文科類院?！皵?shù)值計算”課程開展實踐

鄧小毛 廖子菊

摘要“數(shù)值計算”是一門研究用計算機程序解決數(shù)學物理問題的方法及其理論的課程，是計算數(shù)學方向重要的基礎入門課。本文針對文科類院校專業(yè)課程的設置特點，從教材教學內(nèi)容的選擇出發(fā)，融入課程相關研究領域的介紹、并找到合適的思政教育結(jié)合點，使學生更好地掌握相關算法的基本原理的同時，了解該課程在國內(nèi)業(yè)界的應用前景。此外通過與數(shù)學建模知識相結(jié)合，合理設置上機實驗，使學生具備一定的算法驗證及設計能力，以此切實提高學生運用數(shù)學方法解決實際問題的能力。

關鍵詞 數(shù)值計算 教學方法 教學實踐

中圖分類號：G424文獻標識碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2021.29.049

Practice of "Numerical computation" Course in Liberal Arts Colleges

DENG Xiaomao[1]， LIAO Ziju[2]

（[1]SchoolofMathematicsandStatistics，GuangdongUniversityofForeignStudies，Guangzhou，Guangdong510006；（[2]Department of Mathematics， Jinan University， Guangzhou， Guangdong 510632）

Abstract"Numerical computation" is a course that studies the methods and theories of solving mathematical and physics problemswithcomputerprograms.Itisanimportantandbasicintroductorycourseincomputationalmathematics.According tothecharacteristicsofmajorcoursesinliberalartscolleges，thiscoursestartsfromappropriateselectionofteachingmaterials and contents， then integrates introduction of relevant research fields， and finds some combination points of Ideological and Political Education， so that the students can better master the basic principles of relevant algorithms and understand the application prospect of the course in the domestic industry. In addition， by combining the knowledge of mathematical modeling and reasonably setting up computing experiments， students can obtain some algorithm verification and design ability and thus it can effectively improve their ability to solve practical problems by using mathematical methods.

KeywordsNumerical computation； teaching methods； teaching practice

文科類院?！皵?shù)值計算”課程是應用數(shù)學系學生的專業(yè)選修課，該課程包含了計算數(shù)學方向的專業(yè)課“數(shù)值線性代數(shù)”“數(shù)值逼近”“微分方程數(shù)值解”等課程的眾多經(jīng)典算法。由于算法繁多而雜，公式冗長難記，學生容易將此門課程作為一門數(shù)學工具類的課程對待，滿足于死記公式，而忽略掌握算法構(gòu)造的原理，更不用說設計新的數(shù)值算法。由于課時數(shù)有限，課程內(nèi)容難以講解透徹，上機實驗內(nèi)容也難以豐富，這對授課教師在課程的設計和安排上提出了更高的要求。就如中國科學院院士、計算數(shù)學專家袁亞湘所提出，大學數(shù)學除了介紹數(shù)學的重要成果、漂亮的方法和巧妙的技巧，更重要的是介紹數(shù)學的思想。[1]如何更好地傳授每個方法背后的數(shù)學思想，激發(fā)學生的學習興趣并引導學生主動思考是每位數(shù)學教師應該著力的方向。為此，一方面教師需要對課堂教學內(nèi)容精篩細選，保證算法講解部分自成體系，[2]另一方面需要合理設置上機實驗，使學生獲得一定的算法實踐能力。[3]筆者就以上兩個方面談自己的看法。

1教材內(nèi)容的選擇與取舍

在課堂教學內(nèi)容的選擇方面，首先對教學內(nèi)容應該進行模塊化分解。筆者選擇的是李慶揚《數(shù)值分析》第五版的教材，但是授課時不是采用教材的原有順序，而是將線性方程組的直接解法和迭代解法，非線性方程的求解等作為教學的第一部分，然后將插值法、函數(shù)逼近、數(shù)值積分與微分等內(nèi)容作為第二部分，最后將常微分方程數(shù)值解作為第三部分進行講解。通過教學內(nèi)容的合理安排，使得知識點之間的聯(lián)系更加緊密，有利于學生掌握和復習。

其次，每個重要的算法不乏相關的公式推導和定理證明，理解這些定理通常需要“線性代數(shù)”“高等數(shù)學”等課程的基礎，全部講解費時費力，故應適當選擇重要的定理進行證明。比如矩陣LU分解的原理需要反復運用初等矩陣的性質(zhì)，杜利特爾分解和平方根法均是基于該分解得到；拉格朗日插值的截斷誤差中反復使用羅爾中值定理的技巧，在牛頓插值、埃爾米特插值截斷誤差的證明中仍然需要用到；插值型數(shù)值積分公式對奇數(shù)個積分節(jié)點的代數(shù)精度會至少提高一階的結(jié)論需要用到對稱區(qū)間上奇函數(shù)的定積分性質(zhì)；牛頓法的局部平方階收斂性質(zhì)的證明，從而說明牛頓迭代法對初值有要求，只能選取在真解附近；定常迭代法收斂定理為雅克比迭代法、高斯-賽德爾迭代法和超松弛迭代法提供了通用的收斂判斷準則等，以上這些定理可詳細講解。對于一些儲備知識，如矩陣算子范數(shù)的推導、對稱正定矩陣的性質(zhì)等，都可以在拋磚引玉的前提下分解成小的證明題，留作為課后練習，避免課堂上過多的理論推導使學生感到枯燥，還能使學生通過動筆練習獲得更深的理解。高年級的學生完成作業(yè)的質(zhì)量和積極性比較高，但是課本習題通常比較少，可進行一定量習題的補充，且在逐年教學的過程中可形成一定的習題庫積累。

2教學實踐環(huán)節(jié)的設計與探索

數(shù)值計算課程關注的是將數(shù)學模型離散成計算機可求解的模型并且快速高效求解這個過程，通常省略了實際問題的分析到數(shù)學模型的建立這個過程。通過多搜集實際應用中數(shù)學建模的例子作為算法講解的引子，在每個算法講解模塊開始和結(jié)束時都設置一定比例的貼近學生生活及其所學專業(yè)的數(shù)學建模實例，[4]讓學生明白數(shù)值計算如何應用，從而激發(fā)學生的學習興趣。例如市場調(diào)查中用戶滿意度與產(chǎn)品質(zhì)量、外觀、價格等參數(shù)的關系分析中通常需要進行數(shù)據(jù)擬合，數(shù)據(jù)擬合常用的工具是最小二乘法，最小二乘法的實現(xiàn)通常需要求解法方程組，通過本課程正交多項式的構(gòu)造可以省去對該方程組的求解；根據(jù)不同深度的海水溫度數(shù)據(jù)，通過多項式插值可估計出其他深度處的水溫；在金融領域隱含波動率反映了投資者對標的資產(chǎn)未來波動率的預期，把期權實際價格及相關參數(shù)代入期權理論價格模型如布萊克-斯科爾斯公式，通過求解一個非線性方程可反演得到隱含波動率。此處非線性方程的求解需要用到二分法、不動點迭代、牛頓法等數(shù)值方法。

此外，教師應結(jié)合自身的研究方向，給學生傳達與本課程相關的最新科研進展和業(yè)界資訊。大三是學生思考未來就業(yè)及學業(yè)深造方向的重要學年，學生對所學知識的背景和應用也尤為感興趣。本課程作為計算數(shù)學方向的介紹性課程，應讓學生了解所學領域的發(fā)展趨勢和應用前景，同時通過介紹國內(nèi)該領域的發(fā)展，可自然地在課程中引入思政教育的內(nèi)容。[5]例如近十幾年來我國高速鐵路的蓬勃發(fā)展，極大方便了乘客出行，促進了地區(qū)間的經(jīng)濟文化交流，為中華民族偉大復興的中國夢貢獻了巨大的力量。經(jīng)過眾多的技術創(chuàng)新和系統(tǒng)優(yōu)化，中國現(xiàn)已成為世界高鐵技術領域的佼佼者。在高鐵動車組研發(fā)過程中，為減小列車高速前進時的空氣阻力，同時減弱會車、進出隧道時給乘客帶來的不適感，高鐵列車頭被設計成子彈頭的流線型，此設計是通過對列車高速前進以及會車、進出隧道時進行詳細的空氣動力學分析得到。而眾所周知氣動分析通常需要借助數(shù)值仿真技術來完成，從計算數(shù)學的角度就是需要數(shù)值求解三維的Navier-Stokes流體動力學方程，與本課程微分方程的數(shù)值求解算法聯(lián)系密切。此外，自2009年我國國防科技大學發(fā)布“天河一號”超級計算機，我國成為國際上第二個可以獨立研制千萬億次超級計算機的國家。隨后研發(fā)的“天河二號”“神威·太湖之光”“天河三號”等超級計算機均為大數(shù)據(jù)時代的應用提供了重要的硬件基礎。氣象學高精度數(shù)值天氣預報、制造業(yè)工業(yè)設計仿真、醫(yī)學圖像處理及診斷等領域中數(shù)值求解大規(guī)模線性及非線性方程組的需求均可由超級計算機來完成。而線性方程組的數(shù)值求解算法是本課程的重點學習內(nèi)容。通過以上兩個例子，可使學生深切體會到我國在科技領域日新月異的發(fā)展，增強民族自豪感和責任感，增強“四個自信”，有助于學生樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀。

3上機實驗題的合理設計及靈活的評分機制

在實驗設計方面，考慮到課時的限制，在每個模塊講解結(jié)束可設置上機實驗，讓學生完成實驗報告并提交程序。在每次上機實驗完成后，教師應仔細講解算法的程序，針對學生編寫算法過程中容易出現(xiàn)的程序語句過于煩瑣或者程序邏輯不通等問題，適當講授程序設計的基本原理，并從算法的存儲空間和計算速度等方面對算法進行評價，使學生對數(shù)值算法的計算效率有更加深刻的認識。如在編寫解線性方程組的平方根法、雅克比迭代法、高斯-賽德爾迭代法等算法時，由于MATLAB的矩陣向量運算非常方便，學生會隨意地生成矩陣和向量，造成了大量存儲空間的浪費。在設計數(shù)值實驗時，可添加如何使得計算量最小、計算空間最省等要求，使學生深入思考算法設計和實現(xiàn)的過程。

此外，實驗設計部分需要區(qū)分算法驗證題和算法設計題。第一種實驗是加深學生對于課堂所學經(jīng)典算法的理解；[6]如比較不同插值方法對同一組數(shù)據(jù)的插值效果；自己編程發(fā)現(xiàn)高次多項式插值的龍格現(xiàn)象的存在；比較不同迭代法的收斂速度和不同初值所獲得的解的精確度等。這類算法驗證的問題可訓練學生學會整理以及展示數(shù)值結(jié)果，更重要的是通過分析發(fā)現(xiàn)數(shù)值結(jié)果背后的規(guī)律，使之發(fā)現(xiàn)可能存在的問題，并思考可能的改進方法，由此過渡到新算法的設計，也即第二類題目算法設計題的要求。算法設計題還可與數(shù)學建模相結(jié)合，進一步加強學生實踐和創(chuàng)新能力。例如：結(jié)合新冠疫情傳播的現(xiàn)象介紹常見的傳染病數(shù)學模型如SI、SIR、SEIR模型等，設置相應的算法設計及應用題目。例如，在上學期的“數(shù)值計算”課程上，我們設置了關于SEIR模型的題目，其相應的常微分方程組如下：

其中S，E，I，R分別表示如下各類人群的數(shù)量：

（1） S類，易感者（Susceptible），指未得病者，但缺乏免疫能力，與感染者接觸后容易受到感染；

（2） E類，潛伏者（Exposed），指接觸過感染者，但暫無能力傳染給其他人的人，對潛伏期長的傳染病適用；

（3） I類，感病者（Infectious），指染上傳染病的人，可以傳播給S類成員，將其變?yōu)镋類或I類成員；

（2）請搜集某地區(qū)人口、新冠疫情感染人數(shù)等數(shù)據(jù)，測算傳染率，康復率等參數(shù)，并將數(shù)據(jù)代入上述模型，測算出與該數(shù)據(jù)最吻合的計算模型，對模型給出合理的解釋，并預測疫情的變化趨勢。

第一類算法實驗可讓學生獨立完成，鼓勵使用多種語言如MATLAB、C、C++、Python等進行程序的編寫，對于優(yōu)秀的實驗報告可以分享給學生共同學習；第二類算法實驗可以分組形式完成，[7]給予學生充分的時間準備，并在課程設計中預留出課堂時間用于各組實驗的PPT匯報，培養(yǎng)學生的協(xié)調(diào)合作能力和表達能力，教師對實驗中遇到的問題和匯報內(nèi)容的優(yōu)缺點應及時進行合理的點評。

最后，由于上機實驗是本課程必不可少的一環(huán)，為了讓學生提高利用計算機進行數(shù)值計算的能力，本課程的考核方式也應符合課程的實際情況，更加靈活。[8]比如適當提高實驗報告的成績比例到總成績的30%-40%，期末考試試卷中適當添加一些開放性的問題等。通過合理的教學內(nèi)容設計和上機實驗實踐，使學生從本課程中了解數(shù)值算法的設計原理和實現(xiàn)步驟，進而有助于了解現(xiàn)有數(shù)值計算軟件所集成的算法，并可從編程實踐中獲得解決實際問題的能力。

參考文獻

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[2]趙麗萍，柳炳詳.《數(shù)值計算方法》課程教學改革的建議[J].辦公自動化，2018（379）：41-42，60.

[3]閻少宏，劉春鳳，張煥成，等.基于MATLAB的數(shù)值計算方法課程教學研究[J].科技創(chuàng)新導報，2014（31）：131.

[4]張建華.應用型人才培養(yǎng)中數(shù)值計算方法課程教學改革與實踐[J].大學教育，2013（4）：51-52.

[5]李曉京，孫國輝，張超，等.以“習近平青年教育觀”引領高校思政工作進入新局面[J].教育教學論壇，2021（27）：1-4.

[6]郭跟成，徐美玉，楊春蕾.阿爾伯塔大學數(shù)值計算方法課程的啟示[J].現(xiàn)代計算機，2013（7）：30-33.

[7]金元峰，尹哲.“數(shù)值計算方法”課程教學改革探討[J].高教研究與實踐，2011（30）：57-59.

[8]朱立華.提高“自我效能”的“數(shù)值計算方法”課程形成性評價機制設計與實踐[J].科教導刊，2021（11）：124-126，130.