高中數(shù)學(xué)函數(shù)最值問題求解思路之我見

吳焱焱

【摘 要】 高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)是一個重點和難點，也是充分考查學(xué)生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵所在，而函數(shù)的最值問題更是重中之重，對此，在這個環(huán)節(jié)，如何引領(lǐng)學(xué)生突破思維瓶頸，達成解題方法和解題策略的融會貫通，成為我們數(shù)學(xué)教育工作者的一項研究課題。

【關(guān)鍵詞】 函數(shù);高中數(shù)學(xué);策略

函數(shù)屬于高中數(shù)學(xué)知識體系中的重要內(nèi)容，歷年來都是高考中的一個熱門考點，其中，求函數(shù)最值問題考查得最為頻繁，這類題目的靈活性、綜合性與概念性較強，對學(xué)生的邏輯思維、推理能力與分析能力要求較高，還與其他方面的知識相結(jié)合。高中數(shù)學(xué)教師需要指導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確運用所學(xué)知識求解函數(shù)最值問題，幫助他們優(yōu)化解題思路，找到合理的解題方法。

一、科學(xué)運用配方法迅速求解函數(shù)最值

在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中求解最值問題時，在各種求解方法中，配方法是最為常見的一種，即將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形轉(zhuǎn)變成完全平方式或幾個完全平方式的和，能發(fā)掘出題目中的隱性條件。運用配方法求解函數(shù)最值問題時，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)變之前的函數(shù)式，高中生需科學(xué)使用配方法轉(zhuǎn)化題設(shè)中的函數(shù)式，轉(zhuǎn)化完后就能求出函數(shù)特定的取值范圍，再結(jié)合題目中給出的定義域，快速求解函數(shù)最值問題。

比如這道題目：已知f（x）=2+log3x，x∈[1，3]，求函數(shù)y=[f（x）]2+

f（x2）的最值。解析：學(xué)生在處理這類函數(shù)最值問題時，第一步需要做的是利用配方法把函數(shù)式變形，由f（x）=2+log3x，x∈[1，3]，得到y(tǒng)=[f（x）]2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2=（log3x）2+6log3x

+6=（log3x+3）2-3，由于函數(shù)f（x）的定義域是[1，3]，則函數(shù)y=[f（x）]2+f（x2）的定義域是，解得1≤x≤，得出log3x∈[0，]，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可得6≤y≤，所求函數(shù)的最大值ymax=，最小值ymin=6。反思：運用二次函數(shù)性質(zhì)求解最值問題時，一定要注意到自變量的取值范圍以及對稱軸和區(qū)間的相對位置關(guān)系。

在上述案例中，學(xué)生運用配方法求解函數(shù)最值問題時，應(yīng)當(dāng)密切關(guān)注函數(shù)的對稱軸，以此為前提設(shè)置與其對應(yīng)的取值范圍，相當(dāng)于把握住題目中的隱性條件，最終迅速求出答案。

二、合理應(yīng)用換元法簡化求解函數(shù)最值

換元法即為面對結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的多項式時，如果把其中某些部分看成一個整體，用新字母代替，就能把復(fù)雜式子變得明朗化、簡單化，達到化難為易、化繁為簡的效果，確定快捷的解題思路。教師可指導(dǎo)學(xué)生處理函數(shù)式時引入特定的變量取代某些代數(shù)式或變量，簡化函數(shù)式，促使整個解題流程也變得簡單化，同時要提示學(xué)生不能忽視定義域與取值范圍，以此為基礎(chǔ)求解函數(shù)最值問題。

換元法主要有代數(shù)換元與三角換元兩種，其中，形如y=ax+b+

（a、b、c、d均是常數(shù)，且a≠0）的函數(shù)，常用代數(shù)換元法求解。例如：求函數(shù)y=2x+的最大值。解析：在這里可設(shè)t=（t≥0），那么x=，y=-t2+t+1=-（t-）2+≤，則該函數(shù)的最大值ymax=。解題中學(xué)生要注意換元前后的等價性，題目中t=（t≥0），并非求t的取值范圍，而是需注意換元后的可操作性。三角換元則是用三角函數(shù)代替函數(shù)表達式中的某個字母，然后利用三角函數(shù)的關(guān)系，解決問題。例如：求函數(shù)y=的最大值與最小值。解析：先把函數(shù)式化簡，得到y(tǒng)=+=+，此時令x=tan，

則f（x）=f（θ）=cos2θ+sinθ=-sin2θ+sinθ+1=-（sinθ-）2+，

所以，當(dāng)sinθ=時，f（x）有最大值，ymax=，當(dāng)sinθ=-1時，f（x）有最小值，ymin=-。

如此，學(xué)生根據(jù)具體題目選用代數(shù)換元法或三角換元法解決函數(shù)最值問題，把函數(shù)式化簡，使解題過程由復(fù)雜變得簡單，提升解題正確率。

三、大膽采用判別式法準(zhǔn)確求函數(shù)最值

判別式法在解決數(shù)學(xué)題目時經(jīng)常會用到，通過直覺對式子進行直接判斷，優(yōu)化解題思路。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識過程中，直覺可謂是一項相當(dāng)重要的能力，高中生已經(jīng)積累了不少知識與學(xué)習(xí)經(jīng)驗，形成了一定的思維與判斷能力，求解函數(shù)最值問題時，教師需鼓勵他們大膽采用判別式法，調(diào)動自身的數(shù)學(xué)直覺，采用變形整理的方式全面轉(zhuǎn)化函數(shù)表達式，判斷出實根條件所對應(yīng)的函數(shù)最值。

例如，在求函數(shù)最值問題時，假如能把已知函數(shù)式經(jīng)過適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)變形后，轉(zhuǎn)化成一元二次方程的形式，即a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，a（y）≠0，通過對方程有無實根的直覺判斷來求得函數(shù)的最值。如：已知x、y∈R，且滿足x2+y2+2xy+x-y=0，求x的最大值與y的最小值。解析：根據(jù)題目中的已知條件，將原函數(shù)式變形后得到y(tǒng)2+（2x-1）y+（x2+x），y∈R，則Δ≥0，那么有（2x-1）2-4（x2+x）≥0，得到-8x+1≥0，即x≤，則x的最大值xmax=。運用同樣的方法，原式變形為x2+（2y+1）x+（y2-y）=0，x∈R，則Δ≥0，那么有（2y+1）2-4（y2-y）≥0，得到8y+1≥0，即y≥-，則y的最小值ymin=-。

對于上述案例，教師指導(dǎo)學(xué)生大膽采用判別式法求解函數(shù)最值問題，綜合考慮多個因素，從而求出準(zhǔn)確答案。

綜上所述，在解答高中數(shù)學(xué)函數(shù)最值問題時，學(xué)生要牢固掌握基礎(chǔ)知識，同時認真審題，了解題目條件與要求，根據(jù)實際情況確定求解思路，找到正確的解題方法，最終順利解決問題。