華毛加，索南仁欠

(1.青海師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,青海 西寧 810008；2.青海師范大學(xué) 研究生院，青海 西寧 810008)

0 引言

1975年Zaded[1]提出了區(qū)間值模糊集的概念，它是模糊集的一種推廣形式.區(qū)間值模糊集對(duì)于不確定的現(xiàn)象比傳統(tǒng)的模糊集更具描述，因此，區(qū)間值模糊集得到了廣泛的研究和應(yīng)用，比如模糊控制、醫(yī)療診斷、多值邏輯、智能控制等方面，區(qū)間值模糊集起到了很重要的作用.區(qū)間值模糊集理論應(yīng)用到圖論上，就有了區(qū)間值模糊圖理論.區(qū)間值模糊圖是由Chen與Horng[2]提出的，推廣了模糊圖.隨后許多學(xué)者對(duì)區(qū)間值模糊圖做了細(xì)致的研究，如Akram與Dudek[3]定義了區(qū)間值模糊圖的笛卡爾積、合成、并、聯(lián)運(yùn)算，討論了一些性質(zhì)，并給出了區(qū)間值模糊完全圖的定義，分析自補(bǔ)和弱自補(bǔ)區(qū)間值模糊完全圖的一些性質(zhì)；Talebi與Rushmanlou[4]研究了區(qū)間值模糊圖同構(gòu)的一些性質(zhì)；楊文華[5]定義了區(qū)間值模糊圖的直接乘積、半強(qiáng)乘積、強(qiáng)乘積以及字典乘積.本文將定義區(qū)間值模糊圖的若干運(yùn)算，并研究其相關(guān)的性質(zhì)，進(jìn)一步補(bǔ)充和完善區(qū)間值模糊圖理論.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)I={[a,b]|0≤a≤b≤1}(即[0,1]中所有閉區(qū)間構(gòu)成的集合),I中的序關(guān)系定義為：[a1,b1]≤[a2,b2]?a1≤a2且b1≤b2,?[a1,b1],[a2,b2]∈I.

2)對(duì)于任意的集合V，在V×V-{(x,x)|x∈V}上定義等價(jià)關(guān)系～如下：

(x1,y1)～[x2,y2]?(x1,y1)=(x2,y2)或者x1=y2,x2=y1.

定義1.2[7]設(shè)A和B為X上的兩個(gè)區(qū)間值模糊集，則對(duì)于x∈X:

③(A∨B)∧A=A;

④(A∧B)∨A=A;

則稱序?qū)=(A,B)是圖G*=(V,E)的區(qū)間值模糊圖,記圖G*上的所有區(qū)間值模糊圖的集合為(G).

2)若X的兩個(gè)區(qū)間值模糊集μ和v滿足μ(x)≤v(x)(?x∈X),則記μ≤v.若兩個(gè)區(qū)間值模糊圖G=(A,B)和H=(A1,B1)滿足A1≤A,B1≤B,則稱H是G的偏區(qū)間值模糊子圖.

①映射f∶V1→V2稱為從G1到G2的同態(tài)，若f滿足下面的條件：

②映射f∶V1→V2稱為從G1到G2的弱同構(gòu)，若f是雙射且滿足下面的條件：

i)f是G1到G2的同態(tài).

③映射f∶V1→V2稱為從G1到G2的同構(gòu)，若f是雙射且滿足下面的條件：

2 主要結(jié)果

E={(x1,z)(y1,z)|z∈V2,x1y1∈E1}∪{(x1,x2)(y1,y2)|x1y1∈E1，x2y2∈E2},并且

((x1,x2)∈V1×V2),

(x1y1)∈E1,z∈V2),

(x1y1∈E1,x2y2∈E2).

注：G1?G2≠G2?G1，易知通過弱乘積運(yùn)算得出的新圖G1?G2=(A，B)依然是一個(gè)區(qū)間值模糊圖.

證明由弱乘積的定義可知

(?(x1,x2)∈V1×V2),

(?(x1,x2)∈V1×V2),

(?(x1,z)(y1,z)∈E),

(?(x1,z)(y1,z)∈E),

(?(x1,x2)(y1,y2)∈E),

(?(x1,x2)(y1,y2)∈E).

即μA＇(x1,x2)≤μA(x1,x2),同理可證

μB＇((x1,z)(y1,z))≤μB((x1,z)(y1,z)),(?(x1,z)(y1,z)∈E),

μB＇((x1,x2)(y1,y2))≤μB((x1,x2)(y1,y2)),(?(x1,x2)(y1,y2)∈E).

E={(x,x2)(x,y2)|x∈V1,x2y2∈E2}∪{(x1,z)(y1,z)|z∈V2,x1y1∈E1}

∪{(x1,x2)(y1,y2)|x1y1∈E1,x2y2∈E2}∪{(x1,x2)(y1,y2)|x1y1?E1,x2y2∈E2},

并且

((x1,x2)∈V1×V2),

(x∈V1,x2y2∈E2),

(x1y1∈E1,z∈V2),

(x1y1∈E1,x2y2∈E2),

(x1y1?E1,x2y2∈E2),

注：G1-G2=G2-G1,可發(fā)現(xiàn)G1-G2=(A，B)是一個(gè)二部區(qū)間值模糊圖,所以事實(shí)上這個(gè)運(yùn)算是一個(gè)構(gòu)造二部區(qū)間值模糊圖的過程.

E={(x,x2)(x,y2)|x∈V1,x2y2∈E2}∪{(x1,z)(y1,z)|z∈V2,x1y1∈E1}

∪{(x1,x2)(y1,x2)|x1y1∈E1,x2y2∈E2}∪{(x1,x2)(y1,y2)|x1y1?E1,x2y2?E2},

并且(i),(ii),(iii),(iv)與定義2.3相同.

注：G1*G2≠G2*G1,易知G1*G2=(A，B)也是區(qū)間值模糊圖.

E={(x,x2)(x,y2)|x∈V1,x2y2∈E2}∪{(x1,z)(y1,z)|z∈V2,x1y1∈E1}

∪{(x1,x2)(y1,y2)|x2y2∈E2,x1,y1∈V1且x1≠y1},并且

((x1,x2)∈V1×V2),

(x∈V1,x2y2∈E2),

(x1y1∈E1,z∈V2),

注：G1°G2≠G2°G1，易發(fā)現(xiàn)G1°G2=(A，B)也是區(qū)間值模糊圖.

證明由G1?G2的定義可知,對(duì)于任意的z∈V2，x1y1∈E1,

同理，對(duì)于任意的x1y1∈E1,x2y2∈E2,有

因此,G1?G2=(A,B)是強(qiáng)區(qū)間值模糊圖.

類似地，可以證明下面的定理.

定理2.14設(shè)G=(A,B)是區(qū)間值模糊圖G1=(A1,B1)和G2=(A2,B2)的弱乘積，G＇=(A＇,B＇)是區(qū)間值模糊圖G3=(A3,B3)和G4=(A4,B4)的弱乘積，G1?G3,G2?G4，則G?G＇.

證明由于G1?G3且G2?G4,所以存在兩個(gè)映射,分別是f1∶V1→V3和f2∶V2→V4,且滿足

定義f∶V1×V2→V3×V4，其中f(x1,x2)=(f1(x1),f2(x2))(?(x1,x2)∈V1×V2) ，這里將f((x1,x2))簡(jiǎn)寫成f(x1,x2),不難驗(yàn)證f是同構(gòu)的.

類似地，其余的運(yùn)算也有這樣的性質(zhì).