經(jīng)歷探索過程 發(fā)展合情推理

楊吟

【摘 ? 要】推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，小學(xué)階段是學(xué)生合情推理能力發(fā)展的重要時(shí)期。以浙教版三年級下冊《長方形的周長和面積關(guān)系》為例，教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷先破后立的過程，體會(huì)反例的價(jià)值;經(jīng)歷多元思考的過程，讓“合情”同樣“合理”;經(jīng)歷完整表達(dá)的過程，讓思維的條理顯現(xiàn)，從而發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。

【關(guān)鍵詞】合情推理;不完全歸納;觀察猜想;驗(yàn)證歸納

推理一般包括合情推理和演繹推理。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成。合情推理往往用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理經(jīng)常用于證明結(jié)論。

一般來說，受限于學(xué)生的知識水平和年齡特征，小學(xué)階段的教學(xué)會(huì)更多地偏重合情推理的內(nèi)容，小學(xué)階段是學(xué)生合情推理能力發(fā)展的重要時(shí)期。觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證是學(xué)生進(jìn)行合情推理的幾個(gè)重要環(huán)節(jié)，本文以浙教版三年級下冊《長方形的周長和面積關(guān)系》為例，介紹教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索過程，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。

【課前思考】

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中對第二學(xué)段學(xué)生推理能力的目標(biāo)定為：“在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力，能進(jìn)行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果。”“長方形周長與面積的關(guān)系”是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了長方形和正方形周長與面積的基礎(chǔ)上開展的一節(jié)探究課。本課旨在研究周長固定不變時(shí)，面積隨著長、寬改變的規(guī)律。這是培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的好內(nèi)容，在以學(xué)生為主體的探究活動(dòng)中，學(xué)生能夠很好地經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證、類比、歸納等一系列活動(dòng)，提升分析與解決問題能力、表達(dá)能力、推理能力等。

【課堂再現(xiàn)】

（一）第一次活動(dòng)（驗(yàn)證猜想1：周長長的面積就大）

師：有兩根鐵絲，一根長20厘米，一根長24厘米，用這兩根鐵絲分別圍成一個(gè)長方形，猜一猜，哪根鐵絲圍成的長方形面積大？你是怎么想的？

生：用24厘米圍出來的長方形面積大。（其他同學(xué)表示同意）

生：因?yàn)?4厘米比20厘米長。

師：你的意思是周長長的面積就大？

生：不一定。（更多的學(xué)生陷入了沉思）

師：有什么辦法能驗(yàn)證這個(gè)猜想是否正確呢？

生：算一算，看看圍起來的長方形都有哪些情況。

（學(xué)生獨(dú)立思考、嘗試后，全班交流）

生：周長長的面積不一定大。比如周長是24厘米的長方形，有可能長是11厘米，寬是1厘米，面積就是11平方厘米。

師：他舉了一個(gè)周長長，面積卻小的例子！只要能夠舉出一個(gè)不符合猜想的例子，就說明這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的。這樣的方式我們可以叫“舉反例”。通過舉反例咱們發(fā)現(xiàn)，周長長，面積不一定大！

生：我羅列了所有周長是20厘米和24厘米的長方形面積的情況。

這里面也有反例，周長是20厘米的長方形面積，有可能比周長是24厘米的長方形面積大！

師：周長長的長方形面積不一定更大。那么長方形的周長與面積之間有關(guān)系嗎？有什么關(guān)系？咱們進(jìn)一步探索。

（二）第二次活動(dòng)（驗(yàn)證猜想2：長方形的周長一定，長與寬越接近，面積越大）

1.觀察猜想

師：在周長一樣的情況下，長方形面積的大小又有什么規(guī)律？觀察上面兩張表，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：第1個(gè)表格中周長都是20厘米，我發(fā)現(xiàn)長越來越短，寬越來越長，面積越來越大。

生：第2個(gè)表格也是這樣，長和寬越接近，面積就越大。

師：我們把前提和猜想的結(jié)論連起來，完整地來說一說。

生：當(dāng)周長一樣時(shí)，長方形的長和寬越接近，面積就越大。

師：這是咱們的猜想，還是結(jié)論？為什么？

生：這只是我們的猜想，因?yàn)閺倪@兩張表看確實(shí)有這樣的規(guī)律，但兩個(gè)例子太少了，不能說明所有周長相等的長方形都有這個(gè)規(guī)律。

生：我們可以再舉幾個(gè)例子試試看。

師：你覺得舉出幾個(gè)例子就可以說這是結(jié)論？

生：我覺得舉幾個(gè)例子都不能說。

生：我不同意，我們總不能舉完所有的例子??！要是舉幾個(gè)例子都不能說，那不是永遠(yuǎn)得不到結(jié)論了？

生：可以試著舉不一樣的例子，看看有沒有反例，要是舉不出反例，就可以把它當(dāng)作結(jié)論。

師：好想法！這就是科學(xué)研究的過程。在找不到反例的情況下可以把猜想當(dāng)作結(jié)論來用，但如果有人舉出了反例，我們就要對結(jié)論進(jìn)行調(diào)整。你們打算怎么做？

生：我們可以相互分工，比如有的研究周長短一點(diǎn)的長方形，有的研究周長長一點(diǎn)的長方形……還可以試著研究周長是奇數(shù)的長方形，數(shù)據(jù)盡量豐富，如果大家研究出來的數(shù)據(jù)都符合“長、寬越接近，面積就越大”，那么這個(gè)規(guī)律就應(yīng)該是正確的。

2.驗(yàn)證歸納

（教師提供材料包：格子圖、幾何釘板、學(xué)習(xí)單）

（1）出示學(xué)習(xí)單，明確任務(wù)要求。

（2）獨(dú)立研究，小組內(nèi)交流（要求盡量完整地說說自己的發(fā)現(xiàn)）。

（3）整合小組意見，全班交流，歸納結(jié)論。

生：舉了這么多例子，都沒有反例，我覺得可以了。

師：這些例子中，你覺得哪個(gè)例子特別有價(jià)值？

生：我驗(yàn)證了周長是9厘米的情況，我覺得特別有價(jià)值。周長是9厘米，長和寬最接近的時(shí)候都是2.25厘米，是一個(gè)正方形，這時(shí)面積是5.0625平方厘米。和這個(gè)正方形最接近的長方形的長是2.26厘米，寬是2.24厘米，面積是5.0624平方厘米，面積還是沒有正方形大。

生：我還驗(yàn)證了周長是小數(shù)10.8的情況……

師：為什么你們覺得這樣的例子特別有價(jià)值？

生：因?yàn)橐曳蠢鸵M量找不一樣的。如果無論什么時(shí)候結(jié)論都成立，那么這個(gè)猜想就是成立的。（其他小組表示贊同）

師：那么現(xiàn)在我們可以暫時(shí)得到一個(gè)結(jié)論。你能完整地描述這個(gè)結(jié)論嗎？

生：長方形的周長一樣的時(shí)候，長與寬越接近，面積就越大。

生：長方形的周長一定時(shí)，長與寬的差越小，它的面積就越大，成正方形時(shí)面積最大。

【課后所思】

（一）經(jīng)歷先破后立的過程，體會(huì)反例的價(jià)值

學(xué)生在學(xué)習(xí)某個(gè)知識前，往往具有先備經(jīng)驗(yàn)，這些經(jīng)驗(yàn)有的對學(xué)習(xí)會(huì)有正遷移作用，幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)新知;有的則會(huì)有負(fù)遷移作用，成為學(xué)生理解的障礙。本課教學(xué)中的第一個(gè)問題“20厘米與24厘米的鐵絲分別圍成長方形，誰的面積大”，讓學(xué)生直覺中的“周長長面積大，周長的長度與面積的大小之間正相關(guān)”這一錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)充分暴露，然后通過舉例說明將這一經(jīng)驗(yàn)打破，再重新樹立“長寬越接近的長方形面積越大”的觀念，符合學(xué)生的認(rèn)知過程。

同時(shí)，通過舉例說明一個(gè)結(jié)論是否正確是合情推理的方式之一，但這樣得到的結(jié)論帶有或然性。如果在舉例的過程中出現(xiàn)反例，就可以說明結(jié)論是錯(cuò)誤的，這是重要的推理經(jīng)驗(yàn)。本節(jié)課中，教師著力關(guān)注學(xué)生經(jīng)歷“舉反例”的過程，引導(dǎo)他們在體會(huì)反例價(jià)值的同時(shí)對合情推理有更深入的理解。

（二）經(jīng)歷多元思考的過程，讓“合情”同樣“合理”

在不完全歸納推理中，通過舉例子來說明結(jié)論的正確性不一定準(zhǔn)確，為了讓結(jié)果更有可能是正確的，學(xué)生往往會(huì)認(rèn)為需要“多舉幾個(gè)例子”。但為什么多舉幾個(gè)例子就可能是正確的，舉例的目的是什么，學(xué)生往往不太會(huì)深入思考。本課例中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過討論“哪個(gè)例子你認(rèn)為特別有價(jià)值”，逐步體會(huì)：舉例子是為了盡量說明在任何情況下結(jié)論都正確，在不同情況下都沒有反例，因此要盡量舉“不一樣的”例子。這是學(xué)生合情推理能力形成過程的重要基礎(chǔ)。

（三）經(jīng)歷完整表達(dá)的過程，讓思維的條理顯現(xiàn)

語言是思維的外殼，鼓勵(lì)學(xué)生清楚地表達(dá)推理過程，有意識地培養(yǎng)學(xué)生思必有源、推必有理、言必有據(jù)的思維品質(zhì)，對鍛煉推理能力同樣重要。本課教學(xué)中，教師從第一次猜想后進(jìn)行觀察開始，引導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生將觀察結(jié)果外化為自己的語言表述，從猜想的適用范圍、表述的準(zhǔn)確性等方面作出優(yōu)化。不斷完善描述的過程，就是學(xué)生不斷修正思維的過程。學(xué)生在表達(dá)和思辨中發(fā)展思維，促進(jìn)合情推理能力的提升。

當(dāng)然，合情推理能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的。教師在教學(xué)中要結(jié)合具體的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷推理的過程，讓學(xué)生的合情推理能力在實(shí)踐中得以提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]張秋爽.談兒童數(shù)學(xué)教育視角下的“推理能力”培養(yǎng)[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2016（7/8）.

[2]管小冬.“規(guī)律”教學(xué)，讓“合情推理”更豐實(shí)[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2020（5）.

（浙江省杭州市娃哈哈雙語學(xué)校 ? 310008）