林輝慶

(杭州市余杭高級(jí)中學(xué) 浙江 杭州 311100)

1 問題的提出

(2011年高考物理浙江卷第16題)如圖1所示，在鐵芯上、下分別繞有匝數(shù)n1=800和n2=200的兩個(gè)線圈，上線圈兩端與u1=51sin314tV的交流電源相連，將下線圈兩端接交流電壓表，則交流電壓表的讀數(shù)可能是( )

A.2.0 V B.9.0 V

C.12.7 V D.144.0 V

圖1 非理想變壓器

此題被普遍地認(rèn)為是一道好題，因?yàn)樗軈^(qū)分考生是否理解變壓器電壓比公式的適用條件，能否用它分析有關(guān)的實(shí)際變壓器問題.直到現(xiàn)在，很多學(xué)習(xí)資料仍選用此題，一些教學(xué)論文也引用了此題.但對(duì)于此題答案的解釋，卻存在著懸而未決的爭(zhēng)議.一般的解釋是，由于漏磁，通過上、下線圈的磁通量關(guān)系Φ1>Φ2，所以U2應(yīng)該小于9 V[1].但質(zhì)疑者認(rèn)為，鐵芯有增強(qiáng)與聚集磁感線的作用，雖然有漏磁，但不會(huì)大到使電壓表的讀數(shù)有2 V與9 V這么大的差異；如果實(shí)際的差異真有這么大，那么，可能還有一個(gè)原因：這一非理想變壓器的原線圈自感較小，感抗也較小，而原線圈有電阻，感抗分得的電壓小于輸入電壓36 V.

2 鐵芯不閉合對(duì)變壓器線圈感抗的影響

2.1 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

如圖2所示，將中學(xué)教學(xué)中使用的可拆變壓器的原線圈與交流電流表串聯(lián)后，接到學(xué)生電源的交流輸出端，電流表的指針不偏轉(zhuǎn).而如圖3所示使可拆變壓器的鐵芯不閉合，電流表的指針就有一個(gè)偏角.

圖2 空載電流等于零

圖3 空載電流不等于零

實(shí)驗(yàn)表明，變壓器的鐵芯閉合時(shí)，原線圈的自感L和感抗XL可以看作∞，空載電流趨于零；鐵芯不閉合時(shí)，原線圈的自感L和感抗XL不能看作∞，空載電流不等于零.

2.2 理論解釋

鐵芯閉合與不閉合，套在鐵芯上的線圈的自感L和感抗XL為什么會(huì)發(fā)生如此大的變化？我們可以在一種理想的情況下從理論上進(jìn)行探討.

如圖4(a)所示，通有電流I的n匝線圈繞在周長(zhǎng)為l的閉合鐵芯上，磁感線全部集中在鐵芯內(nèi)部，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；如圖4(b)所示，將鐵芯截去一小段Δl，磁感線除間隙處，也全部集中在鐵芯內(nèi)部，磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)锽′.由安培環(huán)路定理

∮H·dl=∑I

和磁感應(yīng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系

B=μμ0H

對(duì)圖4(a)、(b)分別得到

求出

變壓器鐵芯的磁導(dǎo)率μ可高達(dá)10 000[2].量得可拆變壓器的l≈36 cm，取Δl=1 cm，μ=8 000，由上式求得

可見，如果鐵芯不閉合，哪怕缺口很小，都會(huì)使鐵芯中的磁感應(yīng)強(qiáng)度大大減小.因此，繞在不閉合鐵芯上的線圈的自感L遠(yuǎn)小于繞在閉合鐵芯上線圈的自感.圖1中的鐵芯“缺口”更大，原線圈的自感較小，對(duì)交流電的感抗也小，因此空載電流較大.

3 原線圈和副線圈電壓比的相關(guān)因素

設(shè)一鐵芯不閉合的變壓器，原、副線圈的匝數(shù)分別為n1和n2，原線圈的電阻為R，感抗為XL.在原線圈兩端加交變電壓U1，副線圈兩端開路或接入理想交流電壓表時(shí)電壓為U2.此種情況下副線圈中沒有感應(yīng)電流，不會(huì)在原線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；原線圈中有空載電流I，其中電阻R和感抗XL產(chǎn)生的電壓分別為

UR=IRUL=IXL

(1)

將UL與U1的比值記為k1，則

(2)

通過原、副線圈的磁通量用Φ1和Φ2表示，則有

令

即可得到

(3)

綜合(2)、(3)兩式得到

(4)

可見，副線圈與原線圈的電壓比等于3個(gè)系數(shù)的乘積.系數(shù)k0是副線圈與原線圈的匝數(shù)比，系數(shù)k1反映原線圈感抗較小造成UL小于U1的程度，系數(shù)k2反映漏磁的程度.k0是電壓比的理想值，k1k2反映電壓比偏離理想值k0的程度.

4 感抗因素與漏磁因素的測(cè)定

4.1 測(cè)量原理

從式(2)、(4)可以得到

(5)

(6)

由式(5)、(6)得到

(7)

4.2 實(shí)驗(yàn)測(cè)量

圖5 鐵芯不閉合的變壓器

表1 變壓器原、副線圈的電壓關(guān)系

5 結(jié)論

實(shí)驗(yàn)測(cè)出k1=0.93<1，表明原線圈感抗減小確實(shí)是鐵芯不閉合的變壓器副線圈與原線圈的電壓比小于理想值的原因之一.至于上述實(shí)驗(yàn)情況中，k2k1是完全可能的.

對(duì)于圖5所示的變壓器

k1k2=0.93×0.43=0.40

本文開頭試題中的變壓器

它雖然比圖5情況的k1k2小，但仍是可能的.且不說在這兩種情況中線圈與鐵芯的有關(guān)因素可能不同，單就圖1情況鐵芯的缺口比圖5情況鐵芯的缺口大，就會(huì)造成它的k1k2變小.

電工使用的鉗形電流表實(shí)際上是鐵芯有缺口、原線圈匝數(shù)n1=1的電流互感器(圖6).捏緊扳手張開鐵芯，使通有交流電的導(dǎo)線穿過鐵芯缺口，放開扳手合上鐵芯，就能從電流表中讀出導(dǎo)線中的電流.放開扳手后活動(dòng)鐵芯與固定鐵芯不可能完全密合，它們之間存在著小缺口.各次測(cè)量時(shí)，兩塊鐵芯的密合程度和通電導(dǎo)線在鐵芯回路中的位置不會(huì)完全相同，漏磁和線圈自感變小產(chǎn)生的影響也不相同.這導(dǎo)致各次測(cè)量時(shí)電流表讀數(shù)與被測(cè)電流的比值不會(huì)相同，所以鉗形電流表只能粗略測(cè)量電流.

圖6 鉗形電流表