蔣守成

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)可在常規(guī)的教材知識點(diǎn)教學(xué)及單元復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，利用“主題創(chuàng)新活動”，引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用已有的知識、經(jīng)驗(yàn)，持續(xù)、深入地探究一些與數(shù)學(xué)知識、生活經(jīng)驗(yàn)密切聯(lián)系的，具有一定的復(fù)雜性和挑戰(zhàn)性的問題，從而豐富數(shù)學(xué)學(xué)科的育人資源，拓展數(shù)學(xué)學(xué)科的育人樣式，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值。在教學(xué)中，具體通過整合教材零散知識、拓展教材已有方法、選取數(shù)學(xué)經(jīng)典問題、發(fā)掘現(xiàn)實(shí)生活問題等途徑，找到合適的主題（問題），開展主題創(chuàng)新活動。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);主題創(chuàng)新活動;經(jīng)典問題;生活問題

數(shù)學(xué)教育說到底是為了學(xué)生的發(fā)展，即以育人為目的;即使是為了知識的掌握，最終也還是要指向?qū)W生，而不是直接指向知識本身。為此，我們在常規(guī)的教材知識點(diǎn)教學(xué)及單元復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，利用“主題創(chuàng)新活動”，豐富數(shù)學(xué)學(xué)科的育人資源，拓展數(shù)學(xué)學(xué)科的育人樣式，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值。所謂“主題創(chuàng)新活動”，是指綜合運(yùn)用已有的知識、經(jīng)驗(yàn)，持續(xù)、深入地探究一些與數(shù)學(xué)知識、生活經(jīng)驗(yàn)密切聯(lián)系的，具有一定的復(fù)雜性和挑戰(zhàn)性的問題，從而獲得自我見解，積累活動經(jīng)驗(yàn)，形成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)，發(fā)展“帶得走”的核心素養(yǎng)（比如：充滿好奇心，能敏銳地發(fā)現(xiàn)問題;有強(qiáng)烈的質(zhì)疑精神，敢于提出問題;有獨(dú)到的思維方式以及創(chuàng)新的思維習(xí)慣;有堅(jiān)持不懈的探究精神;等等）的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動。

找到合適的主題（問題），是開展“主題創(chuàng)新活動”的先決條件。在教學(xué)中，我們嘗試基于學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，激活“凝固”的教材內(nèi)容，尋找合適的主題（問題）。具體途徑如下：

一、整合教材零散知識

現(xiàn)行的各版本小學(xué)數(shù)學(xué)教材采取螺旋上升式安排，把相關(guān)的單元安排在不同的分冊中。同時(shí)，教材中的單元劃分是固定的，只能基于一個主題下知識（內(nèi)容）之間的關(guān)聯(lián)，而數(shù)學(xué)知識（內(nèi)容）之間的關(guān)聯(lián)是豐富多樣的，這就給了教師重新選擇主題劃分單元的巨大空間——華羅庚先生說過：“找另一條線索把舊的東西重新貫穿起來，這也是一種很好的學(xué)習(xí)方法?！币虼?，我們根據(jù)“另一條線索”關(guān)聯(lián)整合教材中的零散知識（內(nèi)容），形成一定的活動主題（探究問題），引導(dǎo)學(xué)生展開主題創(chuàng)新活動，探究知識的來龍去脈，明晰知識的聯(lián)系與區(qū)別，構(gòu)建清晰的知識體系，發(fā)展結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化思維。

例如，學(xué)習(xí)了小學(xué)數(shù)學(xué)中平面圖形面積計(jì)算的有關(guān)知識后，學(xué)生通常會形成由長方形（正方形）面積公式推導(dǎo)平行四邊形面積公式，再由平行四邊形面積公式推導(dǎo)三角形面積公式和梯形面積公式，最后由長方形面積公式推導(dǎo)圓面積公式的一種結(jié)構(gòu)化表達(dá)。這是教材編排體現(xiàn)出的知識結(jié)構(gòu)，但僅認(rèn)識到這種線性的、單向的結(jié)構(gòu)，顯然是不夠的。因此，我們設(shè)計(jì)了主題創(chuàng)新活動“平面圖形面積的再認(rèn)識”，幫助學(xué)生貫通平面圖形面積之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

教學(xué)中，教師提供素材引導(dǎo)學(xué)生分組研究發(fā)現(xiàn)，三角形還可以轉(zhuǎn)化成長方形（如圖1所示），梯形還可以轉(zhuǎn)化成長方形（如圖2所示），圓還可以近似轉(zhuǎn)化成三角形、梯形（如圖3所示）。由此，幫助學(xué)生建立平面圖形的面積計(jì)算之間更為廣泛的聯(lián)系，形成如圖4所示的結(jié)構(gòu)化表達(dá)。

再如，學(xué)習(xí)了小學(xué)數(shù)學(xué)中圓的有關(guān)知識后，學(xué)生對有關(guān)圓的問題正確率很高，但是對有關(guān)半圓的問題錯誤率居高不下。究其原因，是學(xué)生對半圓與圓的關(guān)系認(rèn)識不到位。對此，我們設(shè)計(jì)了主題創(chuàng)新活動“圓與扇形”，幫助學(xué)生貫通圓、半圓、扇形之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。這一活動分為以下四個環(huán)節(jié)：

1.教師請學(xué)生畫一個半徑為2厘米的半圓，說一說它有什么特征。得到：半圓是由一條直徑和半圓弧組成的圖形，是特殊的扇形，具有扇形所有的特征。

2.教師請學(xué)生求出自己畫的半圓的周長和面積，說一說求的方法，讓學(xué)生形成求半圓的周長、面積的一般方法，同時(shí)在比較中發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的區(qū)別。然后，引導(dǎo)學(xué)生拓展探究半個半圓（即四分之一圓）的周長和面積、八分之一圓的周長和面積、一般扇形的周長和面積。

3.教師引導(dǎo)學(xué)生研究長方形和其中最大半圓的關(guān)系：在一個長為a、寬為b的長方形中畫一個最大的半圓，半圓的周長和面積取決于長方形的長還是寬？得到如圖5所示的結(jié)果。

4.教師引導(dǎo)學(xué)生解決有關(guān)半圓形跑道、養(yǎng)雞場等的實(shí)際問題。

又如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級下冊《角的初步認(rèn)識》單元的一個《動手做》欄目要求學(xué)生用三角板拼直角、銳角和鈍角，三年級上冊《長方形和正方形》單元的一道練習(xí)題要求學(xué)生用三角板拼長方形和正方形，四年級上冊《垂線與平行線》單元的一個《動手做》欄目要求學(xué)生用三角板拼畫不同度數(shù)的角，六年級上冊《分?jǐn)?shù)除法》單元的一道練習(xí)題要求學(xué)生測量、計(jì)算三角板上30°角所對的直角邊和斜邊的比值。因此，我們設(shè)計(jì)了主題創(chuàng)新活動“探究三角板的奧秘”，將教材中零散的與三角板相關(guān)的問題統(tǒng)整起來，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角板如此設(shè)計(jì)的本質(zhì)原因，溝通角、邊、面積之間的內(nèi)在關(guān)系，加深對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的融合。

此外，還可以整合與生活現(xiàn)實(shí)密切相關(guān)的數(shù)學(xué)知識（問題），形成活動主題。例如，整合有關(guān)利息、納稅、促銷等的知識與問題，形成“理財(cái)中的數(shù)學(xué)”這一活動主題。

二、拓展教材已有方法

很多數(shù)學(xué)知識，如計(jì)算法則、公式等，具有方法性——能夠解決相應(yīng)的問題。在常規(guī)的教材知識點(diǎn)教學(xué)中，學(xué)生通常只會學(xué)習(xí)一些比較基本或現(xiàn)代常用的方法。然而，從問題解決（目標(biāo)）的角度看，方法應(yīng)該是多樣的并且往往蘊(yùn)含著相同的本質(zhì)。認(rèn)識并比較多樣的方法，有助于提升思維的靈活性和深刻性。因此，我們基于問題解決（目標(biāo)）拓展教材中的已有方法，形成一定的活動主題（探究問題），引導(dǎo)學(xué)生展開主題創(chuàng)新活動。

例如，學(xué)習(xí)了蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》單元后，學(xué)生提問：我們學(xué)習(xí)的乘法豎式是從低位乘起的，那么，乘法計(jì)算可以從高位乘起嗎？于是，我們設(shè)計(jì)了主題創(chuàng)新活動“乘法計(jì)算方法新探”，介紹了我國古老的算籌方法、我國明代的“鋪地錦”方法、15世紀(jì)意大利的“格子乘法”、古印度的從高位算起方法、我國臺灣的“視窗”方法等。這一活動打破了學(xué)生對乘法計(jì)算方法的固有認(rèn)知，讓學(xué)生經(jīng)歷從舉一反三到“舉三返一”的探索過程，既深刻體驗(yàn)乘法計(jì)算方法歷史演變的優(yōu)化過程（如圖6所示），又充分理解乘法計(jì)算方法歷史演變中不變的算理本質(zhì)（明確各部分計(jì)算結(jié)果的數(shù)位所在——計(jì)數(shù)單位）。由此，還引發(fā)了學(xué)生對加法、減法和除法計(jì)算方法的思考和探究，如：加、減法一定要從低位算起嗎？除法一定要從高位算起嗎？從而發(fā)現(xiàn)算法背后更為本質(zhì)的算理的價(jià)值，全面提升運(yùn)算能力。

又如，教學(xué)完“十進(jìn)制”后，我們設(shè)計(jì)了主題創(chuàng)新活動“數(shù)學(xué)中不同的進(jìn)制”，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識二進(jìn)制、五進(jìn)制、八進(jìn)制、十二進(jìn)制、六十進(jìn)制，讓學(xué)生明白一個數(shù)可以用不同的進(jìn)制系統(tǒng)來表示，雖然呈現(xiàn)的樣式不同，但是數(shù)的大小是不變的，不同的進(jìn)制各有一些優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，各有一些應(yīng)用。

三、選取數(shù)學(xué)經(jīng)典問題

數(shù)學(xué)經(jīng)典問題蘊(yùn)含著深厚的研究歷程以及數(shù)學(xué)思想方法，牽連著廣泛的應(yīng)用變化以及數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，因此，是非常有價(jià)值的探究主題?，F(xiàn)行的各版本小學(xué)數(shù)學(xué)教材通過《你知道嗎》《數(shù)學(xué)廣角》等欄目呈現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)經(jīng)典問題，如“哥德巴赫猜想”“楊輝三角”“鴿巢問題”“哥尼斯堡七橋問題”等。我們以此為基礎(chǔ)，并基于學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，選取更多的數(shù)學(xué)經(jīng)典問題。由此，重點(diǎn)針對小學(xué)高年級學(xué)生組織主題創(chuàng)新活動，引導(dǎo)他們經(jīng)歷和數(shù)學(xué)家相似的研究歷程，感受探索真理的艱辛，提升理性思維和批判性思維，培養(yǎng)獨(dú)立思考、自由探索的品質(zhì)。

例如，基于“哥尼斯堡七橋問題”，我們組織了主題創(chuàng)新活動，引導(dǎo)六年級學(xué)生經(jīng)歷和數(shù)學(xué)家歐拉相似的研究過程，將復(fù)雜的、有挑戰(zhàn)的生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題，即將七橋問題轉(zhuǎn)化成一筆畫問題來研究。具體的活動內(nèi)容如下：

提問：（出示圖10）這是當(dāng)年普萊格爾河的地圖，從任意一個河岸或島嶼出發(fā)，能否不重復(fù)地一次走遍這七座橋呢？請同學(xué)們拿出學(xué)習(xí)單1，用鉛筆嘗試著在圖中畫一畫，然后在小組中分享你的發(fā)現(xiàn)。

分享：不管怎么走，總有一座橋沒有走到;要保證全部走到，必須再架一座橋。

追問：再架一座橋，要架在哪里？這時(shí)，又該怎么走呢？請同學(xué)們拿出學(xué)習(xí)單2，用不同顏色的筆畫出增加的橋和行走的路線，并在小組內(nèi)交流。

交流：我們發(fā)現(xiàn)，雖然架橋的位置不同，但是都能不重復(fù)地一次走遍這八座橋。我們覺得，能否一次走遍所有的橋，可能和橋的數(shù)量有關(guān)。

簡化：隨著橋的數(shù)量的增加，畫圖解決就太復(fù)雜了，其實(shí)，能否走通和島的大小、岸的長短、橋的長短沒有關(guān)系。請同學(xué)們想辦法把七橋圖變得更簡單，從而更方便思考。小組合作畫出簡化圖。

匯報(bào)：（出示圖11）我們把七橋問題中的A、B、C、D四個區(qū)域不斷縮小，最后用4個點(diǎn)來表示，而圖中的七座橋用7條線來表示，這樣就把情境圖抽象成數(shù)學(xué)圖了。

評價(jià)：當(dāng)年歐拉也和同學(xué)們有著相同的想法，通過圖形簡化把能否不重復(fù)地一次走遍這些橋轉(zhuǎn)化成能否不重復(fù)地一筆畫出這個圖形。

四、發(fā)掘現(xiàn)實(shí)生活問題

數(shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用性?，F(xiàn)實(shí)生活中的很多問題，都蘊(yùn)含著或者要用到數(shù)學(xué)知識和方法。這樣的問題可以激發(fā)學(xué)生的研究興趣，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識以及社會責(zé)任感。因此，我們努力尋找學(xué)生能理解、能解決（至少是部分解決）的具有一定的復(fù)雜性和挑戰(zhàn)性的現(xiàn)實(shí)生活問題，如常見的“住房面積有多大？”“汽車牌照中的數(shù)學(xué)原理”等問題、熱點(diǎn)的“新冠肺炎疫情”“神舟飛船”等問題，設(shè)計(jì)主題創(chuàng)新活動，帶領(lǐng)學(xué)生走向更廣闊的數(shù)學(xué)世界，從數(shù)學(xué)的角度、用數(shù)學(xué)的知識和方法研究跨學(xué)科的現(xiàn)實(shí)生活問題。

例如，教學(xué)《圓環(huán)的面積》一課，學(xué)生對作為學(xué)具的膠帶紙表現(xiàn)出了濃厚的興趣，提出了“膠帶紙有多長？”的問題。我們便抓住這個問題，組織主題創(chuàng)新活動。對此，學(xué)生首先想到了最簡單的方法——將卷著的膠帶紙展開后直接測量長度（受測量工具限制，要分段測量后求和），并實(shí)際測量了一卷膠帶紙的長度，得到結(jié)果約為18.3米。對這一方法，教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到優(yōu)點(diǎn)是簡單準(zhǔn)確，缺點(diǎn)是浪費(fèi)膠帶紙，進(jìn)而思考：如何在不展開的情況下，知道一卷膠帶紙的長度？對這個問題，學(xué)生討論發(fā)現(xiàn)：展開的膠帶紙的側(cè)面可以看成長為膠帶紙長度、寬為膠帶紙厚度的長方形，卷著的膠帶紙的側(cè)面是一個圓環(huán)，因此，可以測量相關(guān)數(shù)據(jù)，通過圓環(huán)的面積等于長方形的面積算出膠帶紙的長度。于是，教師引導(dǎo)學(xué)生思考如何測量一層膠帶紙的厚度，得到先測量多層再除以層數(shù)的方法。由此，學(xué)生實(shí)際測量出圓環(huán)大圓的半徑約為2.3厘米，小圓的半徑約為1.7厘米，一層膠帶紙的厚度約為0004厘米，然后通過“大圓的面積-小圓的面積=膠帶紙的長度×膠帶紙的厚度”算出膠帶紙的長度約為18.84米。經(jīng)歷了方法優(yōu)化的過程，又有學(xué)生想到查找包裝袋上的信息，看看有沒有標(biāo)明膠帶紙的長度。實(shí)際查找中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“18 mm×20 yd×40 μm”的規(guī)格信息。經(jīng)過分析，學(xué)生得出：18 mm表示膠帶紙的寬度是18毫米，40 μm表示膠帶紙的厚度是40微米，20 yd表示膠帶紙的長度是20碼，即20×0.9144=18.288（米）。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生比較由各種方法得到的結(jié)果，說一說自己的發(fā)現(xiàn)。學(xué)生認(rèn)識到：測量總會存在誤差，我們要精益求精，減少誤差。在這一主題創(chuàng)新活動中，學(xué)生重點(diǎn)經(jīng)歷了通過數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析來解決實(shí)際問題的過程，提升了實(shí)踐創(chuàng)新能力。

再如，超市是學(xué)生在生活中常見、常去的地方，我們設(shè)計(jì)了主題創(chuàng)新活動“超市建在哪兒？”，引導(dǎo)六年級學(xué)生討論解決以下問題：

金壇區(qū)西城街道的碧桂園和新城金郡是兩個新開發(fā)的小區(qū)，中間相隔一條1200米長的街道?？紤]到周邊沒有一家超市，某連鎖超市的老板準(zhǔn)備在這條街道上建一家超市。如果你是老板，你打算把超市建在哪里？

在教師的引導(dǎo)下，經(jīng)過討論，學(xué)生形成以下觀點(diǎn)：

1.考慮距離因素，把超市建在街道的中點(diǎn)，到兩個小區(qū)的距離一樣。

2.考慮人口因素，哪個小區(qū)人多，超市就應(yīng)該向哪個小區(qū)靠近一點(diǎn)。

3.考慮消費(fèi)水平，哪個小區(qū)消費(fèi)水平高，超市就應(yīng)該向哪個小區(qū)靠近一點(diǎn)。

對此，教師讓學(xué)生分成三個小組，設(shè)計(jì)活動方案，通過訪問調(diào)查、查閱資料等方式了解情況、收集數(shù)據(jù)，來驗(yàn)證或說明自己的觀點(diǎn)。

在最后的匯報(bào)分享中，學(xué)生充分闡述了自己的見解。雖然對超市究竟建在哪兒，沒有形成統(tǒng)一的結(jié)論，但是，“真實(shí)的數(shù)據(jù)是決策的重要依據(jù)或參考”“越精準(zhǔn)、越有效的數(shù)據(jù)越有可能幫助我們形成科學(xué)、合理的決策”等觀念已經(jīng)在學(xué)生的心間悄悄播下了種子。

這里特別需要說明的是，通過上述四種途徑尋找合適的主題（問題）時(shí)，既可以以教師為主體，也可以以學(xué)生為主體。實(shí)際上，學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)和生活中總會產(chǎn)生一些教師預(yù)想不到甚至有些天馬行空的主題，而這些主題往往更加鮮活，更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)、探究的興趣。教師要敏銳地捕捉學(xué)生的想法，從而確定主題創(chuàng)新活動的內(nèi)容。比如，上述主題創(chuàng)新活動“乘法計(jì)算方法新探”和“膠帶紙有多長？”的主題（問題）便間接或直接地來自學(xué)生。

最后需要指出的是，在主題創(chuàng)新活動中，問題的探究對學(xué)生來說往往有一定的難度，因此，教師需要做到“三不”：不急于指導(dǎo)，而給予學(xué)生探究的空間;不過分追求效率，而重視學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的累積;不過分強(qiáng)調(diào)學(xué)生的收獲，而更多關(guān)注學(xué)生能否提出自己的見解、檢驗(yàn)自己的想法，能否嘗試綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法。

總之，通過12年的研究，“主題創(chuàng)新活動”已經(jīng)成為江蘇省數(shù)學(xué)主題拓展課程基地的一種鮮活教學(xué)樣態(tài)，連接了兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的當(dāng)下和未來。