付樹兵， 高興宇， 陸佳琪， 趙東升

(桂林電子科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，廣西 桂林 541004)

機(jī)器人的定位誤差95%是由于初始運(yùn)動學(xué)模型不準(zhǔn)確所造成的[1]。提高機(jī)器人定位精度的方法主要有2類：1)提高機(jī)器人零件的加工及裝配精度，該方法對減少機(jī)器人幾何誤差，提高絕對定位精度有一定作用，但是對于高精度作業(yè)要求的機(jī)器人，提高精度效果不明顯，投入成本驟增；2)建立運(yùn)動學(xué)模型，測量末端位置誤差，辨識幾何參數(shù)誤差值，在控制器上進(jìn)行誤差補(bǔ)償，該方法是提高機(jī)器人精度標(biāo)定的主要方法，其中參數(shù)辨識算法是提高定位精度、降低成本最有效、最直接的方法。目前，使用最廣的辨識算法仍然是最小二乘算法，但是傳統(tǒng)的最小二乘算法對部分相關(guān)參數(shù)辨識精度低，且無法對冗余參數(shù)進(jìn)行辨識，從而導(dǎo)致部分參數(shù)誤差無法補(bǔ)償或補(bǔ)償精度低。張虎[1]采用DH建模，先后對比最小二乘法、優(yōu)化算法、遺傳算法和退火算法補(bǔ)償效果，最大定位誤差從17.966 8 mm降至1.350 0 mm，MDH模型比DH模型最大定位誤差降低了約0.001 0 mm。王坤[2]以HSR-JR605機(jī)器人為實(shí)驗(yàn)對象，采用二級標(biāo)定方法，采用不同的方法對幾何參數(shù)誤差和非幾何參數(shù)誤差進(jìn)行補(bǔ)償，機(jī)器人的平均定位誤差由4.111 3 mm降至1.060 8 mm。目前機(jī)器人標(biāo)定的最大定位誤差大多數(shù)還停留在毫米級。為此，提出一種基于分步式自適應(yīng)學(xué)習(xí)參數(shù)辨識方法，此方法辨識精度高，辨識結(jié)果穩(wěn)定，算法程序化方便，可執(zhí)行性強(qiáng)，補(bǔ)償后最大定位誤差降低至0.2 mm以內(nèi)。

1 運(yùn)動學(xué)模型的建立

目前的工業(yè)機(jī)器人仍然主要采用經(jīng)典的D-H模型建模。此模型下，當(dāng)機(jī)器人相鄰關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)軸線平行或近乎平行時，存在奇異點(diǎn)，對末端位置精度影響很大[3-4]。為了減少辨識參數(shù)，采用D-H模型與MDH模型相結(jié)合的運(yùn)動學(xué)模型，在平行或近乎平行的關(guān)節(jié)間引入繞Y軸的旋轉(zhuǎn)參數(shù)β，在不平行的關(guān)節(jié)間仍保留傳統(tǒng)的D-H模型。

以歐姆龍公司的Viper650機(jī)器人為實(shí)驗(yàn)對象，結(jié)構(gòu)參數(shù)名義值如表1所示，坐標(biāo)關(guān)系圖如圖1所示，MATLAB仿真各參數(shù)誤差預(yù)設(shè)值如表2所示。

表1 運(yùn)動學(xué)參數(shù)名義值

表2 運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差預(yù)設(shè)值

圖1 Viper650機(jī)器人坐標(biāo)關(guān)系圖

根據(jù)圖1，相鄰的2個關(guān)節(jié)坐標(biāo)系間的D-H變換矩陣為

(1)

其中，2、3關(guān)節(jié)間的MDH變換矩陣為

A2=

(2)

則機(jī)器人位姿矩陣

(3)

其中：n(nx,ny,nz)、o(ox,oy,oz)、a(ax,ay,az)為機(jī)器人末端法蘭相對于基坐標(biāo)系的姿態(tài)向量；p(px,py,pz)為機(jī)器人末端執(zhí)行器的位置向量。

機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣能夠反映機(jī)構(gòu)位姿的微小變化以及各部件參數(shù)的微小變化之間的關(guān)系，可以描述機(jī)器人在末端執(zhí)行器微分運(yùn)動和各關(guān)節(jié)微分運(yùn)動之間的聯(lián)系[5]。機(jī)器人運(yùn)動學(xué)誤差模型為

(4)

其中Δp為實(shí)際位置pr與名義位置pn之差。式(4)簡化后模型為

Δp=J·Δδ，

(5)

其中：J為3×25的機(jī)器人誤差系數(shù)矩陣，又稱雅可比矩陣，

(6)

Δδ為25×1的幾何誤差參數(shù)矩陣，

Δδ=(Δθ1…Δθ6,Δd1…Δd6,Δa0…Δa5,

Δα0…Δα5,Δβ2)T。

(7)

因此，求解時應(yīng)選擇測量點(diǎn)數(shù)N>25/3，為了提高辨識精度，一般取N≥9構(gòu)成雅可比矩陣的超定方程組。當(dāng)雅可比矩陣列滿秩時可直接進(jìn)行求解，

Δδ=J-1Δp。

(8)

通過對雅可比矩陣的分析以及參數(shù)辨識的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)，其秩rank(J)<25，導(dǎo)致求解結(jié)果不唯一。因此，對J矩陣的列向量進(jìn)行冗余性分析，可對J矩陣進(jìn)行QR分解，

(9)

其中：Q為N×N的正交矩陣；R為25×25的上三角矩陣，R矩陣對角線上的元素為J矩陣的列特征值。特征值為0的列代表不起作用參數(shù)所對應(yīng)的參數(shù)列，特征值很小非常接近于0的列代表相關(guān)參數(shù)列，不起作用參數(shù)以及部分相關(guān)參數(shù)屬于冗余參數(shù)，在最小二乘算法中無法辨識。通過QR分解獲知冗余參數(shù)后，對獨(dú)立參數(shù)進(jìn)行誤差補(bǔ)償。圖2為QR分解的x、y、z方向的各參數(shù)特征值除以1 000后的折線圖，圖3為傳統(tǒng)最小二乘算法在X、Y、Z軸的參數(shù)辨識折線圖。

圖2 QR分解特征值分布折線圖

圖3 傳統(tǒng)最小二乘算法參數(shù)辨識折線圖

由圖2、3可知，連桿長度誤差Δai和連桿偏移誤差Δdi的QR分解特征值趨于0，連桿長度誤差Δai和連桿偏移誤差Δdi的部分誤差值辨識結(jié)果不一致，同時參數(shù)辨識精度低，這也驗(yàn)證了當(dāng)QR分解特征值趨于0時，最小二乘法參數(shù)辨識精度較低。另外，冗余參數(shù)Δθ6、Δd5、Δa5、Δα6的參數(shù)辨識結(jié)果基本為0，根據(jù)文獻(xiàn)[5]，Δθ6和Δα6對末端位置精度的影響基本可忽略，所以最終需要辨識和補(bǔ)償?shù)膮?shù)為23個。其中Δθi、Δαi、Δβ2的辨識采用傳統(tǒng)的最小二乘法，能基本滿足辨識精度要求。Δdi和Δai的辨識采用區(qū)域搜索法，q11、q12、q13、q14、q15、q16代表Δdi區(qū)域搜索后辨識結(jié)果。同理，p11、p12、p13、p14、p15、p16代表Δai區(qū)域搜索后辨識結(jié)果。

2 工業(yè)機(jī)器人誤差模型參數(shù)辨識方法

相同參數(shù)誤差條件下，不同位姿對末端位置造成的誤差存在差異性[5]，因此在進(jìn)行參數(shù)誤差辨識之前，需要獲取n組合適位姿并進(jìn)行誤差測量。為此，采用方差作為參數(shù)辨識穩(wěn)定性指標(biāo)。其中，區(qū)域搜索環(huán)節(jié)步長不能設(shè)置過小，否則在參數(shù)誤差較大的情況下，容易陷入局部最優(yōu)，步長過大則會影響區(qū)域搜索分辨率。鑒于此，采用多步長區(qū)域搜索法。具體操作流程為：

1)每個關(guān)節(jié)在活動范圍內(nèi)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，以40組數(shù)據(jù)為單位，對求解的雅可比矩陣進(jìn)行QR分解，區(qū)分獨(dú)立參數(shù)、相關(guān)參數(shù)和不起作用的參數(shù)。

2)補(bǔ)償獨(dú)立參數(shù)誤差。

3)設(shè)置步長0.03 mm進(jìn)行區(qū)域搜索，搜索完畢后進(jìn)行辨識精度微調(diào)，分別設(shè)置步長為0.02、0.01 mm進(jìn)行單次搜索，逐次補(bǔ)償后方差為評判標(biāo)準(zhǔn)，從100個40組數(shù)據(jù)中找到方差最小的一組，同時參考Δdi和Δai的辨識情況。重復(fù)步驟1)～3)，直至篩選出合適的位姿且穩(wěn)定的參數(shù)辨識方程。

4)反求Δθ5和Δα5的經(jīng)驗(yàn)值，經(jīng)驗(yàn)值補(bǔ)償后重新辨識參數(shù)誤差。

5)重新設(shè)定誤差值，驗(yàn)證整體的參數(shù)辨識效果，證明本方法的辨識精度和可靠性。

經(jīng)實(shí)驗(yàn)證明，采用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)辨識，Δθ5的辨識結(jié)果總是大于預(yù)設(shè)值，Δα5的辨識結(jié)果總是小于預(yù)設(shè)值，為了使區(qū)域搜索法參數(shù)誤差辨識結(jié)果更加精準(zhǔn)，需要對這2個參數(shù)分別乘以一個經(jīng)驗(yàn)值。實(shí)驗(yàn)證明，這個經(jīng)驗(yàn)值不是定值。關(guān)節(jié)角Δθ5和扭角Δα5的誤差變化對Δθ5和Δα5的辨識精度影響不大，但會隨桿長偏差Δai和連桿偏移誤差Δdi的變化而變化。有無經(jīng)驗(yàn)值補(bǔ)償對整體定位精度影響不是很大，只會影響部分相關(guān)參數(shù)的辨識精度，所以可以先初步辨識各參數(shù)誤差，然后計算當(dāng)前參數(shù)誤差需要的經(jīng)驗(yàn)值。步驟3)是整個參數(shù)辨識的關(guān)鍵，主流程圖和區(qū)域搜索流程圖如圖4、5所示。

圖4、5中，Vr1代表當(dāng)前參數(shù)誤差補(bǔ)償后的方差，通過不斷遍歷，將Vr1最小值賦值給Vr。Vr2代表正向搜索參數(shù)誤差補(bǔ)償后方差，Vr3代表負(fù)向搜索參數(shù)誤差補(bǔ)償后方差。n1根據(jù)誤差預(yù)估值而定，l為搜索步長。暫定n1為40，li為0.03，則最終區(qū)域搜索區(qū)間為[-1.2，1.2]。輸出結(jié)果中，Mx、Vr、Av分別為參數(shù)誤差補(bǔ)償后的最大定位誤差、方差及平均誤差，Er為最終辨識的誤差參數(shù)矩陣，Tr為從隨機(jī)數(shù)中選取的40組較佳辨識位姿矩陣，Tr=[Tr1Tr2Tr3Tr4Tr5Tr6]T。若測量點(diǎn)選擇太少，部分參數(shù)的辨識精度可能會發(fā)生較大跳變，最終導(dǎo)致部分參數(shù)的補(bǔ)償精度不足；若測量點(diǎn)太多，一方面會增加參數(shù)的辨識時間，另一方面測量組數(shù)據(jù)增加時，辨識精度的提高不明顯，最終選定測量點(diǎn)數(shù)為40。測量位姿的確定猶如機(jī)器學(xué)習(xí)和訓(xùn)練的過程，根據(jù)隨機(jī)數(shù)的變化，不斷更新獲取最佳辨識位姿，辨識精度也不斷提高。

圖4 主流程圖

3 仿真分析

根據(jù)流程圖選出測量位姿，并進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。設(shè)置較小參數(shù)誤差和較大參數(shù)誤差2種情況，分別對Δθ5和Δα5有無經(jīng)驗(yàn)值補(bǔ)償?shù)谋孀R進(jìn)行對比。表3為不同預(yù)設(shè)值參數(shù)辨識結(jié)果對比。從表3可以看出：

1)Δθ5和Δα5的辨識精度對Δd5和Δa5的辨識結(jié)果影響很大。從QR分解的特征值分析，Δd5和Δa5屬于相關(guān)性較強(qiáng)的參數(shù)，傳統(tǒng)最小二乘法對其辨識結(jié)果趨于0，為無法辨識。

2)Δθ5和Δα5的辨識精度對其他參數(shù)的辨識波動基本可以忽略，可以先根據(jù)初步辨識結(jié)果反求Δθ5和Δα5的經(jīng)驗(yàn)值，然后進(jìn)行二次參數(shù)辨識。

圖6為第1組誤差預(yù)設(shè)值未標(biāo)定前，X、Y、Z軸定位誤差分布，圖7～9為第1組誤差預(yù)設(shè)值參數(shù)辨識并補(bǔ)償誤差后的定位誤差折線圖。圖10～12為第2組誤差預(yù)設(shè)值參數(shù)辨識并補(bǔ)償后的定位誤差折線圖。從圖6～12可知：

圖5 區(qū)域搜索流程圖

表3 不同預(yù)設(shè)值參數(shù)辨識結(jié)果對比

圖6 未標(biāo)定前誤差折線圖

圖7 第1組X軸誤差分布折線圖

圖8 第1組Y軸誤差分布折線圖

圖9 第1組Z軸誤差分布折線圖

圖10 第2組X軸誤差分布折線圖

圖11 第2組Y軸誤差分布折線圖

1)當(dāng)整體參數(shù)都存在微小誤差時，對機(jī)器人末端位置的精度影響較大。

2)區(qū)域搜索法比傳統(tǒng)的最小二乘法參數(shù)辨識精度更高，誤差的補(bǔ)償效果更好。

3)當(dāng)參數(shù)誤差Δθ5和Δα5較小時，有無經(jīng)驗(yàn)值補(bǔ)償對定位誤差精度的提高效果不明顯；當(dāng)參數(shù)誤差Δθ5和Δα5較大時，經(jīng)驗(yàn)值補(bǔ)償可一定程度上提高機(jī)器人定位精度，特別是Z軸的定位精度。

4)Δθ5、Δd5、Δa5、Δα5誤差值對末端定位精度影響較小。

2種算法的誤差對比如表4所示。由表4可知，第1組數(shù)據(jù)，與標(biāo)定前相比，區(qū)域搜索算法的最大定位誤差降低了99.33%，方差降低了99.99%，平均誤差降低了99.62%；與傳統(tǒng)最小二乘法對比，最大定位誤差降低了86.73%，方差降低了98.74%，平均誤差降低了85.38%。第2組數(shù)據(jù)，與標(biāo)定前相比，

圖12 第2組Z軸誤差分布折線圖

表4 2種算法的誤差對比mm

區(qū)域搜索算法的最大誤差降低了98.95%，方差降低了99.99%，平均誤差降低了99.39%；與傳統(tǒng)最小二乘法相比，最大定位誤差降低了51.90%，方差降低了81.61%，平均誤差降低了98.76%。這也驗(yàn)證了基于區(qū)域搜索法參數(shù)辨識的高精度和高可靠性。

4 結(jié)束語

針對工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定環(huán)節(jié)中最小二乘法部分參數(shù)辨識不穩(wěn)定、冗余參數(shù)無法辨識等問題，提出了一種分步式自適應(yīng)學(xué)習(xí)參數(shù)辨識方法?？紤]到相同誤差值情況下，不同位姿對末端位置精度的影響各不相同，同時，不同位姿對參數(shù)辨識精度也會存在差異，為此，采用隨機(jī)數(shù)方法，MATLAB遍歷仿真，自適應(yīng)學(xué)習(xí)當(dāng)前型號機(jī)器人參數(shù)辨識的最佳位姿測量點(diǎn)，測量點(diǎn)對相同型號的機(jī)器人參數(shù)辨識同樣適用，后續(xù)的參

數(shù)辨識可直接跳過測量位姿選取環(huán)節(jié)。經(jīng)驗(yàn)值的補(bǔ)償可提高相關(guān)參數(shù)的辨識精度，從而提高機(jī)器人整體定位精度。但單步長搜索分辨率不能設(shè)置過小，否則當(dāng)參數(shù)誤差值較大情況下，可能會陷入局部最優(yōu)。MATLAB仿真結(jié)果表明，機(jī)器人最大定位誤差降低至0.2 mm，證明本方法是有效的，為機(jī)器人精度標(biāo)定的實(shí)施提供了理論依據(jù)。