王梧 劉萬中

摘要：幾何畫板作為信息技術環(huán)境下的一個應用軟件，在初中幾何教學和學習中可以落實多種初中數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求。為此，可以利用幾何畫板在課堂實踐中進行發(fā)展幾何直觀、建立空間觀念、強化推理能力、培養(yǎng)模型應用和創(chuàng)新意識等方面的探索。

關鍵詞：初中數學;核心素養(yǎng);信息技術;幾何畫板;數學實驗

為落實初中生數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，六安市清水河學校承擔了六安市教育信息技術研究2019年度課題“信息技術環(huán)境下的初中數學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的研究———以初中數學實驗為例”。幾何畫板作為初中數學課堂教學的一個高效軟件，備受數學教師和學生的關注和歡迎。課題組以幾何畫板為載體開展初中數學實驗，進而落實對初中生數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求。本文對課題組的前期研究成果進行小結，以期同人批評指正。

一、利用幾何變換發(fā)展幾何直觀和空間觀念

義務教育滬科版初中數學教科書“14.2命題與證明”中安排了讓學生探究“三角形的內角和等于180°”的活動。通過傳統(tǒng)的剪紙和拼圖的實驗活動，學生可以直觀地觀察到三角形的三個角可以共頂點地拼成一個平角，從而得出“三角形的內角和等于180°”的結論。這個結論也可以通過度量來獲得。但傳統(tǒng)的操作，無論是度量還是剪拼，學生都難以獲得準確的180°，而且學生在操作過程中也難以獲得進行推理的直接啟示。在教學中，筆者考慮到學生在小學階段就已經了解了這個結論，而且能進行簡單的應用，所以在課堂上沒有讓學生再進行度量和剪拼的操作，而是讓學生把注意力集中到觀察和思考中，觀察三個內角剪拼后所形成的圖形，然后讓學生思考該圖形是通過什么樣的幾何變換得到的。在多數學生苦思不得其解的情況下，筆者通過幾何畫板演示將∠2繞AC中點旋轉180°和將∠3沿BC平移而獲得該圖，使得學生豁然開朗，進而引發(fā)了學生進行推理論證的熱情，整個教學過程高效有趣，學生興趣盎然。

二、通過構建軌跡，強化推理能力和模型應用意識的培養(yǎng)

初中數學大量涉及動點運動探究問題，因該類問題立足于基本圖形，但靈活多變，思維容量大，所以歷來被作為培養(yǎng)數學能力和思維能力的良好載體。但動點運動的狀態(tài)隱而不顯，讓人捉摸不定，多數學生因在學習上有畏難情緒或幾何直覺不強、推理能力較弱，在面對該問題時往往是一籌莫展。

在教學中，筆者曾組織學生討論過該類問題，以其中一例闡述之。如圖1，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=60°，E是邊AD的中點，F(xiàn)為邊BC上的一個動點，EG=EF，且∠GEF=60°，則GB+GC的最小值是多少？

多數學生在“兩定一動、求最小值”的條件啟示下，能較自然地聯(lián)想到該問題應該屬于或最后能轉化為“將軍飲馬”模型求解?！皩④婏嬹R”問題的核心是動點的軌跡為直線或線段，而本題中動點G運動后所形成的軌跡是難以判斷的，學生一時陷入困境。在課堂上，不少學生都能主動拿起直尺和圓規(guī)等作圖工具，不停地嘗試，經歷了多次操作后，仍是找不到突破口。此時，筆者利用幾何畫板展示點G的運動過程。利用幾何畫板構造軌跡的操作，將通過傳統(tǒng)實驗操作難以獲得的結果在信息技術的幫助下實現(xiàn)了可視化，形成了如圖2所示線段MN。筆者運用信息技術手段瞬間降低了思維難度，實現(xiàn)了數學思維的可視化，這是傳統(tǒng)的教學手段難以實現(xiàn)的。信息技術支持下的數學實驗，不僅使得實驗結果更直觀、探究更高效，而且能在實驗操作過程中尋找和發(fā)現(xiàn)形成數學結論的原理，引發(fā)數學思考。該題通過幾何畫板的操作，發(fā)現(xiàn)點G運動后形成的軌跡是線段MN。學生憑已有的幾何直覺，感知該問題可以轉化為“將軍飲馬”模型，線段MN所在的直線成了對稱軸，將圖形沿直線MN折疊后，發(fā)現(xiàn)點B與點E重合，線段GB與GE重合，從而得出GB=GE，進而將求解GB+GC最小值問題轉化為GE+GC最小值問題。通過在直線MN上移動點G的位置，可知當點C、點E和點G三點在同一條直線上時，GE+GC的值最小。筆者通過幾何畫板的實驗探究，使學生獲得了解題思路，同時使學生的推理能力和模型應用意識得到了較好的培養(yǎng)，也使信息技術與數學學科進行了深度融合。

三、利用實驗結果的多樣性，落實創(chuàng)新意識培養(yǎng)

通過幾何訓練能實現(xiàn)思維訓練，通過變式訓練能培養(yǎng)思維的敏捷性和思辨性。進行幾何變式訓練是我國基礎教育的優(yōu)良傳統(tǒng)，積累了大量的經驗可供借鑒。然而相伴而生的應試教育也暴露出了不少弊端，教學中經常出現(xiàn)“去頭去尾燒中段”的做法。更有甚者，只是讓學生記住結論，然后大量地套用結論。這種教法和學法會讓學生逐漸喪失學習幾何的興趣，甚至會發(fā)展到厭惡數學的地步。

如何利用好幾何變式教學和訓練，達到變式教學本真的目的，這是筆者從教以來一直思考的問題。筆者在教學中也在不斷地大膽實踐，希望能突破困境。利用幾何畫板動態(tài)地展示問題的“前生與后世”，找準問題的生長點，引導學生觀察思考，大膽猜想，小心求證，常能激發(fā)起學生的好奇心且能較長久地保持學生的探究欲，實現(xiàn)發(fā)展學生數學核心素養(yǎng)的目的。

例如，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B、C重合）。以AD為邊作正方形ADEF，連接CF。首先進行操作1：在幾何畫板中拖動點D的位置，使點D在線段BC上，引導學生從位置關系和數量關系兩方面去觀察，大膽說出自己的猜想。在大家熱烈的討論下，經過多輪爭辯，最后得出兩個重要的猜想：①BD⊥CF;②CF+CD=BC。筆者在肯定了這兩個猜想后，向學生提出了該如何證明的問題。在片刻的思考后，不少學生發(fā)現(xiàn)了△ABD=△ACF，從而找到了證明的關鍵。其余學生也恍然大悟，接著都完成了證明。

接著進行操作2：在直線BC上拖動點D的位置，改變圖形的形狀。學生看著變化的圖形，面面相覷。此時，筆者拋出問題：在圖形的變化中，你有什么發(fā)現(xiàn)？能夠提出什么問題？學生根據以往的學習經驗，提出在圖形的變化過程中是否存在不變量。結合第一次操作，學生提出來操作1中的兩個結論是否還成立。如圖3所示，當點D在線段BC的延長線上時，結論①仍成立，結論②不成立。那么，CF、BC、CD三條線段之間又蘊含著怎樣的數量關系呢？通過觀察不難發(fā)現(xiàn)：CF=BC+CD。通過△ABD=△ACF，不難證明發(fā)現(xiàn)的結論。

在完成操作2的探究后，筆者引導學生思考：還可能有什么樣的操作？對應的圖形會是什么？有一些學生經過自主探究，畫出了對應圖形。此時，筆者利用幾何畫板進行操作3：將點D拖至線段BC的反向延長線上，“在其他條件不變的情況下，CF、BC、CD三條線段又有著怎樣的數量關系”等問題自然生成，學生的探究水到渠成。

利用幾何畫板進行一系列實驗結果多樣性的操作探究，不僅使學生獲得了變式訓練的效果，更讓學生掌握了研究數學、發(fā)現(xiàn)新結論的常用方法和途徑。學生樂于探究，較為持久地保持了探究的興趣。

（本文系六安市教育信息技術立項課題“信息技術環(huán)境下的初中數學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的研究”的階段性研究成果，立項號：LA201920）

參考文獻：

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[3]劉須群.信息化背景下的案例教學設計研究[D].上海：華東師范大學學報，2005.

（責任編輯：韓曉潔）