馬冰冰， 胡宇達(dá)

(1.燕山大學(xué) 建筑工程與力學(xué)學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué) 河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

電磁場環(huán)境中圓型板及其組合結(jié)構(gòu)在工程實際中得到廣泛應(yīng)用，如：電機定子和轉(zhuǎn)子的鐵芯、電磁傳感器結(jié)構(gòu)件等，這些結(jié)構(gòu)在電磁場中的耦合振動問題是決定機電系統(tǒng)安全運行的主要因素，因此，研究磁場中鐵磁圓板的非線性振動問題既有理論意義，也可為工程實際中機電系統(tǒng)的動力學(xué)控制提供技術(shù)支持。并且在常磁場中，鐵磁圓板結(jié)構(gòu)受到靜載荷作用，從而具有初撓度，對圓板非線性振動產(chǎn)生一定影響。

板的非線性共振問題已得到很多學(xué)者的關(guān)注。在20世紀(jì)90年代，Okajima等[1]對懸臂矩形板的共振頻率與曲率和厚度變化的關(guān)系進(jìn)行了研究。Oh等[2]對兩種不同鋪設(shè)角度懸臂復(fù)合板的非線性組合共振問題進(jìn)行了實驗研究，發(fā)現(xiàn)兩種板的最大頻率差為6%。近年來，Du等[3]對均勻載荷作用下阻尼夾層圓板的非線性超諧共振進(jìn)行了研究，分析了解的穩(wěn)定性和奇異性。高原文等[4]分析了在周期時變磁場中簡支鐵磁梁式板的非線性磁彈性動力特性與混沌現(xiàn)象。Xue等[5]研究了電磁彈性薄板的非線性無阻尼強迫振動，并分析了不同參量對主共振間隔、彈簧剛度特性和振幅跳躍現(xiàn)象的影響。胡宇達(dá)等[6-9]在矩形板方面，研究了四邊簡支功能梯度板的主共振，磁場環(huán)境中導(dǎo)電薄板的亞諧共振問題；在圓板方面，研究了磁場中旋轉(zhuǎn)導(dǎo)電圓板的主共振與分岔問題以及超諧-組合共振問題。Chen等[10]研究了不同尺寸夾層板的固有頻率，并討論了其內(nèi)共振特性。

近20年來，研究者們越來越關(guān)注靜載荷下板結(jié)構(gòu)的振動與屈曲問題。Yamaki等[11]同時考慮了初始撓度和初始邊緣位移的影響，對均布橫向載荷作用下夾層圓板的軸對稱非線性振動進(jìn)行了理論分析。Wang等[12]給出了靜載荷下圓板的微分方程，得到了初撓度圓板非線性振動的周期解，并討論了初始撓度對柔性板動力特性的影響。Du等[13]研究了均布荷載和周邊荷載作用下夾層圓板的非線性振動,并用改進(jìn)的迭代法求解振幅-頻率-載荷特性關(guān)系，分析了兩種載荷對夾層圓板振動特性的影響。同時，有些學(xué)者考慮了多場耦合的影響。王永崗等[14]研究了靜態(tài)溫度場中具有初撓度的雙層金屬薄板在周期時變橫向載荷作用下的混沌運動。Hu等[15-16]研究了在靜磁場作用下導(dǎo)電旋轉(zhuǎn)圓板的非線性自由振動和主共振問題，分析了頻率和振幅與靜載、磁感應(yīng)強度、轉(zhuǎn)速等參數(shù)之間的關(guān)系。徐學(xué)平等[17]分析了偏心轉(zhuǎn)子不計靜載荷時和考慮靜載荷時對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動特性的影響。另外，有一些學(xué)者對靜載荷作用下板的屈曲問題進(jìn)行了研究。王德禹[18]分析了受面內(nèi)靜載荷作用的矩形板在沖擊載荷作用下產(chǎn)生的沖擊屈曲，分析了靜載荷、沖擊載荷速度及初始撓度對板的屈曲特性的影響。Babich等[19]研究了預(yù)應(yīng)力半空間板在靜載作用下的初應(yīng)力對彎矩的影響。

處于橫向常磁場中鐵磁圓板受到的磁體力為靜載荷，靜載荷下圓板產(chǎn)生的初撓度對系統(tǒng)振動產(chǎn)生影響。本文研究常磁場中鐵磁圓板的主共振問題，得到圓板初撓度和擾動微分方程，利用多尺度法求解得出穩(wěn)態(tài)運動下的幅頻響應(yīng)方程，并通過算例分析不同電磁參量對共振振幅的影響。

1 圓板磁彈性振動方程

1.1 圓板動能和勢能

考慮處于外加法向磁場(Hn1為上表面磁場、Hn2為下表面磁場)中的各向同性鐵磁圓板，在周邊夾支的邊界條件下，受到橫向載荷Pz的作用。如圖1所示，在圓板上建立柱坐標(biāo)系(r,θ,z)。其中，r、θ、z分別為徑向、環(huán)向、法向坐標(biāo)；圓板厚度為h；半徑為R；質(zhì)量密度為ρ。

圖1 磁場中鐵磁圓板的力學(xué)模型

忽略面內(nèi)位移情況下，設(shè)磁場中鐵磁圓板板內(nèi)任意一點的變形位移分量的表達(dá)式為

(1)

系統(tǒng)動能表達(dá)式

(2)

圓板彎曲形變勢能表達(dá)式

(3)

圓板中面應(yīng)變勢能表達(dá)式

(4)

1.2 電磁力

根據(jù)磁彈性相互作用的理論模型[20]，得到磁場中鐵磁圓板受到的磁體力

式中:Hn為圓板表面法線方向磁場強度;μ0為真空中的磁導(dǎo)率;μr為相對磁導(dǎo)率;χm為材料的磁化率，χm=μr-1。

運動圓板內(nèi)部產(chǎn)生渦電流效應(yīng)，依據(jù)電磁理論，運動物體所受洛倫茲力表達(dá)式為

f(fr,fθ,fz)=J×B

(6)

式中:J為忽略電場強度時的電流密度矢量，J=σ0(V×B);B為磁感應(yīng)強度矢量，B=μ0μrH;σ0為電導(dǎo)率。

對式(6)沿板厚方向積分，可得電磁力矩為

(7)

(8)

橫向磁場中，鐵磁圓板受到的電磁力所做虛功表達(dá)式為

(9)

1.3 磁彈性振動方程

運用哈密頓變分原理得到

(10)

式中，δUP為橫向激勵力Pz所做虛功。

將式(2)～(4)、(9)代入式(10)中，且只考慮橫向位移情況時，推得鐵磁圓板的橫向磁彈性振動方程為

(11)

式中，Nr、Nθ、Nrθ為中面內(nèi)力。

2 靜載荷作用下圓板擾動微分方程

當(dāng)鐵磁圓板處于常磁場中時，即當(dāng)Hn1和Hn2為恒定值時，由式(5)可得受到的磁體力為靜載荷，即：

Fz=Q

(12)

并考慮軸對稱情況，橫向磁場中鐵磁圓板的非線性振動方程可寫為

設(shè)圓板在靜載荷下產(chǎn)生微小靜撓度w0，強迫振動撓度w1，總撓度為

w=w0+w1

則式(13)可以改寫為

初始撓度滿足

(15)

設(shè)滿足周邊夾支邊界條件的位移函數(shù)為

(16)

對式(15)進(jìn)行伽遼金積分并化簡得到初撓度方程

(17)

其中，

求解得到：

(18)

設(shè)位移函數(shù)為

(19)

將式(15)代入到式(14)中，并進(jìn)行伽遼金積分，得到擾動微分方程

B1q″+B2q′+B3q+B4q2+B5q3=B6Pz

(20)

3 多尺度法求解主共振問題

設(shè)激勵力為Pz=P0cos(ωt)，對式(20)進(jìn)行量綱歸一化處理，考慮系統(tǒng)的弱非線性問題，引入小參數(shù)ε，得到

(21)

接下來應(yīng)用多尺度法對具有初撓度擾動的系統(tǒng)主共振問題進(jìn)行求解，分別考慮一階近似求解和二階近似求解兩種情況。

3.1 一階近似

取一階近似解

(22)

其中，T0=τ，T1=ετ。

將式(22)代入式(21)中，令的ε0、ε1項系數(shù)相等，可得：

(23)

(24)

式(23)的通解為

(25)

(26)

(27)

令a′=γ′=0，得到穩(wěn)態(tài)運動下常磁場中鐵磁圓板主共振幅頻響應(yīng)方程

(28)

3.2 二階近似

取二階近似解

ε2q2(T0,T1,T2)

(29)

其中，T0=τ，T1=ετ，T2=ε2τ。

將式(29)代入式(21)中，并分別令ε的零次、一次、二次項系數(shù)相等，可得各階近似線性偏微分方程組

(30)

(31)

(32)

式(30)的通解為

(33)

代入式(31)

(34)

式中,cc為各等式右側(cè)各項共軛復(fù)數(shù)項之和。

消除久期項可得

(35)

式(35)代入式(34)，求解可得式(34)的特解為

(36)

將q0，q1代入式(32)中，并消除久期項

(37)

(38)

4 數(shù)值分析

針對橫向交變磁場中受到橫向簡諧激勵力作用的軟鐵磁馬氏體鋼制圓薄板進(jìn)行數(shù)值分析。尺寸參數(shù)為：R=0.3 m，h=0.005 m(圖2(a)和圖3(a)除外)，物理參數(shù)取值如表1。

表1 圓薄板物理參數(shù)[21]

圖2和圖3分別繪制了一階近似和二階近似求解方法下鐵磁圓板的幅頻特性曲線圖。曲線表明，振幅在共振區(qū)域(εσ≈0附近)顯著增加，曲線存在向右偏移現(xiàn)象，呈現(xiàn)硬彈簧特性。且隨著調(diào)諧值由負(fù)數(shù)逐漸增加為正數(shù)時，共振幅值由單值解變?yōu)槎嘀到?。由圖2(a)和圖3(a)可看出，隨著板厚增加，共振區(qū)域逐漸變窄，且當(dāng)下表面磁場強度為100 A/m時，一階近似與二階近似解得的振幅十分相近，但圖3(a)中的曲線振幅稍大。由圖2(b)和圖3(b)可看出，磁場強度較小時圖2(b)中的曲線沒有變化，而圖3(b)中曲線隨著磁場強度增大，曲線向右偏移的角度變小，有向左偏移的趨勢。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因可見式(28)和式(38)，二次非線性項系數(shù)中含有靜載荷項，利用一階近似多尺度法求解時，幅頻響應(yīng)方程中不體現(xiàn)二次項，常磁場僅影響阻尼項和固有頻率，因此磁場較小時共振曲線無變化；而二階近似求解時，隨著磁場強度增加，二次項系數(shù)增大，其非線性增大，因此曲線逐漸向左偏移。圖2(c)和圖3(c)中曲線表明，隨著激勵力幅值增大，共振區(qū)域逐漸拓寬，上支曲線和下支下半部分振幅增大，下支上半部分曲線振幅減小。

圖2 一階近似幅頻特性曲線圖

圖3 二階近似幅頻特性曲線圖

圖4和圖5分別繪制了一階近似和二階近似求解下的振幅-磁場強度特性曲線圖。由各圖中的曲線可以看出，振幅-磁場強度特性曲線關(guān)于磁場強度Hn2=0 A/m呈左右對稱形式，且在磁場強度較小時便激發(fā)了共振，振幅較大。由圖4看出，當(dāng)調(diào)諧值較小或激勵力幅值較大時，曲線為單值解；隨著調(diào)諧值增加或激勵力幅值減小，兩腰側(cè)曲線開始內(nèi)縮，存在多值解，直至最后分離形成上部分封閉曲線。圖5曲線呈牛角狀，當(dāng)調(diào)諧值較小、激勵力幅值較大時曲線兩腰向內(nèi)微收，隨著調(diào)諧值增加、激勵力幅值減小，兩腰側(cè)曲線內(nèi)縮更加明顯，最后兩部分曲線分離形成上部分封閉曲線，存在3個解。

通過對比圖4和圖5發(fā)現(xiàn)，當(dāng)磁場強度較小時一階與二階近似共振振幅大小相近，而當(dāng)磁場強度增加到250 A/m時，二階近似振幅急劇減小，但由于一階近似求解時不體現(xiàn)含有常磁場靜載的二次非線性項，因此一階近似振幅在Hn2=12 000 A/m左右時才急劇減小。綜上所述，磁場強度較小時一階近似與二階近似計算結(jié)果相近，而磁場強度較大時，二階近似計算結(jié)果更加準(zhǔn)確。

圖6和圖7給出的是不同調(diào)諧值與不同磁場強度下一階近似和二階近似振幅-激勵力幅值特性曲線圖。

圖4 一階近似振幅-磁場強度特性曲線圖

圖5 二階近似振幅-磁場強度特性曲線圖

圖6 一階近似振幅-激勵力幅值特性曲線圖

圖7 二階近似振幅-激勵力幅值特性曲線圖

圖中曲線表明，當(dāng)激勵力幅值較小時便可以激發(fā)系統(tǒng)的主共振現(xiàn)象，且出現(xiàn)多值解，之后振幅隨著激勵力幅值的增大由多值解變?yōu)閱沃到猓覇沃到饩徛黾?。曲線向左偏移，呈現(xiàn)軟彈簧特性。

比較圖6(a)和圖7(a)看出，在Hn2=200 A/m時，圖7(a)共振幅值大于圖6(a)的共振幅值，隨著調(diào)諧參數(shù)增大，上支曲線與下支上半部分曲線共振振幅增大，而下支下半部分曲線振幅減小。由圖6(b)和圖7(b)相比較可看出，圖6(b)中在磁場強度數(shù)值較小時，曲線沒有變化；圖7(b)中上支曲線與下支上半部分曲線共振振幅隨著磁場強度的增加而增加。

圖8和圖9通過提取共振曲線出現(xiàn)多值解的臨界點繪制了分岔點變化圖。其中：圖8(a)和圖9(a)分別提取了圖2(a)和圖3(a)中的多值解臨界點，繪制出板厚-調(diào)諧參數(shù)的共振分岔點變化曲線，曲線呈向右下凹形非線性變化，隨著板厚的減小，相應(yīng)的調(diào)諧值增大而出現(xiàn)共振分岔現(xiàn)象；圖8(b)和圖9(b)分別提取了圖6(b)和圖7(b)中的多值解臨界點，繪制出磁場強度-激勵力幅值的共振分岔點變化曲線，曲線呈向右上非線性變化趨勢，隨著磁場強度的增大，相應(yīng)的激勵力幅值增大而出現(xiàn)共振分岔現(xiàn)象，且在激勵力幅值較小時，曲線斜率非常大；圖8(c)和圖9(c)分別提取了圖4(a)和圖5(a)中的多值解臨界點，繪制出磁場強度-調(diào)諧值的共振分岔點變化曲線，曲線呈向右下拱形非線性變化走勢，隨著磁場強度的減小，相應(yīng)的調(diào)諧值增大而出現(xiàn)共振分岔現(xiàn)象。

圖8 一階近似求解分岔點

圖9 二階近似求解分岔點

圖10和圖11繪制了兩種求解方法下的不同參量三維曲線變化圖。由圖10(a)和圖11(a)看出，振幅隨調(diào)諧值變化時，在共振區(qū)域振幅增加，且存在跳躍性，激勵力幅值變大時共振曲線整體走勢不變但共振區(qū)域拓寬。由圖10(b)可看出，一階近似下共振曲線在磁場強度較小時為分離的上下兩支曲線，當(dāng)磁場強度增大后，共振曲線變成一條曲線且最大振幅減小。由圖11(b)可看出，在二階近似下，共振曲線隨著磁場強度的增加，逐漸向另一側(cè)偏移，系統(tǒng)由硬彈簧特性變成軟彈簧特性。由圖10(c)和圖11(c)中三維曲線發(fā)現(xiàn)，激勵力幅值較小時，振幅-磁場強度曲線為封閉曲線與平滑曲線兩部分，隨著激勵力幅值增長，兩部分曲線逐漸靠近，最后合并成一條曲線。

圖10 一階近似求解主共振三維圖

圖11 二階近似求解主共振三維圖

5 結(jié) 論

通過研究常磁場引起的靜載荷下鐵磁圓板的主共振問題，求解出了鐵磁圓板在靜載荷下產(chǎn)生的初撓度，并應(yīng)用多尺度法，得到一階與二階近似求解下的幅頻響應(yīng)方程。

通過算例分析，得到以下結(jié)論：

(1) 當(dāng)激勵力頻率約等于圓板固有頻率時，系統(tǒng)會在初撓度的基礎(chǔ)上發(fā)生主共振現(xiàn)象。當(dāng)系統(tǒng)產(chǎn)生主共振時，振幅在共振區(qū)域明顯增加，且板厚、磁場強度、激勵力等參量對共振振幅產(chǎn)生顯著影響。

(2) 利用一階近似多尺度法求解時，含有常磁場靜載的二次非線性項在幅頻方程中不體現(xiàn)，當(dāng)磁場強度較小時，一階近似與二階近似求解得到的振幅相近，而磁場強度較大時，二階近似求解更為準(zhǔn)確。