一種基于期望最大化的多目標(biāo)軌跡擬合算法

劉 禹，李 培,盛驥松

(中國船舶重工集團(tuán)公司第七二三研究所，江蘇 揚(yáng)州 225101)

0 引 言

在現(xiàn)代和未來戰(zhàn)爭中，隨著戰(zhàn)爭空間日益復(fù)雜化、目標(biāo)環(huán)境多樣化，為了更準(zhǔn)確地獲得打擊目標(biāo)，需要借助偵測信息對目標(biāo)軌跡進(jìn)行擬合。傳感器采集到的測量值，由于受到環(huán)境中噪聲等因素的影響，使得測量值存在一定的誤差，且現(xiàn)代雷達(dá)信號樣式繁雜，偵察設(shè)備難以精準(zhǔn)捕獲同一批次的完備信息，且同一目標(biāo)容易出現(xiàn)多批次問題，利用批次對目標(biāo)進(jìn)行軌跡擬合，容易造成軌跡分段、軌跡信息缺失等問題。鑒于此，本文提出一種宏觀進(jìn)行軌跡擬合的思路。本文將軌跡擬合拆分為2個(gè)主要階段，即：軌跡個(gè)數(shù)估計(jì)和軌跡擬合。本文將軌跡個(gè)數(shù)作為先驗(yàn)知識，重點(diǎn)研究軌跡擬合問題。

傳統(tǒng)軌跡擬合可分為3個(gè)類型：(1)現(xiàn)代智能類算法；(2)參數(shù)估計(jì)算法；(3)統(tǒng)計(jì)方法[1]。本文提出基于期望最大化(EM)的多目標(biāo)軌跡擬合算法，在傳統(tǒng)EM統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行理論遷移，實(shí)現(xiàn)多軌跡融合算法。本文主要分為4個(gè)部分：(1)對EM算法進(jìn)行介紹；(2)論述本文思路以及創(chuàng)新點(diǎn)；(3)針對不同算法進(jìn)行仿真分析；(4)全文總結(jié)。

1 EM算法

EM算法[2-6]解決的問題可表述為：給定輸入——觀測變量數(shù)據(jù)Y，隱變量數(shù)據(jù)Z聯(lián)合分布P(Y,Z|θ)，條件分布P(Z|Y,θ)；估計(jì)輸出——模型參數(shù)θ。對于輸入模型，利用最大似然準(zhǔn)則，可建立目標(biāo)函數(shù)：

(1)

對于上述優(yōu)化問題，若觀測變量完備，則準(zhǔn)則函數(shù)L(θ)可借助最大似然估計(jì)(MLE)準(zhǔn)則求解。但由于隱變量Z的存在，準(zhǔn)則函數(shù)沒有閉式解，一種思路是將P(Z|θ)看作已知，進(jìn)一步求解參數(shù)θ，如此反復(fù)迭代，最終完成求解。但如此求解存在2點(diǎn)不足：(1)MLE求解過程中，存在分子分母求和、積分項(xiàng)，反復(fù)迭代增加運(yùn)算復(fù)雜度；(2)不能確保該迭代操作滿足收斂條件。為了解決這兩點(diǎn)不足，A.P.Dempster提出了EM算法。首先，考慮第i次迭代后的準(zhǔn)則函數(shù)不小于原始準(zhǔn)則函數(shù)，根據(jù)JENSEN不等式：

(2)

省去對θ(i)的極大值而言是常數(shù)的項(xiàng)，由上式進(jìn)一步得出：

θ(i+1)=

(3)

EM算法具體步驟如下：

步驟1：選擇參數(shù)的初始值θ(0)，開始迭代；

步驟2：E步(求Q(θ,θ(i)))：記θ(i)為第i次迭代參數(shù)θ的估值，在第i+1次迭代的E步，計(jì)算：

Q(θ,θ(i))=EZ[lgP(Y,Z|θ)|Y,θ(i)]=

(4)

式中：P(Z|Y,θ(i))P(Z|Y,θ(i))是給定觀測數(shù)據(jù)Y和當(dāng)前參數(shù)估計(jì)θ(i)下隱變量Z的條件概率分布。

步驟3：M步(在隱變量條件概率密度給定的前提下，利用MLE實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計(jì))求使Q(θ,θ(i))最大化的θ，確定第i+1次迭代的參數(shù)的估計(jì)值θ(i+1)：

(5)

步驟4：重復(fù)步驟2、3，直到滿足收斂條件。

至此，完成了EM算法的整個(gè)推導(dǎo)過程。

2 多軌跡擬合算法

2.1 混合高斯模型

根據(jù)上文推導(dǎo)，對于混合高斯模型(GMM)，只要求解P(Zj∈Yk|Yj,Θ(i))即可。其中Zj∈Yk表示第j個(gè)觀測點(diǎn)來自第k個(gè)模型，Θ表示參數(shù)的集合。對于K個(gè)混合高斯模型，利用全概率公式，容易得到：

(6)

進(jìn)一步寫出準(zhǔn)則函數(shù)：

(7)

式中：θk=[μk,σk],為分布k對應(yīng)的參數(shù);Θ={θ1,θ2,…,θK},為參數(shù)集合;N為樣本個(gè)數(shù)。

(8)

偏微分求解：

(9)

得：

(10)

對各分布內(nèi)部參數(shù)θk進(jìn)行優(yōu)化，給出準(zhǔn)則函數(shù)：

(11)

對于高斯分布：

(12)

對參數(shù)求偏導(dǎo)：

(13)

(14)

至此完成了混合高斯模型的整個(gè)求解。

2.2 混合拉普拉斯模型

不同混合模型，參數(shù)形式不同，高斯模型因?yàn)槭桥即蝺缍子谇蠼?，對于奇次冪求?dǎo)存在符號函數(shù)，難以直接求導(dǎo)迭代，因此解決奇次冪求解的問題，將進(jìn)一步提升混合模型的普適性(不局限于高斯模型、拉普拉斯模型)。對于拉普拉斯分布：

(15)

式中:μ為均值；b為陡峭系數(shù)。

對于K個(gè)模型的混合分布：

(16)

E步驟與混合高斯模型求解相同，對于任意混合模型均適用。M步驟里系數(shù)的求解操作同樣適用各種模型，對于陡峭系數(shù)b求解：

(17)

對均值求解：

(18)

此時(shí)無法完成迭代求解，換個(gè)角度，在迭代的最終狀態(tài)，可以認(rèn)為i次參數(shù)與i+1次參數(shù)近似相等[8]，從而上面的求導(dǎo)結(jié)果轉(zhuǎn)化為：

(19)

從而完成均值的迭代:

(20)

至此完成奇次冪混合模型的參數(shù)求解。

2.3 混合線性模型

討論不同的分布，主要是考慮傳感器接收到的雷達(dá)信號存在的噪聲特性不同。上文已解決了大部分隨機(jī)平穩(wěn)噪聲場景的參數(shù)求解，不失一般性，假設(shè)傳感器接收到信號的噪聲為高斯噪聲。下面論述如何從基于EM的混合分布模型遷移到軌跡擬合算法。

對于單條軌跡，可以借助最大似然(MLE)等算法進(jìn)行軌跡擬合，但對于多條軌跡，該算法難以直接應(yīng)用。假設(shè)一堆數(shù)據(jù)點(diǎn)(xj,lj)，由2條直線軌跡產(chǎn)生：

(21)

式中：n1j、n2j分別為對應(yīng)的隨機(jī)噪聲。

雖然無法直接利用MLE求參，但不同軌跡的噪聲，可以看作是混合模型的應(yīng)用，對應(yīng)到這里就是混合高斯模型：

(22)

可以認(rèn)為lj-akxj就是GMM中的Yj，bk就是μk。直接套用GMM中的迭代結(jié)果：

(23)

(24)

所不同的是，多了一個(gè)對ak的求解，容易得出：

(25)

至此，理論推導(dǎo)完成。

上文以線性軌跡舉例，推導(dǎo)了線性多軌跡擬合的可行性。更一般地，噪聲模型可由高斯模型推廣至其他多種混合模型；對于線性軌跡，同樣可以推理到多種類型的軌跡模型。更一般地：

(26)

g為一般表達(dá)式，如GMM就是g=ax+b，更一般的g理論上可以為任意表達(dá)式,如圖1。

圖1 軌跡擬合示意圖

只要將g的具體表達(dá)式代入EM求解過程即可。事實(shí)上，混合模型理論上可以實(shí)現(xiàn)各類形狀的聚類，而噪聲同樣可以基于不同的分布假設(shè)：(1)常見的K-means本質(zhì)是對于中心點(diǎn)(聚類中心)的分布假設(shè)；(2)高斯混合模型是對于斜率為0的直線(GMM的均值)的分布假設(shè)；(3)各種軌跡的擬合是EM算法的一般應(yīng)用。

3 仿真試驗(yàn)

仿真環(huán)境：假設(shè)2批目標(biāo)在不同的線性軌跡上，且由于作用距離不同，2個(gè)軌跡的參數(shù)誤差不同，仿真基于式(26)所描述的軌跡模型，目標(biāo)數(shù)量K取2；噪聲為y(i)=0.5×x(i)-3+100×R和y(i)=-7×x(i)+2+50×R，是高斯白噪聲,其中R為隨機(jī)數(shù)。

利用本文提出的多軌跡擬合算法，仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 軌跡擬合結(jié)果

從圖2中可以看出，本文提出的多軌跡擬合算法很好地?cái)M合出了軌跡，仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文算法的有效性。

4 結(jié)束語

本文作為多軌跡融合算法的新的嘗試，跳出傳統(tǒng)單批次信息不足、多批次可能對應(yīng)同一目標(biāo)等局限性，從宏觀上論述了軌跡擬合理論的可行性，并進(jìn)行仿真驗(yàn)證。該算法可以作為傳統(tǒng)軌跡擬合的輔助信息，在整體上尋找軌跡將有利于目標(biāo)參數(shù)的進(jìn)一步深度融合。本文提出的軌跡擬合算法在應(yīng)用層面、理論層面都存在一定的不足，但作為該方向的一個(gè)初步的探索，解決了部分理論難題，并梳理出初步的理論架構(gòu)，仍然具有重要的借鑒意義。