數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透直觀想象素養(yǎng)的三重境界

常國良

摘要 直觀想象是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，其著重從幾何直觀的視角引導(dǎo)學(xué)生感知事物的形態(tài)和變化，是核心素養(yǎng)的重要組成部分。但對直觀想象的認知，現(xiàn)階段一線教師往往停留在某一層面，如以“形”輔“數(shù)”等認識，忽視了培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的層次性。

關(guān)鍵詞 直觀想象? 以形輔數(shù)? 數(shù)形結(jié)合? 直觀模型

新一輪課改，課程標(biāo)準(zhǔn)制定組確定了數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析六條學(xué)科核心素養(yǎng)，從思維視角的各個層面，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該關(guān)注的抽象能力、圖形感知、推理能力、運算能力等等發(fā)展過程，也預(yù)示著數(shù)學(xué)教學(xué)需要從純粹的解題教學(xué)轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教學(xué)，從問題的解決中去提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。一線教師應(yīng)盡可能地在學(xué)科教學(xué)中滲透學(xué)科核心素養(yǎng)，本文以直觀想象素養(yǎng)為例，談一談數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透直觀想象素養(yǎng)的三層境界。

一、形——直面感官想象的能力

新課程標(biāo)準(zhǔn)對于直觀想象的水平認知分三個層次，第一是建立簡單的圖形和實物關(guān)系，體會圖形和數(shù)量的關(guān)系。這一水平層次是引導(dǎo)學(xué)生在有圖形結(jié)構(gòu)的前提下，能獲取圖形和數(shù)量關(guān)系，屬于直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的第一層次境界，就是對于形的理解、形的繪制、形的思考，也可以稱之為“識圖解題”。

案例1：空間幾何中最小角定理和二面角最大值性質(zhì)

（2018年浙江8）已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段AB上的點（不含端點），設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則（? ? ?）。

A.θ1≤θ2≤θ3 B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2 D.θ2≤θ3≤θ1

分析：本題考查空間幾何中的線線角、線面角、二面角，在同一個幾何體中將三種角置于其中，統(tǒng)一考查。本題的解法多樣，對于未知思維直觀的學(xué)生來說，基本是以特殊取值或運算進行求解。

（1）∠SEO即是SE與平面ABCD所成的角θ2，BC是平面ABCD內(nèi)的一條線，由線面角的最小角特征可知：θ2≤θ1;（2）如圖1，取AB中點M，則∠SMO即是二面角S-AB-C的平面角θ3，OM≤OE，tanθ3=≥=tanθ2，所以有θ2≤θ3;（3）如圖2，過點O作AB的平行線PQ，過點E作BC的平行線，交PQ于點N，易證∠SEN即是θ1，由，SN≥SO，EN=MO，而tanθ3=≤=tanθ1，可知θ1≤θ3，故選D。

價值：直面感官想象，要弄清楚問題的本質(zhì)，自然需要不斷地加強直觀想象能力的培養(yǎng)。如圖3，從思維直觀的感受來說，教材習(xí)題中囊括了最小角定理：平面外直線與平面內(nèi)直線所成角最小值即為線面角，對于圖1來說，即θ2≤θ1;當(dāng)點A在棱l滑動時，該線面角∠PAH的最大值即為二面角，即θ2≤θ3，故選D。所以有直面感官想象的能力，我們自然獲得了“興于形”的基本能力，也符合了浙江卷選擇題命題的基本思路：選擇題是選出來的，即排除錯誤的，獲得正確選項的命題理念。

直觀想象素養(yǎng)的起源是以圖形化問題為載體，從圖形中去獲得直面感官想象的能力，即能從圖中獲取合理的思維、減少運算，讓思考從形中入手、讓思維從形端起步、讓思想從形態(tài)掌握。

二、思——形成數(shù)形結(jié)合的思想

中學(xué)數(shù)學(xué)難題的解決，不外乎幾何方法和代數(shù)方式，縱觀高考命題不難發(fā)現(xiàn)，幾何方法的巧妙往往更受命題者歡喜。高考是選拔性考試，能從兩小時的思維含量中區(qū)分更為優(yōu)秀的學(xué)生，幾何比代數(shù)來得更為有優(yōu)勢，而且中學(xué)生的代數(shù)論證工具和能力都遠遠不夠，幾何方法在初等數(shù)學(xué)中更受青睞，培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的問題解決思想顯得更為重要。直觀想象素養(yǎng)的第二重境界，恰是對于數(shù)形結(jié)合進一步思考的意義所在，要在看不到圖形的地方挖掘圖形，體現(xiàn)思維的價值，這正是“思”的意義。

案例2：min{max|f（x）|}問題的通性研究

2018年4月浙江省高中數(shù)學(xué)競賽12）設(shè)a∈R，且對任意實數(shù)b均有|x2+ax+b|≥1，求a的取值范圍。

分析：本題是min{max|f（x）|}的通性問題，難度較大，理解較為困難。從參考答案等常規(guī)分析來看，分類討論的介入必不可少。但是對于學(xué)生而言，函數(shù)問題從圖形角度思考，是更直接和直觀的想法，因此滲透直觀想象的第二層境界，不斷培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想成為關(guān)鍵。

形成數(shù)形結(jié)合的思想：將|x2+ax+b|=|x2-（-ax-b）|=|f（x）-g（x）|，則從圖象中可知原題的圖形本質(zhì)是在同一個橫坐標(biāo)處，兩點間的距離。如圖4，f（x）為曲線MN，g（x）是直線，不難發(fā)現(xiàn)，因為直線的斜率和截距均在變化，所以在變化過程中，其兩點間最大距離可能在x=0處、x=1處以及拋物線f（x）=x2的某一點處，每一次一條固定的直線均有這個距離的一個最大值，這么多最大值中總有一個最小的，本題的含義恰為此。讓直線動起來，從動態(tài)變化中不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線恰為MN時，總有一個Q點到其距離最大，因此利用切比雪夫最佳逼近原理可知：Kmn=1，Q點處的切線斜率也是1，則能產(chǎn)生min{max|f（x）|}的直線g（x）即能保持三個點到該直線的縱向距離是相等的，達到所謂的“平衡狀態(tài)”即可。

價值：形成數(shù)形結(jié)合的思想，是一個長期訓(xùn)練和培養(yǎng)的結(jié)果，初等數(shù)學(xué)正是因為代數(shù)工具的欠缺以及機械化運算的不足，才會努力通過幾何化方式去尋求問題的解決，這種解決往往提升了思維的層次性，培養(yǎng)了直觀想象的素養(yǎng)和能力，成為識圖解題后的更高境界——構(gòu)圖解題。

三、新——構(gòu)建直觀模型的體系

前兩個層次的學(xué)習(xí)，可以成為一名優(yōu)秀的學(xué)者，但缺乏水平層次三，尚不能稱之為出色。究其原因，以識圖解題、構(gòu)圖解題均在知識范疇之內(nèi)尋求問題的解決，但是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是致力于學(xué)生最終脫離解題之外的數(shù)學(xué)思考、價值導(dǎo)向，在看不到數(shù)學(xué)的地方用數(shù)學(xué)的知識解決問題，才是核心素養(yǎng)真正融入思維的關(guān)鍵。因此，直觀想象素養(yǎng)的第三重境界，正是以創(chuàng)新為主導(dǎo)，在自身已有的知識下，進一步從所學(xué)維度拓展到更高維度的認知，這才是課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)最終的價值體現(xiàn)。

案例3：利用基底尋求直觀模型的建構(gòu)

如圖5，OM∥AB，點P在由射線OM，線段OB及AB的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運動，且=x+y，則x的取值范圍是_________;當(dāng)x=-時，y的取值范圍是_________。

分析：向量問題既可以從代數(shù)入手，也可以從幾何切入，從直觀想象的視角來看，我們可以用基底的視角去思考，用類似直角坐標(biāo)系（即斜坐標(biāo)系）的方式思考，見圖6。

P點所在位置位于斜坐標(biāo)系陰影區(qū)域，因此x<0y>00

原創(chuàng)變式：如圖7所示，點O∈平面A'B'C'∥平面ABC，點Q在三棱錐OABC內(nèi)部運動（不含邊界），記=x+y+z，則x的取值范圍是多少？若x=時，則y+z取值范圍是多少？

分析：以O(shè)A→x軸，OB→y軸，OC→z軸建立空間斜坐標(biāo)系，Q點所在區(qū)域滿足線性約束條件：x>0，y>0，z>0，0

說明：從向量基底的學(xué)習(xí)來看，不能就題論題，直觀模型體系的培養(yǎng)要從二維基底到空間三維基底，這種學(xué)習(xí)是基于教師滲透、學(xué)生感悟，將知識靈活掌握、形成創(chuàng)新的立意、獲得更好的理解，久而久之形成了真正的直觀想象素養(yǎng)的更高境界。

綜上，于教師而言，真正將核心素養(yǎng)進行落地，需要一線教師在認真研學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，融入自身教學(xué)的思考，這種既能理解課程又能發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)的教學(xué)才是符合時代要求的教學(xué)，才是與時俱進的教學(xué)。于學(xué)生而言，直觀想象素養(yǎng)基于圖形化的解決問題策略是第一層次，進一步深思，不難發(fā)現(xiàn)有數(shù)形結(jié)合思想孕育其中，但是最難的是如何真正建立獲得學(xué)生思維層次提高的直觀模型，這種循序漸進的教學(xué)才是直觀想象素養(yǎng)落地的真思考、真行動。于教學(xué)而言：興于形——初等數(shù)學(xué)要注重幾何圖形的掌握，立于思——問題解決要關(guān)注數(shù)形結(jié)合的魅力，成于新——類比學(xué)習(xí)要尋求思維創(chuàng)新的突破。因此直觀想象素養(yǎng)恰恰是要求教師將這種啟發(fā)、引導(dǎo)、創(chuàng)新帶給學(xué)生，從而提高學(xué)生直觀想象能力和思維的含量，獲得更好的學(xué)習(xí)效果和學(xué)習(xí)體驗，是為直觀想象素養(yǎng)三境界。

參考文獻

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【責(zé)任編輯? 郭振玲】