn)用上述分析中的同樣方法進(jìn)行主題分布占比分析，我們發(fā)現(xiàn)以高等數(shù)學(xué)、概率為主題詞進(jìn)行檢索后得到的文獻(xiàn)分布領(lǐng)域范圍很廣，共包含30個(gè)不同的方面，其中占比最多的是高等數(shù)學(xué)，共發(fā)表論文48篇，占所有檢索文章的23.08%;其次為概率統(tǒng)計(jì)，發(fā)表論文24篇，占所有檢索文章的11.54%;另外兩個(gè)占比達(dá)5%以上的領(lǐng)域分別為概率論、隨機(jī)變量，分別發(fā)表文章17篇、14篇，占比分別為8.17%，6.73%;其余領(lǐng)域的占比均小于5%，其中教學(xué)內(nèi)容、概率密度、古典概率、統(tǒng)計(jì)分析、離散型隨機(jī)變量、無(wú)窮級(jí)數(shù)占比最小，均小于1%.

（三）高等數(shù)學(xué)與概率思想主題分析

將其中一個(gè)主題檢索詞更換為概率思想進(jìn)行檢索，共得到論文9篇.其中最早出現(xiàn)概率思想的文章是楊緒仁（2003）發(fā)表的《中學(xué)物理教學(xué)中的高等數(shù)學(xué)思維》[1]，文章提出中學(xué)物理中很多地方都存在某些高等數(shù)學(xué)的思想，如：微積分思想、無(wú)窮思想、概率思想等，這些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想不是從抽象的、思辨的、廣泛的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，而是在具有清晰的物理概念、圖象等的基礎(chǔ)上，確定合適的研究對(duì)象，以便為學(xué)生提供一種創(chuàng)新的解決物理問(wèn)題的方法.2010年，卓澤強(qiáng)、魏文玲等人發(fā)表《概率思想在高等數(shù)學(xué)計(jì)算中的應(yīng)用研究》[3]《概率思想在高等數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用研究》[2]，之后不同研究者就概率思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用問(wèn)題展開(kāi)相關(guān)研究，概率思想的應(yīng)用逐漸得到重視.

二、全文檢索可視化分析

（一）發(fā)表年度趨勢(shì)分析

在知網(wǎng)中運(yùn)用高級(jí)檢索，設(shè)置檢索條件為全文，在第一檢索欄中輸入主題詞：高等數(shù)學(xué)，第二檢索欄中輸入主題詞：概率，兩欄檢索關(guān)系設(shè)為并且，發(fā)表時(shí)間、文獻(xiàn)來(lái)源、支持基金均不限.經(jīng)檢索，共得到知網(wǎng)文獻(xiàn)庫(kù)文獻(xiàn)18680篇，隨后，點(diǎn)擊知網(wǎng)自帶計(jì)量可視化按鈕進(jìn)行分析.由分析可知，全文中最早含有高等數(shù)學(xué)與概率兩個(gè)詞的文獻(xiàn)出現(xiàn)在1980年，且發(fā)表論文數(shù)量呈現(xiàn)逐年增長(zhǎng)的趨勢(shì)，我們總體分析論文數(shù)量可以得出，高等數(shù)學(xué)中概率研究相關(guān)分析大致可以分為3個(gè)時(shí)期，第一階段為1980—1998年，該階段為萌芽期，在該階段每年的發(fā)文數(shù)量均比較少，呈現(xiàn)出平緩的趨勢(shì);第二階段為1999—2013年，該階段為增長(zhǎng)期，在該階段發(fā)表文章數(shù)量不斷增加，呈現(xiàn)出增長(zhǎng)的趨勢(shì);第三階段為2014—2019年，該階段為平緩期，發(fā)表論文數(shù)量又呈現(xiàn)出平緩的趨勢(shì)，但相較于前面幾年，每年發(fā)表論文的數(shù)量仍然可以保持在較高的水平.1980—2019年，年發(fā)表論文數(shù)量最多的為2013年，共發(fā)表論文1289篇.

（二）領(lǐng)域分布占比分析

運(yùn)用上述分析中的同樣方法進(jìn)行主題分布占比分析，我們發(fā)現(xiàn)，檢索條件設(shè)置為全文后，以高等數(shù)學(xué)、概率進(jìn)行檢索，各領(lǐng)域發(fā)表論文數(shù)量占比相差不大，均小于10%，其中以高等數(shù)學(xué)占比最大，發(fā)表論文數(shù)量為852篇，占比約6.99%，其次占比較大的領(lǐng)域依次為數(shù)學(xué)教學(xué)，發(fā)表論文數(shù)量為813篇，占比6.67%，分科教學(xué)法，發(fā)表論文數(shù)量為749篇，占比6.15%，數(shù)學(xué)建模，發(fā)表論文數(shù)量為733篇，占比6.02%，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，發(fā)表論文561篇，占比為4.61%;占比最小的為數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域，發(fā)表論文228篇，占比僅為1.87%.

（三）高等數(shù)學(xué)與概率思想全文分析

將其中一個(gè)主題檢索詞更換為概率思想進(jìn)行檢索，共得到論文207篇.其中最早出現(xiàn)概率思想的文章出現(xiàn)于1985年，1985—2002年，發(fā)表論文數(shù)量一直呈現(xiàn)平緩的趨勢(shì)，每年發(fā)文數(shù)量基本是1篇，2002年后，發(fā)文數(shù)量出現(xiàn)增長(zhǎng)趨勢(shì)，但波動(dòng)明顯.其中，發(fā)文數(shù)量最多的是2011年，共發(fā)表論文20篇，關(guān)注程度最高，該結(jié)果與第一部分中主題可視化分析不同，可能是因?yàn)閷z索條件進(jìn)行計(jì)量可視化分析后，只要文章中出現(xiàn)概率思想一次便會(huì)被標(biāo)記導(dǎo)出，所以可能存在不足，比如某些文章的研究主題并非二者關(guān)系.

三、概率思想在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用策略分析

（一）運(yùn)用概率思想巧證復(fù)雜過(guò)程

《概率論》中一個(gè)基礎(chǔ)的概念為概率分布，在解答高等數(shù)學(xué)中的證明問(wèn)題時(shí)便可以利用概率分布的特殊性質(zhì)求解證明.如在進(jìn)行函數(shù)的4個(gè)重要性質(zhì)證明時(shí)，如果先對(duì)第四個(gè)性質(zhì)中的積分變量做變換，然后再證明第三個(gè)性質(zhì)的結(jié)論，得到相應(yīng)結(jié)果，過(guò)程會(huì)十分冗長(zhǎng)，但如果利用概率密度函數(shù)的歸一性，可以很容易證得結(jié)論.此外，概率思想也可以在求解一些廣義定積分時(shí)發(fā)揮關(guān)鍵作用，可以減少證明難度，簡(jiǎn)化證明過(guò)程，提高準(zhǔn)確性.即我們可以利用需要證明的廣義定積分式子本身的特性，將其進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使被積函數(shù)成為某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)[4].最后，概率論中的數(shù)學(xué)期望、數(shù)學(xué)方差均是隨機(jī)變量的數(shù)字特征，利用隨機(jī)變量的數(shù)字特征可以解決高等數(shù)學(xué)中有關(guān)等式、不等式的證明問(wèn)題，還可以證明以前只能利用排列組合相關(guān)知識(shí)解決的古典概型恒等式的問(wèn)題[5].

（二）運(yùn)用概率思想巧解高數(shù)計(jì)算

除了可以證明一些復(fù)雜的高數(shù)問(wèn)題外，利用某些概率分布的特殊性質(zhì)來(lái)求解一些高等數(shù)學(xué)中的化簡(jiǎn)問(wèn)題，即把某些大于0小于1的數(shù)字構(gòu)造成某一特定事件發(fā)生的概率，根據(jù)概率分布的特殊性質(zhì)計(jì)算此類(lèi)復(fù)雜問(wèn)題.如利用泊松分布的一些性質(zhì)、中心極限定理、級(jí)數(shù)的收斂性來(lái)計(jì)算復(fù)雜的極限問(wèn)題;還可以利用概率思想求解某些廣義定積分，通過(guò)該種方法可以達(dá)到減少計(jì)算難度，提高計(jì)算的正確率的目的，即通過(guò)變形使被積函數(shù)成為某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，利用概率密度函數(shù)歸一性求解;用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差之間的關(guān)系，不僅可以解決高等數(shù)學(xué)中的求級(jí)數(shù)問(wèn)題， 而且還可以求廣義定積分的值;高等數(shù)學(xué)中還會(huì)出現(xiàn)一些比較難的有關(guān)二重積分的計(jì)算題，遇到此類(lèi)問(wèn)題可以通過(guò)建立概率模型，將正態(tài)分布的性質(zhì)和卡方分布的相關(guān)數(shù)學(xué)性質(zhì)相結(jié)合，這樣便可以把題目中繁雜的二重積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的某點(diǎn)在某特殊區(qū)域的概率問(wèn)題，再結(jié)合概率的一些知識(shí)進(jìn)行計(jì)算即可.

四、小結(jié)

在解決高等數(shù)學(xué)相關(guān)證明、計(jì)算等問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用傳統(tǒng)的機(jī)械運(yùn)算、證明方法必然是相對(duì)繁雜的且不能保證計(jì)算過(guò)程、計(jì)算結(jié)果的正確性，而概率思想在高等數(shù)學(xué)中的運(yùn)用可以在很大的程度上彌補(bǔ)這一不足.通過(guò)對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)的計(jì)量可視化分析，我們發(fā)現(xiàn)近幾年概率思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究不斷增加，這也體現(xiàn)出我們對(duì)于概率思想應(yīng)用的重視，今后我們應(yīng)該不斷完善這一思想在高等數(shù)學(xué)中的運(yùn)用，學(xué)生應(yīng)通過(guò)題型練習(xí)和思維培養(yǎng)不斷掌握該種方法，以達(dá)到提升學(xué)習(xí)能力的目的.

【參考文獻(xiàn)】

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[3]卓澤強(qiáng)， 魏文玲， 李小龍. 概率思想在高等數(shù)學(xué)計(jì)算中的應(yīng)用研究[J].科技資訊，2010（20）： 196-197.

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[5]卓澤強(qiáng). 概率思想在數(shù)學(xué)證明和計(jì)算中的應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)， 2007（13）： 189-192.