呂志元

[摘? 要] 函數(shù)與幾何綜合題的突破難度較大，需要綜合知識(shí)方法，巧妙轉(zhuǎn)化問(wèn)題構(gòu)建解題思路. 合理選用解題方法對(duì)于考題突破極為關(guān)鍵，文章將以一道函數(shù)與幾何考題為例，開(kāi)展解析探究，進(jìn)行解法拓展并反思教學(xué)，提出幾點(diǎn)建議.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù);幾何;面積;菱形;存在性

函數(shù)與幾何是初中數(shù)學(xué)兩大重要的知識(shí)模塊，實(shí)際考查時(shí)常以函數(shù)為背景，聯(lián)系幾何圖形來(lái)構(gòu)建圖像. 圖像上的點(diǎn)不僅可以作為求解函數(shù)解析式的工具點(diǎn)，也可作為幾何圖形中的頂點(diǎn)、交點(diǎn)等關(guān)鍵點(diǎn)用以探討幾何性質(zhì). 函數(shù)與幾何綜合題的問(wèn)題形式也極為多變，如求函數(shù)解析式、探究幾何面積、分析特殊圖形是否存在等. 充分把握函數(shù)與幾何的知識(shí)關(guān)聯(lián)，從點(diǎn)坐標(biāo)出發(fā)，推演線段長(zhǎng)，聯(lián)系幾何性質(zhì)構(gòu)建思路是常用的策略.

問(wèn)題探究

函數(shù)與幾何題的設(shè)問(wèn)形式多變，第（1）問(wèn)通常與函數(shù)解析式相關(guān)，屬于基礎(chǔ)問(wèn)題，第（2）（3）問(wèn)則融入幾何特性、動(dòng)點(diǎn)等內(nèi)容，綜合進(jìn)行考查，下面以一道中考?jí)狠S題為例，進(jìn)行深入探究.

1. 問(wèn)題呈現(xiàn)

（2020年重慶市中考A卷第25題）如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2+bx+c與直線AB相交于A，B兩點(diǎn)，其中A（-3，-4），B（0，-1）.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

（2）點(diǎn)P為直線AB下方拋物線上的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，求△PAB面積的最大值;

（3）將該拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線y=a1x2+b1x+c1（a≠0），平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為原拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)E，使以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2. 問(wèn)題解析

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，可采用待定系數(shù)法，分別將點(diǎn)A和B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可得9-3b+c=-4，c=-1，解得b=4，c=-1，所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2+4x-1;

（2）該問(wèn)解析△PAB面積的最大值，其中點(diǎn)A和B為定點(diǎn)，則線段AB固定，于是△PAB面積的大小將由線段AB上的高決定，那么問(wèn)題就是求拋物線上到AB最大距離的點(diǎn)，可采用作平行線的方法. 過(guò)AB的平行線l，當(dāng)l與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)就為△PAB取得最大面積時(shí)點(diǎn)P的位置，如圖2所示. 同時(shí)設(shè)l與y軸的交點(diǎn)為N，根據(jù)等面積法可知△PAB與△NAB的面積相等.

設(shè)直線l的解析式為y=x+d，與拋物線的解析式聯(lián)立，整理可得x2+3x-1-d=0，由判別式Δ=0可得d=-，則直線l的解析式為y=x-，進(jìn)而可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)為0，-. 將△NAB視為是以BN為底，點(diǎn)A為頂點(diǎn)的三角形，則底BN=，高h(yuǎn)=3，則△NAB的面積為S=××3=，所以△PAB面積的最大值為.

（3）第三問(wèn)涉及拋物線平移以及菱形存在性探討，但題干沒(méi)有設(shè)定菱形的結(jié)構(gòu)，解析突破分兩步進(jìn)行：第一步推導(dǎo)平移后拋物線的解析式，第二步分類(lèi)討論菱形存在性，求解點(diǎn)E的坐標(biāo).

將拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，則將拋物線化為頂點(diǎn)式更為簡(jiǎn)單，即y=（x+2）2-5，則平移后的拋物線解析式為y=x2-5，點(diǎn)C為兩拋物線的交點(diǎn)，聯(lián)立可得點(diǎn)C（-1，-4）. 點(diǎn)D位于直線x=-2上，可設(shè)點(diǎn)D（-2，m），設(shè)點(diǎn)E（s，t）. 點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形存在兩種情形：BC為菱形的邊，BC為菱形的對(duì)角線，下面分別討論.

情形一：當(dāng)BC為菱形的邊時(shí)，根據(jù)平移關(guān)系可知：-2+1=s且m+3=t①，或者-2-1=s且m-3=t②;

當(dāng)點(diǎn)D位于點(diǎn)E的下方時(shí)，則有BE=BC，即s2+（t+1）2=12+32③，當(dāng)點(diǎn)D位于點(diǎn)E上方時(shí)，則有BD=BC，即22+（m+1）2=12+32④，聯(lián)合①和③可解得s=-1，t=2或-4（舍去-4），所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，2）;聯(lián)合②和④可解得s=-3，t=-4±，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-3，-4+）或（-3，-4-）.

情形二：當(dāng)BC為菱形的對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)公式可得-1=s-2且-4-1=m+t⑤，此時(shí)BD=BE，則22+（m+1）2=s2+（t+1）2⑥，聯(lián)合⑤和⑥可解得s=1，t=-3，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，-3）.

綜上可知，存在點(diǎn)E使以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（-1，2），（-3，-4+），（-3，-4-），（1，-3）.

解法拓展

本題目為典型的函數(shù)與幾何壓軸題，第（2）問(wèn)探究三角形面積的最大值，屬于面積問(wèn)題，采用了等面積轉(zhuǎn)化的方法，第（3）問(wèn)探究菱形是否存在，屬于存在性問(wèn)題，上述對(duì)菱形的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分類(lèi)討論，充分利用線段長(zhǎng)來(lái)構(gòu)建方程. 實(shí)際上，函數(shù)與幾何典型問(wèn)題具有多種解析方法，從不同的視角探究可獲得不同的解題思路，下面變換思路對(duì)后兩問(wèn)進(jìn)行拓展探究.

1. 構(gòu)建面積模型求面積最值

第（2）問(wèn)涉及動(dòng)點(diǎn)三角形，其特點(diǎn)為三角形的三邊均與坐標(biāo)軸不平行，為“不規(guī)則”圖形，則可采用鉛垂法構(gòu)建最值模型. 如圖3，過(guò)點(diǎn)C作y軸的平行線，與AB的交點(diǎn)設(shè)為D，再過(guò)點(diǎn)A和B分別作x軸的平行線和垂線，則△ABC的面積可視為是共底△CDA和△CDB的面積之和，其中CD為模型的“鉛垂高”，點(diǎn)A和B的水平距離為模型的“水平寬”，則對(duì)應(yīng)面積為S=S+S=·CD·x-x.

利用上述的“鉛垂模型”求第（2）問(wèn)△PAB的面積. 過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，設(shè)與AB的交點(diǎn)為M，如圖4所示. 則MF為模型的“鉛垂高”，點(diǎn)A和B的水平距離為水平寬. 點(diǎn)P位于拋物線上，可設(shè)其坐標(biāo)為（t，t2+4t-1），點(diǎn)A和B的水平距離為3，由點(diǎn)A和B的坐標(biāo)可求直線AB的解析式為y=x-1，則點(diǎn)M的坐標(biāo)可以表示為（t，t-1），可得PM的長(zhǎng)度PM=-t2-3t. 所以△PAB的面積S=·PM·x-x=×3×（-t2-3t）=-t+2+，分析可知，當(dāng)t=-時(shí)，S可取得最大值，即△PAB面積的最大值為.

拓展：“鉛垂模型”有兩種類(lèi)型，除了上述構(gòu)建方法外，還可以過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線作為“鉛垂高”，如圖5，則△ABC的面積可以視為是共底△CDB和△ADB的面積之和，該模型中有S=S+S=·DB·yC-y. 上述第（2）問(wèn)使用鉛垂法構(gòu)建模型時(shí)采用了類(lèi)型一，這是因?yàn)辄c(diǎn)A和B的坐標(biāo)已知，可直接獲得模型的水平寬，若采用類(lèi)型二則所構(gòu)模型較為復(fù)雜，會(huì)增加思維難度.

2. 利用畫(huà)圓定位確定菱形位置

菱形是特殊的幾何圖形，其特殊之處不僅表現(xiàn)在圖形為四邊相等的平行四邊形，菱形還是軸對(duì)稱(chēng)圖形，含有兩條相互垂直的對(duì)稱(chēng)軸，同時(shí)對(duì)稱(chēng)軸可將圖形分割為全等三角形. 在實(shí)際探究時(shí)可以其中一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以菱形邊長(zhǎng)為半徑，通過(guò)畫(huà)圓弧來(lái)確定其他未知頂點(diǎn)的位置.

以上述考題第（3）問(wèn)為例，只要以D、C、B構(gòu)成等腰三角形，則菱形一定存在.

對(duì)于情形一，BC為菱形的對(duì)角線，可直接構(gòu)建模型，如圖6，點(diǎn)G為菱形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，利用直線解析式以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出點(diǎn)E（1，-3）.

對(duì)于情形二，BC為菱形的邊長(zhǎng)，則可分別以點(diǎn)B和C為圓心，以BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧來(lái)構(gòu)建菱形.

①以點(diǎn)B為圓心，以BC長(zhǎng)為半徑作弧，與直線x=-2相交于兩點(diǎn)，可分別構(gòu)建菱形，同時(shí)點(diǎn)E可位于點(diǎn)D的下方，也可位于其上方.

當(dāng)點(diǎn)E位于點(diǎn)D的下方時(shí)，如圖7所示. 過(guò)點(diǎn)B作直線x=-2的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)H，在Rt△BDH中可解析出點(diǎn)D（-2，-1-），D可視為點(diǎn)B向左平移2個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位得到的，而點(diǎn)E相對(duì)于點(diǎn)C的平移過(guò)程是一致的，可知點(diǎn)E（-3，-4-）;

當(dāng)點(diǎn)E位于點(diǎn)D的上方時(shí)，如圖8所示. 其求法與上述求法一致，點(diǎn)E可視為點(diǎn)C向左平移2個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到的，即其坐標(biāo)為E（-3，-4+）;

②以點(diǎn)C為圓心，以BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，與直線x=-2又可得到兩個(gè)交點(diǎn)，如圖9所示. 過(guò)點(diǎn)C作直線x=-2的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)K，可求出DK=3，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，-1），利用平移法可得點(diǎn)E的坐標(biāo)分別為（-1，2）和（-2，-7），而點(diǎn)（-2，-7）恰好位于直線BC上，無(wú)法構(gòu)成菱形，需要舍去.

綜上可知，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E有四個(gè)，其坐標(biāo)分別為（-1，2），（-3，-4+），（-3，-4-），（1，-3）.

反思建議

函數(shù)與幾何問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的綜合性問(wèn)題，其解析思維和突破方法較為復(fù)雜，從解析視角來(lái)看可分為幾何解析和代數(shù)運(yùn)算推導(dǎo). 幾何解析側(cè)重圖形特性分析，關(guān)鍵點(diǎn)位置推導(dǎo)，在定位時(shí)利用代數(shù)運(yùn)算輔助思考，如利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求點(diǎn)，聯(lián)立曲線與直線方程求點(diǎn)等. 而代數(shù)運(yùn)算推導(dǎo)則側(cè)重構(gòu)建方程，輔助利用幾何特性，最為顯著的是勾股定理、等腰特性構(gòu)建方程，利用相似關(guān)系建立比例關(guān)系等.

開(kāi)展函數(shù)與幾何考題探究教學(xué)，需要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)梳理，關(guān)注函數(shù)與幾何的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，構(gòu)建完善的知識(shí)體系. 強(qiáng)化基本方法，包括求解析式的方法、面積模型的構(gòu)建技巧、等面積轉(zhuǎn)化方法等. 教學(xué)過(guò)程需注重思路講解，可采用設(shè)問(wèn)的方式引導(dǎo)學(xué)生思考，逐步進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 函數(shù)與幾何問(wèn)題的解法較多，探究過(guò)程可適度開(kāi)展一題多解，引導(dǎo)學(xué)生全面探究考題，認(rèn)識(shí)綜合性問(wèn)題的解析視角，拓展解題視野.