肖慧 虞秀云

[摘? 要] 基于學(xué)生學(xué)習(xí)路徑分析的基本框架，從理解學(xué)習(xí)目標(biāo)、確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)、分析學(xué)習(xí)路徑、設(shè)計(jì)并實(shí)施教學(xué)任務(wù)這四個(gè)步驟對“圓的面積”一課進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，從學(xué)生多元的學(xué)習(xí)路徑出發(fā)設(shè)計(jì)適切多樣的教學(xué)路徑，旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的個(gè)性化，使不同學(xué)習(xí)路徑的學(xué)生得到最優(yōu)發(fā)展。

[關(guān)鍵詞] 學(xué)習(xí)路徑分析;圓的面積;以學(xué)定教

學(xué)習(xí)路徑，是指學(xué)習(xí)者為達(dá)到學(xué)習(xí)目標(biāo)所進(jìn)行的一系列學(xué)習(xí)活動(dòng)的過程。學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)、學(xué)生的思維過程以及學(xué)生對知識的表征方式是構(gòu)成對學(xué)生學(xué)習(xí)路徑分析的三個(gè)主要方面 [1]。基于學(xué)生學(xué)習(xí)路徑分析的數(shù)學(xué)教學(xué)則包括以下四個(gè)步驟：理解學(xué)習(xí)目標(biāo)、確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)、分析學(xué)習(xí)路徑、設(shè)計(jì)并實(shí)施教學(xué)任務(wù) [2]。本文將結(jié)合這四個(gè)步驟，基于學(xué)習(xí)路徑分析設(shè)計(jì)圓的面積教學(xué)，就如何充分理解學(xué)生，實(shí)施有效教學(xué)做進(jìn)一步探究。

“圓的面積”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊的內(nèi)容，是學(xué)生所接觸的第一種曲線圖形的面積計(jì)算。它作為小學(xué)“圖形與幾何”內(nèi)容的重要組成部分，是平面圖形測量中由直線圖形向曲線圖形過渡的關(guān)鍵點(diǎn)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對該內(nèi)容的要求是“探索并掌握圓的面積公式，并能解決簡單的實(shí)際問題”。根據(jù)課標(biāo)的要求，學(xué)生既要經(jīng)歷圓面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，掌握圓的面積計(jì)算公式，又要能夠靈活運(yùn)用其解決實(shí)際問題。

一、理解學(xué)習(xí)目標(biāo)

北師大版、人教版、浙教版以及蘇教版教材中關(guān)于“圓的面積”計(jì)算都采用了“分割—拼合”法，即將圓等分成若干個(gè)小扇形，再將其拼合成近似的長方形，進(jìn)而根據(jù)長方形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式。由于前面學(xué)習(xí)過平行四邊形、三角形、梯形等平面圖形的面積，積累了大量利用數(shù)方格和“分割—拼合”法研究直線圖形面積的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生較容易想到運(yùn)用這兩種方法求解。但方格法操作麻煩，誤差較大，利用“分割—拼合”法轉(zhuǎn)化成學(xué)習(xí)過的平面圖形則是較為精確求解圓面積的主要方法。公式推導(dǎo)的過程中涉及轉(zhuǎn)化和極限的數(shù)學(xué)思想，考慮到學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)和思維特點(diǎn)，對極限思想的理解將是本節(jié)課的一大學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

因此，為了幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，真正理解“圓的面積”這一內(nèi)容，現(xiàn)將學(xué)習(xí)目標(biāo)分解為以下幾點(diǎn)：

1. 正確理解圓的面積的概念;

2. 把圓分割、拼合成學(xué)過的平面圖形，體會(huì)轉(zhuǎn)化后的圖形與圓之間的關(guān)系，積累研究圖形面積的經(jīng)驗(yàn);

3. 經(jīng)歷操作、觀察、分析、想象等活動(dòng)，推理歸納出圓的面積計(jì)算公式，體會(huì)化歸和極限思想，感受圖形間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化;

4. 理解圓的面積計(jì)算公式，能正確計(jì)算圓的面積，解決實(shí)際問題。

二、確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)

準(zhǔn)確了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)是進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的前提和依據(jù) [2]。確定學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)起點(diǎn)可以通過學(xué)生訪談、進(jìn)行相應(yīng)的課前測試、依據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)或者已有研究等途徑來實(shí)現(xiàn)。關(guān)于“圓的面積”這一內(nèi)容，通過對已有文獻(xiàn)進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生研究圓的面積主要采用數(shù)方格、與外切或內(nèi)接正方形進(jìn)行比較、分割成原來學(xué)過的圖形或者均分為小扇形等方法，以及部分學(xué)生沒有深刻理解面積的定義，容易將圓的周長與面積的概念混淆;少數(shù)學(xué)生在第一次接觸曲線圖形的面積計(jì)算時(shí)沒有任何思路，存在學(xué)習(xí)困難;知道圓的面積計(jì)算公式的學(xué)生中大部分不清楚公式的推導(dǎo)過程，不理解公式的實(shí)質(zhì)意義等。

對這些問題進(jìn)行分析，了解學(xué)生存在的學(xué)習(xí)困難，找準(zhǔn)學(xué)生在學(xué)習(xí)圓的面積時(shí)的認(rèn)知起點(diǎn)，確定真實(shí)的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，進(jìn)而幫助學(xué)生逐步完成知識的建構(gòu)。

三、分析學(xué)習(xí)路徑

為了實(shí)現(xiàn)圓面積推導(dǎo)方法的多樣化，將提供方格圖以及不同等分的圓形學(xué)具，讓學(xué)生在動(dòng)手操作中積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)轉(zhuǎn)化和極限的數(shù)學(xué)思想。根據(jù)對學(xué)習(xí)目標(biāo)的理解以及學(xué)習(xí)起點(diǎn)的分析，確定了以下的學(xué)習(xí)路徑：（1）動(dòng)手操作，自主探索圓的面積;（2）結(jié)合同伴的求解方法，通過對比判斷尋求研究思路;（3）借助直觀演示，分析想象，體會(huì)轉(zhuǎn)化和極限的數(shù)學(xué)思想，推導(dǎo)圓面積的計(jì)算公式;（4）溝通不同角度的面積推導(dǎo)公式之間的聯(lián)系，理解圓的面積公式的本質(zhì)。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1. 問題情境引領(lǐng)學(xué)生探究新知

活動(dòng)1：給出問題情境，提出研究問題。

問題情境：（課件呈現(xiàn)）李大叔打算新建一個(gè)半徑為15m的圓形牛欄，想要沿牛欄邊沿打上木樁，里面種植牧草。如果每隔2m打一根木樁，大約要打多少根木樁？每平方牧草10元，植草需要花費(fèi)多少錢？

提示學(xué)生思考：要求木樁的數(shù)量，需要先知道什么？計(jì)算公式是什么？要求植草花費(fèi)的金額，需要先求什么？

【設(shè)計(jì)意圖】 創(chuàng)設(shè)真實(shí)問題情境，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)舊知，厘清圓周長和面積的概念，激發(fā)學(xué)生的求知欲，并提出接下來所要研究的問題。

2. 經(jīng)驗(yàn)激活階段思考研究方法

活動(dòng)2：引導(dǎo)學(xué)生思考研究圓的面積的方法。

問題1：前面我們學(xué)習(xí)過哪些平面圖形的面積，推導(dǎo)面積計(jì)算公式的過程中用到了哪些方法？

問題2：你打算用什么方法來研究圓的面積？

【設(shè)計(jì)意圖】 溝通新舊知識之間的聯(lián)系，激活學(xué)生已有的關(guān)于直線圖形面積計(jì)算的知識經(jīng)驗(yàn)，促成遷移，進(jìn)而幫助學(xué)生在自己經(jīng)驗(yàn)范圍內(nèi)找到研究曲線圖形面積的可能方法。

3. 問題串引領(lǐng)思維縱深發(fā)展

活動(dòng)3：通過問題串的引導(dǎo)，增進(jìn)新知。

學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，自主探究（教師巡視指導(dǎo)，先挑選幾份選用方格法的學(xué)生作品）。

教師展示學(xué)生作品（如圖1），并讓學(xué)生匯報(bào)自己的思路。

問題3：他們是用什么方法來求解的？

問題4：你認(rèn)為以上哪個(gè)會(huì)更接近圓的面積？為什么？

問題5：如果想要更準(zhǔn)確地計(jì)算圓的面積，該怎么辦？

我們發(fā)現(xiàn)利用數(shù)方格的方法，可以把一個(gè)個(gè)面積單位累加起來計(jì)算圓的面積，方格分得越小，估計(jì)值就會(huì)越接近圓的面積。

【設(shè)計(jì)意圖】先從學(xué)生最容易想到的數(shù)方格法入手，通過對比判斷哪種做法會(huì)更接近圓的面積來滲透極限思想，讓學(xué)生在動(dòng)手操作和思考分析中體會(huì)該方法的局限性，為之后探索更科學(xué)、合理的計(jì)算方法打下基礎(chǔ)。

教師繼續(xù)展示學(xué)生作品（如圖2），讓學(xué)生匯報(bào)自己的思路。

問題6：這些方法之間有什么共同之處？這一做法好在哪？

針對第一種拼法，教師選取將圓8等分以及16等分拼成的圖形進(jìn)行展示，引導(dǎo)學(xué)生觀察。

問題7：觀察這兩位同學(xué)的作品，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

教師利用課件演示將圓平均分成32等份以及64等份后再拼起來。

問題8：再繼續(xù)等分下去，分成128份后拼成的圖形會(huì)有什么變化？分成256份呢？如果一直無限分下去，等分成無數(shù)份，會(huì)拼出怎樣的圖形？

問題9：針對第二、三種拼法，如果也一直無限分下去，等分成無數(shù)份，又會(huì)拼出怎樣的圖形？

【設(shè)計(jì)意圖】 通過學(xué)生匯報(bào)交流、教師問題引領(lǐng)的方式，促進(jìn)學(xué)生思考，鼓勵(lì)學(xué)生用自己的方式解決問題，理解并欣賞他人的解法。始終以轉(zhuǎn)化和極限思想的滲透為主線，從多元的學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)，尊重學(xué)生思維的個(gè)性化和多樣化。

4. 水到渠成推出面積公式

活動(dòng)4：繼續(xù)追問，突破難點(diǎn)，推導(dǎo)公式。

問題10：拼成的平行四邊形（長方形）與原來的圓之間有什么聯(lián)系？

引導(dǎo)學(xué)生找到拼成后的近似長方形的長和寬與圓之間的關(guān)系。

問題11：你能推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式嗎？

問題12：前面還把圓轉(zhuǎn)化成三角形和梯形，你能試著利用不同的轉(zhuǎn)化圖形來推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】利用多種轉(zhuǎn)化圖形來推導(dǎo)圓面積的計(jì)算公式，從不同角度的探索中體會(huì)轉(zhuǎn)化思想。

問題13：回到活動(dòng)1，你能計(jì)算出種植牧草所需花費(fèi)的金額嗎？

5. 探尋歷史追本溯源

教師利用課件展示數(shù)學(xué)家們求解圓的面積的歷程。

【設(shè)計(jì)意圖】 引入數(shù)學(xué)史，介紹相關(guān)的歷史背景，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，使學(xué)生了解知識的發(fā)生、發(fā)展過程，從而促進(jìn)學(xué)生更系統(tǒng)全面地理解數(shù)學(xué)。

6. 總結(jié)回顧，體會(huì)感悟

（1）梳理圓面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程;

（2）總結(jié)本節(jié)課所涉及的數(shù)學(xué)思想方法;

（3）掌握研究曲線圖形面積的方法。

五、結(jié)語

一堂課就如同一場旅行，事先我們會(huì)做好所有的計(jì)劃，但在旅行的過程中往往會(huì)因?yàn)楦鞣N情況而做出調(diào)整，或者改變行程，或者改變目的地的順序。課堂教學(xué)亦是如此，所有課前的教學(xué)安排與假想的教學(xué)路徑都不應(yīng)該是直接照搬。學(xué)生學(xué)習(xí)的過程是思維碰撞、生發(fā)智慧的過程，在這個(gè)過程中，他們所選擇的解決問題的方法都是不盡相同的。為了實(shí)現(xiàn)教學(xué)效果最大化，教師應(yīng)該盡可能多地照顧到所有學(xué)生的思維方法。在設(shè)計(jì)并調(diào)整教學(xué)時(shí)就需要教師理解學(xué)生，了解學(xué)生原有的知識經(jīng)驗(yàn)進(jìn)而分解學(xué)習(xí)目標(biāo)，找準(zhǔn)教學(xué)的起點(diǎn)和重難點(diǎn)，確定思維的障礙點(diǎn)，獲取并分析學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑，從多元的學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)適切的教學(xué)路徑，以學(xué)定教，在培養(yǎng)學(xué)生個(gè)性化發(fā)展的同時(shí)優(yōu)化學(xué)習(xí)路徑，使不同學(xué)習(xí)路徑的學(xué)生得到最優(yōu)發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 張春莉，劉怡. 基于學(xué)生學(xué)習(xí)路徑分析的教學(xué)路徑研究[J]. 中小學(xué)教師培訓(xùn)，2015（09）.

[2]? 章勤瓊. 基于學(xué)習(xí)路徑分析的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)：概述與基本框架[J].小學(xué)教學(xué)，2019（14）.