核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)課的教學(xué)設(shè)計(jì)

盧秀敏

【摘 要】 數(shù)學(xué)公式是表征自然界不同事物的數(shù)量之間或相等或不相等的聯(lián)系，它確切地反映了事物內(nèi)在和外在的關(guān)系，是我們從一種事物遷移到另一種事物的依據(jù)，使我們更好地理解事物的本質(zhì)和內(nèi)涵。三角函數(shù)公式看似很多、很復(fù)雜，但只要掌握了三角函數(shù)公式的本質(zhì)及內(nèi)部規(guī)律，就會發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)各個公式之間有很強(qiáng)大的聯(lián)系，而掌握三角函數(shù)公式的內(nèi)部規(guī)律及本質(zhì)也是學(xué)好三角函數(shù)公式的關(guān)鍵所在。

【關(guān)鍵詞】 核心素養(yǎng);兩角和與差公式;教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)課的教學(xué)設(shè)計(jì)要踐行“為核心素養(yǎng)而教”的教育理念，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)課的課型特征。數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)課的教學(xué)設(shè)計(jì)既要關(guān)注教師的教學(xué)行為，引領(lǐng)教師合理創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納猜想、抽象概括、演繹證明、符號表達(dá)、構(gòu)建模型等思維過程，又要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

一、基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)公式課的教學(xué)特征

數(shù)學(xué)公式是表征自然界不同事物的數(shù)量之間或相等或不相等的聯(lián)系，它確切地反映了事物內(nèi)在和外在的關(guān)系，是我們從一種事物遷移到另一種事物的依據(jù)，使我們更好地理解事物的本質(zhì)和內(nèi)涵。數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)課的教學(xué)旨在建構(gòu)正確的數(shù)學(xué)公式之間的本質(zhì)聯(lián)系，揭示數(shù)學(xué)公式之間的規(guī)律性及邏輯推理的聯(lián)系性。從教學(xué)結(jié)果來看，數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)的教學(xué)主要是讓學(xué)生掌握不同的公式運(yùn)用條件，合理運(yùn)用正確的數(shù)學(xué)公式解決問題;從教學(xué)過程來看，數(shù)學(xué)公式的教學(xué)就是教師引領(lǐng)學(xué)生從已學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)公式中發(fā)現(xiàn)和提出合理的猜想，嚴(yán)密推理論證，獲得新數(shù)學(xué)公式，運(yùn)用新公式解決新問題的過程。

數(shù)學(xué)公式的學(xué)習(xí)屬于規(guī)則學(xué)習(xí)，其學(xué)習(xí)過程一般包括公式的引入、公式的形成、公式的理解、公式的運(yùn)用這四個階段。數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)教學(xué)具有公式形成的過程性、公式表征的多元性、公式理解的層次性、公式運(yùn)用的操作性等基本特征。因此，數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)課的一般教學(xué)結(jié)構(gòu)是：引入公式—猜想公式—證明公式—理解公式—辨識公式—應(yīng)用公式—?dú)w納總結(jié)。

數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)教學(xué)的目標(biāo)就是獲得數(shù)學(xué)公式，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，幫助學(xué)生形成理性的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。本文以“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（第一課時）”為例展開論述。

1.課時目標(biāo)

（1）掌握由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦、正切公式。

（2）會用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)的求值、化簡、計(jì)算等。

（3）熟悉兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的靈活運(yùn)用，了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法。

（4）領(lǐng)會觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、分析、論證、應(yīng)用的數(shù)學(xué)探究的基本思維方式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2.課時重點(diǎn)

引導(dǎo)學(xué)生通過獨(dú)立探索和討論交流，由已學(xué)兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的其他公式，并從中了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，為靈活運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡單的恒等變換打好基礎(chǔ)。

3.課時難點(diǎn)

兩角和與差的六個公式的靈活選用、逆用及角的變換。

4.教學(xué)條件支持

教學(xué)課件采用PPT演示，節(jié)約板書時間，有利于知識點(diǎn)的反復(fù)呈現(xiàn);學(xué)習(xí)卡片的制作，有利于學(xué)生及時收集、鞏固知識要點(diǎn)。

二、基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)課的課堂實(shí)錄

1.復(fù)習(xí)式導(dǎo)入

教師：回顧上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)掌握了兩角差的余弦公式：（教師板書，PPT展示）cos（α-β）=cos α cos β+sin α sin β，請大家在知識卡片上默寫該公式。

那么，兩角和的余弦公式是什么呢？兩角和與差的正弦、正切是否有類似的公式呢？

教師：（規(guī)律小結(jié)）公式的應(yīng)用是靈活的，套用公式時，不僅要正向使用，還要求能夠逆向使用，這就要求大家對公式的特征十分熟悉，因此，熟記公式是前提條件。

【設(shè)計(jì)意圖】教材是教師最重要的教學(xué)依托，作為一線教師，應(yīng)領(lǐng)悟教材的編寫意圖，圍繞發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的需要，關(guān)注過程性、融合性、實(shí)踐性，引導(dǎo)學(xué)生開展觀察、分析、歸納、推理、概括等思維方式，形成數(shù)學(xué)建模的完整過程，因而筆者的選題都遵循“源于課本”的原則。

教師：下面我們再來看一下課后習(xí)題。

【設(shè)計(jì)意圖】相對前面兩道例題中都是具體角度，從數(shù)學(xué)抽象的角度出發(fā)，而選擇此題，培養(yǎng)學(xué)生由具體到抽象的轉(zhuǎn)變，加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)公式時的數(shù)學(xué)抽象能力及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力;學(xué)生之間的共同探討、擇優(yōu)展示，培養(yǎng)了學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識、競爭意識。

4.能力提升

本例題根據(jù)筆者從教的實(shí)驗(yàn)班和平衡班兩種不同層次的學(xué)情出發(fā)，可靈活安排在第一課時和第二課時的教學(xué)。

另一模式暫時不說明，留著學(xué)有余力的學(xué)生課后研究。

【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步提升學(xué)生應(yīng)用公式的靈活性，同時補(bǔ)充三角函數(shù)化簡的重要方法——輔助角公式。在數(shù)學(xué)直觀運(yùn)算中進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的公式、規(guī)律探索，培養(yǎng)“直觀想象→數(shù)學(xué)抽象→數(shù)學(xué)建?！钡乃季S邏輯及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。

5.課堂小結(jié)

教師：本節(jié)課在兩角差的余弦公式之后，推導(dǎo)出另外五個兩角和或差的三角函數(shù)公式，要求我們能熟悉兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的靈活運(yùn)用，了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法。請大家再次用最快的速度默寫出這節(jié)課學(xué)習(xí)的六個公式。

6.課后作業(yè)

基礎(chǔ)鞏固題：課本P137，習(xí)題3.1 A組題第13題。

能力提升題：（實(shí)驗(yàn)班學(xué)生完成，平衡班學(xué)生作第二課時要求）

【設(shè)計(jì)意圖】針對不同層次的學(xué)生布置不同水平的作業(yè)，因人而異地要求學(xué)生掌握課堂實(shí)效，讓學(xué)生體會收獲的喜悅，同時獲得提升能力的機(jī)會。

三、基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)課的教學(xué)反思

1.注重夯實(shí)基礎(chǔ)，強(qiáng)化公式整合

使用教材，這既是執(zhí)教教師分內(nèi)的事，也是執(zhí)教教師將學(xué)科核心素養(yǎng)具體落地的責(zé)任。教師應(yīng)基于教材，設(shè)計(jì)“思維過程的教學(xué)”，以數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程為載體，以合適的問題、適時的切入點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生的思維活動，讓學(xué)生在教師的啟發(fā)下經(jīng)歷數(shù)學(xué)公式的類比—猜想—論證—?dú)w納—建模的思維過程，在課堂教學(xué)過程中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、發(fā)展數(shù)學(xué)能力。

2.強(qiáng)化邏輯推理，提高思維能力

數(shù)學(xué)是理性思維的體操，數(shù)學(xué)教師最核心的工作就是教會學(xué)生如何數(shù)學(xué)地思考。教學(xué)中，教師要“明化思維”，簡單明了地引領(lǐng)數(shù)學(xué)思維歷程，使學(xué)生通過示范+模仿形成自己的思路，提高數(shù)學(xué)思考和靈活應(yīng)用公式的能力。同時，通過相應(yīng)的題組訓(xùn)練，使學(xué)生對公式本質(zhì)形成進(jìn)一步認(rèn)識和應(yīng)用，從求值或化簡的過程中自覺、自然地學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，逐步形成數(shù)學(xué)建模的能力。

3.提升教師水平，發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教學(xué)要注意突出數(shù)學(xué)本質(zhì)教學(xué)，即在教學(xué)過程中讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)公式的提出、形式、本質(zhì)，從而把握數(shù)學(xué)思想，感悟數(shù)學(xué)特有的思維方式，鑒賞數(shù)學(xué)之美，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中，從目標(biāo)設(shè)計(jì)到問題拋出，從規(guī)律探究到實(shí)例運(yùn)用，都是對教師教學(xué)能力的考查。授課過程的具體展示，教師需根據(jù)學(xué)情，合理整合各類資源，充分利用教學(xué)條件（PPT、實(shí)物投影、學(xué)習(xí)卡片等），幫助學(xué)生及時鞏固數(shù)學(xué)公式，靈活運(yùn)用公式，達(dá)成預(yù)期學(xué)習(xí)效果。

【參考文獻(xiàn)】

[1]肖凌戇.核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)定理課的評價研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（6）：21-25.

[2]鄭良，謝超.直覺引領(lǐng)探根源，反思質(zhì)疑揭本質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（16）：47-49.

[3]陶友根，李婷，李紅慶.領(lǐng)悟教材編寫意圖，設(shè)計(jì)“思維過程的教學(xué)”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（9）：25-28.