朱輝

新授課、試卷講評(píng)課是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一些不同課型。課型不同，教師教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)自然也會(huì)有所不同，采取的教學(xué)方法也會(huì)大相徑庭，運(yùn)用的教學(xué)理念也會(huì)略有差異。

一、新授課重在精講點(diǎn)撥，適時(shí)引導(dǎo)

新授課教學(xué)的核心要義是“精講點(diǎn)撥”，注重知識(shí)概念的形成。以教學(xué)“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”為例，在建系并寫出橢圓上的點(diǎn)滿足的方程以后如何化簡(jiǎn)，教師既要注意放手讓學(xué)生自己去探索，又要特別注意引導(dǎo)與提示，帶領(lǐng)學(xué)生走向正確的思維方向。

教師在引導(dǎo)學(xué)生建系并寫出方程[（x+c）2+y2][+（x-c）2+y2=2a]以后，如何化簡(jiǎn)該方程呢？此時(shí)，教師不急于講解教材的移項(xiàng)平方、再移項(xiàng)再平方的技巧，而是從學(xué)生解答的情況出發(fā)，從不同的角度來推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并且在此過程中加以引導(dǎo)，在思想方法上進(jìn)行提示。

教師可以這樣引導(dǎo)學(xué)生：“剛剛有同學(xué)直接對(duì)該式進(jìn)行了平方，整理以后的式子是：[2（x2+y2+c2）][+2（x2+y2+c2）2-4c2x=4a2]，很多同學(xué)化簡(jiǎn)到此處就化簡(jiǎn)不下去了，這時(shí)候該怎樣去處理？”這時(shí)，有些化簡(jiǎn)成功的學(xué)生會(huì)說根號(hào)下面次數(shù)太高，不太好處理，但是注意到整個(gè)式子中出現(xiàn)了相同的結(jié)構(gòu)，即[x2+y2+c2]，這時(shí)可以換元，即[t=x2+y2+c2]，讓整個(gè)式子變得簡(jiǎn)單，次數(shù)也相應(yīng)降低。照此方法化簡(jiǎn)下去可以比較快的得到：[（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）]。

此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生換種思路：“我們將[a2-c2]換元成[b2]，這樣可以使整個(gè)式子簡(jiǎn)單、對(duì)稱，同時(shí)也隱含了橢圓的幾何意義在其中，下節(jié)課我們將會(huì)探求[b2]的幾何意義?！边@樣留下伏筆，可以激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的興趣。然后，教師補(bǔ)充：“還有沒有更好的方法呢？”一名學(xué)生說：“可以移項(xiàng)平方，再移項(xiàng)再平方?！比缓?，教師為學(xué)生整理出以下兩種簡(jiǎn)化方法。

第一種：注意到兩個(gè)根號(hào)里面的式子的差為[4cx]，所以在原等式的左邊乘以[（x+c）2+y2-（x-c）2+y2]，這樣即可得到：[（（x+c）2+y2-（x-c）2+y2）][（（x+c）2+y2][-（x-c）2+y2）=4cx]，又[（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a]①，所以可以得到[（x+c）2+y2-（x-c）2+y2=2cxa]②;然后由①②兩式可解出[（x+c）2+y2=a+cax]或者[（x-c）2+y2=a-cax]。

第二種：注意到[（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a]，結(jié)合等差數(shù)列中的等差中項(xiàng)的性質(zhì)，也就是古代數(shù)學(xué)史中的和差法，我們可以設(shè)[（x+c）2+y2=a+t]，[（x-c）2+y2=a-t]，然后將兩式平方再相減，即可得：[4at=4cx]，即[t=cxa]，再帶回上面兩式中，即得到：[（x+c）2+y2=a+cax]或者[（x-c）2+y2=a-cax]。

到這里，學(xué)生已經(jīng)知道后續(xù)的推導(dǎo)過程了，同時(shí)也感慨?dāng)?shù)學(xué)方法的奇妙。教師可以鼓勵(lì)有興趣的學(xué)生閱讀相關(guān)數(shù)學(xué)書籍，培養(yǎng)他們的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、講評(píng)課重在解疑釋惑

講評(píng)課是基于學(xué)生在各種檢測(cè)中暴露出來的知識(shí)漏洞與能力短板而設(shè)計(jì)的。教師在講解這些共性問題和典型問題時(shí)，要力爭(zhēng)做到舉一反三、觸類旁通。

以下是2020年全國一卷“圓錐曲線”的一道例題：如下圖，已知A，B分別為橢圓[E∶x2a2+y2=1（a>1）]的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，[AG×GB=8]，P為直線[x=6]上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D。（1）求E的方程;（2）證明：直線CD過定點(diǎn)。

由于學(xué)生已經(jīng)花了很多時(shí)間進(jìn)行思考，很多學(xué)生也已經(jīng)用不同的方法完成了該題的解答，所以在講解試卷中的這道題時(shí)應(yīng)該從學(xué)生的解答入手，選取一些比較典型的解法，分析各種解法的思考過程，各種解法的計(jì)算量的差別，各種解法對(duì)于該題的認(rèn)識(shí)等，以下是一些解法舉例及分析。

第一種：設(shè)P（6，[t]），則直線PA的方程為[y=][t9（x+3）]，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，即可解出點(diǎn)C的坐標(biāo)。同理，也可解出點(diǎn)D的坐標(biāo)，這樣就可以寫出直線CD的方程。最后對(duì)直線CD的方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，將方程化簡(jiǎn)為[y=4t3（3-t2）（x-32）]，即求得直線CD過定點(diǎn)。

第二種：前面的方法與第一種基本相同，但可以在第一種解法上稍做改進(jìn)，注意到直線CD關(guān)于[x]軸的對(duì)稱性，可以提前判斷出直線CD應(yīng)該過橫軸上的定點(diǎn)，所以最后在對(duì)直線CD的方程進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，可以直接令[y=0]，即求得[x=32]，為整道題的順利完成節(jié)省時(shí)間。

第三種：由第二種思路得到提示，出直線CD應(yīng)該過橫軸上的定點(diǎn)，所以對(duì)前面的解法進(jìn)行改進(jìn)，直接設(shè)直線CD的方程，而且設(shè)為橫截距式[x=my+n]，然后與橢圓方程關(guān)聯(lián)立即得到：[（m2+9）y2+2mny+n2-9][=0]。由于直線PA的方程為[y=t9（x+3）]，所以得到[y1=t9（x1+3）]，又直線PB的方程為[y=t3（x-3）]，所以得到[y2=t3（x2-3）]，兩式相除可得[3y1（x2-3）=y2（x1+3）]，進(jìn)一步化簡(jiǎn)得[2my1y2=（n+3）y2-3（n-3）y1]，將[y1=][-2mnm2+9-y2]，然后進(jìn)一步化簡(jiǎn)就可以求出[n=32]。

第四種：在第三種得到[3y1（x2-3）=y2（x1+3）]的基礎(chǔ)上，進(jìn)行另一種化簡(jiǎn)模式。由于[x229+y22=1]，故[y22=-（x2+3）（x2-3）9]，可得[27y1y2=-][（x1+3）（x2+3）]，將[y1+y2=-2mnm2+9]，[y1y2=][n2-9m2+9]代入上式得[（27+m2）][（n2-9）-2m（n+3）mn+（n+3）2（m2+9）=0]，解得[n=32]。

第一種方法最常規(guī)，計(jì)算量也最大，最適合學(xué)生，是學(xué)生最容易采取的方法。從最后閱卷得分來看，這種方法得分情況最好，雖然沒有得滿分，但只要寫出C，D的坐標(biāo)，就可以得到相當(dāng)可觀的分?jǐn)?shù)。第二種方法在第一種方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，不僅可以得高分，而且可以節(jié)省不少時(shí)間。第三、四種方法對(duì)學(xué)生能力要求極高，但是計(jì)算量較第一種和第二種要小很多，其中第三種直接把[y1]用[y2]替換，不是對(duì)偶式，學(xué)生一般不敢去嘗試，但實(shí)質(zhì)上計(jì)算量很小。第四種方法利用平方關(guān)系進(jìn)行替換，變成了對(duì)偶式，方法比較巧妙，計(jì)算量也較小。

（作者單位：武漢市蔡甸區(qū)漢陽一中）