李彩娟 王玉磊 苑倩倩

【摘要】本文以“雙曲拋物面”的課堂教學為例，借助雨課堂教學平臺和Mathematica數(shù)學軟件等信息化技術(shù)手段，就解析幾何教學的有效途徑進行了初步探究.

【關(guān)鍵詞】雙曲拋物面;雨課堂;Mathematica

【基金項目】2019年河南省高等教育教學改革研究與實踐項目：基于雨課堂的代數(shù)與幾何課程混合式教學模式研究與實踐（2019SJGLX504）;2019年信陽學院教育教學改革研究項目：基于雨課堂的數(shù)學基礎課程混合式教學模式研究與實踐（2019YJG26）;2020年信陽學院教育教學改革研究項目：疫情防控背景下《數(shù)學分析》課程線上教學的探索與實踐研究（2020YJG025）;

2018年信陽學院校級課題：幾類分數(shù)階微分方程邊值問題解的存在性研究（2018LYB09）

一、“雙曲拋物面”在傳統(tǒng)教學中遇到的問題

解析幾何是數(shù)學專業(yè)的“老三基”之一.傳統(tǒng)的解析幾何課堂教學最主要、最常見的教學模式是“滿堂灌”，在這種教學模式下，學生只能是知識的“搬運工”，課堂教學不能真正地釋疑解惑.這種比較常見的教學模式主要體現(xiàn)為教師是教學活動的主體，在整個教學過程中擁有支配權(quán)和主導權(quán)，學生則是和主體相對立的客體，并沒有主動參加教學活動的興趣.所以，學生的自主學習能力比較差，學習積極性不高，教師也不能及時掌握學生的學習情況，課堂教學效果不好.雙曲拋物面是解析幾何中最典型的一類二次曲面，是解析幾何課程中涉及的空間圖形之一，它的方程形式比較簡單，所以我們可運用平行截割法從方程入手去研究它的圖形.由雙曲拋物面的方程來研究它的幾何性質(zhì)并畫出圖形，正是解析幾何的基本思想“利用代數(shù)方法來研究幾何問題”的直接體現(xiàn).但是它的圖形比較復雜，如果采用傳統(tǒng)的手工作圖，圖形既不準確也不直觀，不僅浪費了有限的教學時間，而且對學生的空間想象能力要求較高.所以，大多數(shù)學生談“雙曲拋物面”色變，在他們的心目中，“雙曲拋物面”是解析幾何的難點.

二、基于“雨課堂+Mathematica”的課堂教學案例——雙曲拋物面

（一）使用雨課堂

作為一種智慧教學工具，雨課堂將前沿教育理念和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)巧妙融合，科學地覆蓋了課前、課中、課后的每一個教學環(huán)節(jié)，從課前預習、課堂互動、課后作業(yè)等方面幫助教師采集課程數(shù)據(jù)，量化分析學生的學習情況，實現(xiàn)精準教學，為傳統(tǒng)課堂教學缺少師生互動提供了完美的解決方案.在雨課堂中，課堂教學互動始終在線，教與學的能量最大限度地釋放，學生的學習興趣得以激發(fā)，教育教學效果達到最優(yōu).

1.課前準備

教師根據(jù)本節(jié)課的教學設計將豐富的教學資源插入課件，還可以在幻燈片中配以語音解說，然后將這些課件通過雨課堂推送到學生的微信端.學生可以依據(jù)自己的時間靈活地進行課前的自主預習，還可以在遇到問題的內(nèi)容上點“不懂”，反饋預習效果.因此，教師能夠及時了解學生的預習情況，在課堂教學中做到有的放矢.

2.課堂教學

學生通過手機掃碼完成課堂簽到，極大地彌補了人工考勤費時費力、影響課堂教學進度的不足.教師從日常生活中無處不在的幾何形體說起，以多媒體展示我們經(jīng)常吃的薯片以及2012年倫敦奧運會自行車館的屋頂?shù)?，它們的形狀都是雙曲拋物面，以此創(chuàng)設情境，激發(fā)學生的學習興趣，引出本節(jié)內(nèi)容.然后，教師給出雙曲拋物面的定義并提出問題：雙曲拋物面方程能反映出哪些幾何性質(zhì)？我們又該如何得到雙曲拋物面的大致圖形？學生以小組討論的方式，思考由方程得到圖形的方法.

教師以“切黃瓜”為例形象說明（如圖1）：每次刀切下去的時候，刀所在的平面和黃瓜截面的交線就是我們切出來的黃瓜片的邊界曲線，這是一條平面曲線，當我們了解了所有黃瓜片的邊界曲線的形狀和變化趨勢后，整根黃瓜的形狀是不是就有了？這就是下面我們要用到的平行截割法：用一組平行平面去截割曲面，研究所得到的截痕曲線的變化趨勢，再推斷出曲面的大致形狀.教師讓學生以小組討論的方式，思考如何利用平行截割法得到雙曲拋物面的圖形.然后，教師通過雨課堂進行點名，指定學生回答小組討論的結(jié)果，提高學生的課堂參與度.學生可以根據(jù)自己的觀點或?qū)栴}的思考進行圖文投稿，或?qū)⒆约旱囊蓡柊l(fā)布彈幕.學生的所有回答會在大屏幕上以無記名的方式橫向滾動顯示.教師也可以將學生發(fā)送的圖文內(nèi)容投放至大屏幕與全班學生共享.因為在大屏幕上不顯示回答人的姓名，學生積極主動，答案個性鮮明，課堂氣氛活躍，師生互動愉快輕松.這樣，教師能夠隨時了解學生的學習情況，實時調(diào)整課堂教學進度.學生成為學習的主動者，學習積極性得以調(diào)動，課堂學習效率大大提高，解析幾何課堂教學煥發(fā)出生機與活力.而且通過雨課堂，整個教學過程都可以記錄下來，學生對于課堂上沒有聽懂的地方，可以課下觀看錄制的講解，再現(xiàn)教學過程.

3.課后分析

雨課堂會通過“云計算”向教師提供本節(jié)課全周期的數(shù)據(jù)分析，把所有的教學動作以大數(shù)據(jù)的形式反饋給教師，實現(xiàn)了課堂數(shù)據(jù)采集的功能，教師從而能夠了解每一名學生的學習情況，更加全面、立體地對學生做出客觀的評價.教師還可以根據(jù)課堂反饋制作課后復習課件，而后通過手機端雨課堂發(fā)布給學生，對學生進行綜合考查和測評，鞏固本節(jié)課的教學內(nèi)容并進行專業(yè)拓展.

（二）將Mathematica引入課堂

解析幾何課程中涉及大量的空間圖形，傳統(tǒng)的手工作圖很難讓學生對圖形有直觀的理解，尤其是像雙曲拋物面這種比較復雜的曲面.借助Mathematica強大的繪圖功能，教師可以將雙曲拋物面形象地呈現(xiàn)給學生，加深學生對雙曲拋物面的理解和對平行截割法的掌握.

在Mathematica的工作窗口輸入以下命令：

a=Table[Plot3D[x^2/9-y^2/16-z，{x，-3，3}，{y，-4，4}，PlotRange→{-1，1}]，{z，1，-1，-0.05}]

運行后可以得到雙曲拋物面平行于xOy面的一系列截痕曲線，選取其中的兩幅圖片如圖2所示.

然后輸入命令：

ListAnimate[a]

運行后就得到演示雙曲拋物面截痕曲線動態(tài)變化過程的動態(tài)圖.

同樣，在Mathematica的工作窗口輸入以下命令：

b=Table[Plot3D[x^2/9-y^2/16-z，{x，-5，5}，{z，-2，2}，PlotRange→{-1，1}]，{y，-6，6，0.3}]

運行后可以得到雙曲拋物面平行于zOx面的一系列截痕曲線，選取其中的兩幅圖片如圖3所示.

然后輸入命令：

ListAnimate[b]

運行后就得到演示雙曲拋物面截痕曲線動態(tài)變化過程的動態(tài)圖.

結(jié) 語

借助雨課堂可以較為全面地分析學生的學習狀況，教師可以隨時了解學生在聽課過程中對知識的掌握情況，從而及時調(diào)整教學方案.每一名學生都可以參與解析幾何的課堂教學，每個人都是課堂的主人，學習在輕松愉快的氛圍中進行，能極大地激發(fā)學生學習的興趣，教學效果將顯著提高.Mathematica可以將抽象的、難以理解的空間圖形形象地展示出來，還可以演示曲線變化生成曲面的動態(tài)過程，直觀性撲面而來，不僅讓抽象難懂的空間圖形易于被理解和掌握，而且極大地增強了解析幾何課堂的趣味性.因此，教師應在雙曲拋物面的教學中積極運用“雨課堂+Mathematica”.

【參考文獻】

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