王傳虎，邵文建，居 易

(中國船舶重工集團公司第七二三研究所，江蘇 揚州 225101)

0 引 言

線性調頻(LFM)信號作為使用最早也最常見的脈壓信號，能夠使雷達系統(tǒng)取得寬的時寬和帶寬，解決作用距離和距離分辨率之間的矛盾，目前被廣泛使用于雷達、電子對抗等領域[1-2]。LFM信號是一種頻率隨時間做線性變化的非平穩(wěn)信號，相對于單點頻脈沖信號，能夠給傳統(tǒng)電子對抗偵察接收機的檢測帶來困難。因此，現代電子對抗偵察系統(tǒng)對于線性調頻信號的研究非常有意義。

快速傅里葉變換(FFT)具有寬輸入帶寬、高頻率分辨率、大動態(tài)范圍和多信號并行處理能力，能夠實現偵察頻帶內信號的全概率截獲，成為頻譜分析最常用的算法。FFT變換的點數直接影響FFT變換的性能。

基于FFT變換算法原理，本文分析了針對LFM脈沖信號的FFT變換的最優(yōu)點數，為LFM脈沖信號的FFT頻譜分析提供了理論指導。

1 單點頻脈沖信號FFT變換

假設采樣信號序列為x(n)，對應N點FFT變換：

(1)

對于單點頻脈沖信號，假設信號峰值為A(當信號在脈寬范圍外時，A為0)，信號頻率為f，初始相位為φ，信號表達式為：

x(t)=Acos(2πft+φ)

(2)

假設信號經過模數變換器(ADC)采樣，不考慮ADC采樣產生的雜散、噪聲和量化誤差，并假設采樣率為S，且滿足香農采樣定律：S>2f，采樣后的信號表達式為：

(3)

(4)

其FFT變換為：

(5)

由于|ejφ|=1，由式(5)可知：

(6)

max(|X(k)|)≤AN

(7)

而在實際接收機設計中，由于受信號脈寬限制，FFT變換點數N需要折衷考慮。

設置仿真信號頻率為256 MHz，信號脈寬為50 μs，信號起始時間為500 μs，假設噪聲為高斯白噪聲，信號信噪比為0 dB與-10 dB，采樣率為1 024 MHz，仿真時間為1 024 μs，原始信號以及256點FFT和65 536點FFT變換結果如圖1與圖2所示。65 536點FFT信噪比增益顯著高于256點FFT。在信噪比較低的情況下，65 536點FFT明顯優(yōu)于256點FFT。

圖1 單點頻脈沖信號FFT仿真(信噪比0 dB)

圖2 單點頻脈沖信號FFT仿真(信噪比-10 dB)

2 LFM脈沖信號FFT變換

對于LFM脈沖信號，假設信號峰值為A(當信號在脈寬范圍外時，A為0)，信號起始頻率為f，調頻斜率為k，初始相位為φ，信號表達式為：

(8)

假設信號經過ADC采樣，不考慮ADC采樣產生的雜散、噪聲和量化誤差，假設采樣率為S，并假設采樣率滿足香農采樣定律S>2f，采樣后的信號表達式為：

(9)

(10)

其FFT為：

(11)

由于|ejφ|=1，由式(11)得：

(12)

max(|X(k)|)

(13)

設置仿真信號中心頻率為256 MHz，信號脈寬為50 μs，信號起始時間為500 μs，假設噪聲為高斯白噪聲，信號信噪比為0 dB，采樣率為1 024 MHz，仿真時間為1 024 μs，原始信號以及256點FFT、4 096點FFT和65 536點FFT變換結果如圖3以及圖4所示。其中圖3信號帶寬為10 MHz，調頻速率為0.2 MHz/μs，圖4信號帶寬為200 MHz，調頻速率為4 MHz/μs。在帶寬較窄、調頻速率較慢時，4 096點FFT的信噪比增益最優(yōu)，而帶寬較寬，調頻速率較快時，256點FFT的信噪比增益最優(yōu)。而65 536點FFT更多地體現了信號的頻譜帶寬特性。

如果對信號序列進行滑動FFT，較少點數的FFT同樣可以體現帶寬特性，如圖5以及圖6所示。圖5信號與圖3信號相同，圖6信號與圖4信號相同。

圖3 LFM脈沖信號FFT仿真(調頻速率0.2 MHz/μs)

圖4 LFM脈沖信號FFT仿真(調頻速率4 MHz/μs)

圖5 LFM脈沖信號滑動FFT仿真(調頻速率0.2 MHz/μs)

圖6 LFM脈沖信號滑動FFT仿真(調頻速率4 MHz/μs)

圖5中4 096點FFT頻譜分析特性最優(yōu)，而圖6中，256點FFT頻譜分析特性最優(yōu)，與圖3、圖4結果相一致。由此可見，點數較少的FFT能夠通過滑動的方法反映信號的頻譜特性，信號頻譜分析的優(yōu)劣主要取決于FFT處理信噪比增益。

3 LFM脈沖信號FFT變換最優(yōu)點數的研究

由上節(jié)分析，對于LFM脈沖信號，FFT處理增益并不會隨著FFT變換點數N的增加而持續(xù)增加，因此存在最佳FFT變換點數。而由上節(jié)仿真可得，信號帶寬和調頻速率影響FFT的效果。

假設噪聲為高斯白噪聲，所有頻率幅度相同。由于在FFT變換中，N為2的整冪次，假設FFT變換點數N擴大1倍，則單個點的帶寬縮小1倍，即減小3 dB，對于帶內信號，FFT變換幅度增益增加6 dB，因此當FFT變換點數N擴大1倍時，噪聲功率增加3 dB。

由此，如果FFT變換點數N擴大1倍，對信號增益優(yōu)于3 dB，則對信噪比增益有改善，否則，會惡化信噪比。

式(10)可以改寫為：

(14)

對于N點FFT：

(15)

由此：

(16)

(17)

(18)

因此：

(19)

由之前討論，2N點FFT相對于N點FFT對信號增益優(yōu)于3 dB，對信噪比增益有改善。因此最佳FFT點數N應該滿足：

(20)

結合式(19)，得到FFT最優(yōu)點數N須要滿足的條件：

(21)

由式(21)，FFT最優(yōu)點數N僅與采樣率S以及信號調頻速率k有關。

4 仿真實驗

選擇仿真信號中心頻率分別為105 MHz、256 MHz、405 MHz的信號，信號脈寬為50 μs，信號起始時間為500 μs，假設噪聲為高斯白噪聲，信號信噪比為0 dB，采樣率S為1 024 MHz，仿真時間為1 024 μs。

選擇與圖3相同的信號，信號帶寬為10 MHz，調頻速率k為0.2 MHz/μs。由于在FFT變換中，N為2的整冪次，僅有2 048和4 096滿足式(21)，因此最優(yōu)的FFT點數N為2 048或者4 096。原始信號以及相應點數FFT變換結果如圖7、圖8、圖9所示。

由圖7、圖8、圖9，最優(yōu)的FFT點數為4 096，滿足式(21)估計。

選擇與圖4相同的信號，信號帶寬為200 MHz，調頻速率k為4 MHz/μs。由于在FFT變換中，N為2的整冪次，僅有512和1 024滿足式(21)，因此最優(yōu)的FFT點數N為512或者1 024。原始信號以及相應點數FFT變換結果如圖10、圖11、圖12所示。

由圖10、圖11、圖12，最優(yōu)的FFT點數為1 024，滿足式(21)估計。

圖7 LFM脈沖信號FFT仿真(信號中心頻率105 MHz，調頻速率0.2 MHz/μs)

圖8 LFM脈沖信號FFT仿真(信號中心頻率256 MHz，調頻速率0.2 MHz/μs)

圖9 LFM脈沖信號FFT仿真(信號中心頻率405 MHz，調頻速率0.2 MHz/μs)

5 結束語

本文基于FFT變換算法原理，分析了FFT變換的點數對LFM脈沖信號頻譜分析的影響，并推導了對于特定LFM脈沖信號，FFT變換的最優(yōu)點數需要滿足的條件。該條件僅與采樣率以及信號調頻速率有關。本文隨后仿真驗證了該條件。本文為LFM脈沖信號的FFT頻譜分析提供了理論指導。

圖10 LFM脈沖信號FFT仿真(信號中心頻率105 MHz，調頻速率4 MHz/μs)

圖11 LFM脈沖信號FFT仿真(信號中心頻率256 MHz，調頻速率4 MHz/μs)

圖12 LFM脈沖信號FFT仿真(信號中心頻率405 MHz，調頻速率4 MHz/μs)