鄧可卉 李淑浩

(東華大學(xué) 人文學(xué)院， 上海 200051)

兩漢及魏晉南北朝時(shí)期是中國(guó)古代關(guān)于宇宙理論探討最為活躍的時(shí)期。東漢蔡邕說(shuō)“論天體者三家，宣夜之學(xué)，絕無(wú)師法。周髀數(shù)術(shù)具存，考驗(yàn)天狀，多所違失。唯渾天僅得其情，今史官所用候臺(tái)銅儀，則其法也”[1]，此話有一定深意，歷史上曾經(jīng)存在三種宇宙學(xué)說(shuō)鼎立的局面，其中尤以渾天說(shuō)和蓋天說(shuō)的爭(zhēng)論最為激烈，出現(xiàn)了像揚(yáng)雄這樣的大儒由一個(gè)蓋天家轉(zhuǎn)而支持渾天說(shuō)，并提出“難蓋天八事”的極端事例。蓋天說(shuō)有《周髀》為證，數(shù)術(shù)俱存，渾天說(shuō)雖然僅得其情，但是在爭(zhēng)論中并沒(méi)有占有足夠的優(yōu)勢(shì)。究其原因，主要是由于它沒(méi)有一套數(shù)理模型支持。然而，歷史真的是這樣嗎？通過(guò)釋讀被輯入《開(kāi)元占經(jīng)》①《開(kāi)元占經(jīng)》卷1“天體渾宗”記錄了從張衡到劉焯時(shí)期渾天說(shuō)的相關(guān)論述，包括許多在正史中沒(méi)有記錄的史料。作者將它們與《晉書(shū)》、《隋書(shū)》中的相關(guān)內(nèi)容比對(duì)，最后選擇《開(kāi)元占經(jīng)》為本文許多原始文獻(xiàn)的出處。的祖暅(1)一般認(rèn)為，祖暅原名“祖暅之”，以《南史·沖之傳(七二)》中的記錄為證。但后世記錄中，包括本文所引《隋書(shū)·天文志》、《開(kāi)元占經(jīng)》等文獻(xiàn)中都用“祖暅”，這些文獻(xiàn)距離祖暅生活年代也就一百多年，說(shuō)明了至少在唐代早中期就開(kāi)始使用這一名字。另外，當(dāng)代中古史專家羅繼祖先生在1987年撰文《祖暅之》考證了宋代以后一些重要文獻(xiàn)使用“祖暅”名稱，認(rèn)為后人遂以“不誤之誤”采納之?；谏鲜隼碛?，本文在此處及下文的論述中采用“祖暅”一名。的《渾天論》一卷，我們發(fā)現(xiàn)祖暅在嘗試構(gòu)建渾天說(shuō)數(shù)理模型方面做出了一系列工作，與《周髀算經(jīng)》中蓋天說(shuō)數(shù)理模型有所照應(yīng)，這為我們解構(gòu)渾天說(shuō)數(shù)理模型提供了若干理路。

然而，陳美東認(rèn)為，中國(guó)古代的諸多宇宙學(xué)說(shuō)大多缺乏明確的數(shù)學(xué)模型，而蓋天說(shuō)是一個(gè)例外。[2]他的觀點(diǎn)代表了學(xué)術(shù)界對(duì)漢以后宇宙論的普遍認(rèn)識(shí)。江曉原曾對(duì)渾天說(shuō)和蓋天說(shuō)做出評(píng)價(jià)，認(rèn)為渾天說(shuō)只是用文字?jǐn)⑹龀鰜?lái)了一個(gè)“渾天”的大致圖像，既無(wú)明確的結(jié)構(gòu)，也沒(méi)有具體的數(shù)理，并不是一種宇宙的幾何模型。[3]但他又指出只有渾天說(shuō)可以和此后2000年中國(guó)的數(shù)理天文學(xué)相容。[4]曲安京則認(rèn)為，中國(guó)古代歷法缺乏一個(gè)明確的宇宙模型的支持，且古代數(shù)理天文學(xué)對(duì)宇宙模型的理論構(gòu)建并不特別在意。[5]三位的觀點(diǎn)在學(xué)術(shù)界具有代表性。這說(shuō)明，關(guān)于歷史上構(gòu)建渾天說(shuō)數(shù)理模型的嘗試與失敗原因至今沒(méi)有受到學(xué)術(shù)界重視，特別是祖暅的渾天論學(xué)說(shuō)未受到足夠關(guān)注。

依據(jù)“從張衡到祖暅，前后四百年，可以說(shuō)是渾天說(shuō)的全盛時(shí)期”的說(shuō)法[6]，本文以張衡到祖暅約400年間渾天說(shuō)的發(fā)展為線索，詳細(xì)討論歷史上構(gòu)建渾天說(shuō)數(shù)理模型的嘗試與失敗的過(guò)程。

1 張衡初建渾天說(shuō)數(shù)理模型

渾天說(shuō)在西漢落下閎時(shí)代就已出現(xiàn)[7]，遺憾的是，相關(guān)的具體論述并沒(méi)有傳世。直到東漢時(shí)期，張衡才首次對(duì)渾天說(shuō)進(jìn)行了系統(tǒng)的闡述。在《渾儀注》(2)關(guān)于《渾儀注》是否為張衡所作的問(wèn)題，學(xué)術(shù)界曾有過(guò)激烈的爭(zhēng)論。參見(jiàn)陳久金先生的論文《〈渾天儀注〉非張衡所作考》和陳美東先生的論文《張衡〈渾天儀注〉新探》。綜合兩位學(xué)者的研究，本文認(rèn)為《渾儀注》系張衡所著。中，張衡指出“周旋無(wú)端，其形渾渾，故曰渾天也”[8]，“渾”用來(lái)形容天的形狀，即天是一個(gè)球體。該書(shū)還記載了渾天說(shuō)天地結(jié)構(gòu)，共有以下六條：

(1)渾天如雞子，天體圓如彈丸，地如雞子中黃；(2)周天三百六十五度四分度之一，又中分之，則一百八十二度八分之五覆地上，一百八十二度八分之五繞地下；(3)兩端謂之南北極。北極，乃天之中也，在正北，出地上三十六度；南極，天之中也，在南入地三十六度，兩極相去一百八十二度半強(qiáng)；(4)赤道橫帶天之腹，去南北二極各九十一度十六分度之五；(5)黃道斜帶其腹，出赤道表里各二十四度；(6)夏至去極六十七度而強(qiáng)，冬至去極百一十五度亦強(qiáng)。[8]

學(xué)術(shù)界對(duì)上述第(1)條的討論主要包括地是球形[9]、半球形[10]還是平面形([6]，36- 41頁(yè))三種觀點(diǎn)。目前看來(lái)，由于前兩種觀點(diǎn)在古代數(shù)理天文學(xué)中未得到驗(yàn)證，所以，張衡渾天說(shuō)中“地平”說(shuō)法更加可信，這也是我們下文討論渾天說(shuō)數(shù)理模型的一個(gè)重要前提。

但是在漢至魏晉南北朝時(shí)期中國(guó)古代宇宙論激烈爭(zhēng)論的背景下，渾天說(shuō)僅有以上數(shù)據(jù)是不夠的。與渾天說(shuō)對(duì)立的《周髀算經(jīng)》蓋天說(shuō)冬至日道徑47.6萬(wàn)里，此數(shù)再加上兩個(gè)日照四旁16.7萬(wàn)里，得到四極徑為81萬(wàn)里，周長(zhǎng)為243萬(wàn)里。[11]更重要的是，《周髀算經(jīng)》建立了一套測(cè)算結(jié)合的數(shù)理模型方法，并用此模型來(lái)解釋晝夜、四季及寒暑成因等問(wèn)題。

除《渾儀注》外，張衡還撰有《靈憲》。西漢揚(yáng)雄撰《太玄》，其“玄首序”有“馴乎玄，渾行無(wú)窮正象天。陰陽(yáng)毗參，以一陽(yáng)乘一統(tǒng)，萬(wàn)物資形。方州部家，三位疏成。曰陳其九九，以為數(shù)生。贊上群綱，乃綜乎名。八十一首，歲事咸貞?！盵12]該書(shū)點(diǎn)校者研究認(rèn)為，張衡受到《太玄》的影響。張衡在其《靈憲》中說(shuō)：“在天成象，在地成形。天有九位，地有九域；天有三辰，地有三形。有象可效，有形可度。情性萬(wàn)殊，旁通感薄，自然相生，莫之能紀(jì)。于是人之精者作圣，實(shí)始紀(jì)綱而經(jīng)緯之”[13]，天地有形有象可以度量。這本書(shū)給出了天地的直徑數(shù)據(jù)，相關(guān)論述共有兩處：

(1)八極地維，徑二億三萬(wàn)二千三百里，南北則短減千里，東西則廣增千里。自地至天，半于八極；(2)將覆其數(shù)，用重差鉤股，懸天之景，薄地之儀，皆移千里而差一寸得之。[13]

據(jù)《禮記·內(nèi)則疏》記載，“依如算法，億之?dāng)?shù)有大小二法。其小數(shù)以十為等，十萬(wàn)為億，十億為兆也。其大數(shù)以萬(wàn)為等，數(shù)萬(wàn)至萬(wàn)，是萬(wàn)萬(wàn)為億”[14]，張衡在《靈憲》中用的就是“小數(shù)”法，所以天和地的直徑在南北方向上為231 300里，東西方向上為233 300里。從第(2)條論述可以看出張衡的相關(guān)測(cè)量利用了重差法和“日影千里差一寸”這一古制。但由于缺少算法模型，這成為了張衡渾天說(shuō)的重要缺陷。

2 “天高數(shù)”與“周天里數(shù)”的數(shù)理計(jì)算

天地尺度對(duì)應(yīng)兩個(gè)數(shù)據(jù)“天高數(shù)”和“周天里數(shù)”，前者對(duì)應(yīng)天球半徑，后者對(duì)應(yīng)天球赤道的周長(zhǎng)。渾天家們需要找到這個(gè)界限，如果這兩個(gè)數(shù)據(jù)不確定，天地的大小就不能確定，渾天說(shuō)數(shù)理模型就無(wú)法建立起來(lái)。

除張衡外，陸績(jī)、王蕃、祖暅等有關(guān)渾天著述以及《尚書(shū)考靈曜》、《洛書(shū)軌曜度》、《春秋考異郵》等緯書(shū)中也都記錄了“天高數(shù)”與“周天里數(shù)”，依據(jù)它們“周天里數(shù)”不同及得到“周天里數(shù)”的方法也不同，現(xiàn)將這些數(shù)據(jù)分為三組，列表如下(表1)：

表1 張衡到祖暅時(shí)期的“天高數(shù)”與“周天里數(shù)”表 (3)當(dāng)時(shí)沒(méi)有現(xiàn)代小數(shù)表示法。為直觀表示，該處及后文一些數(shù)據(jù)用現(xiàn)代數(shù)值表示。

三組數(shù)據(jù)存在很大的差異。從史料看，張衡、陸績(jī)等只給出“天高數(shù)”和“周天里數(shù)”兩個(gè)數(shù)據(jù)，沒(méi)有清楚地說(shuō)明它們的由來(lái)和本質(zhì)。而緯書(shū)中的數(shù)據(jù)，查看《尚書(shū)考靈曜》原文，其中亦有“日影于地，千里而差一寸”([15]，357頁(yè))一句，似乎說(shuō)明該書(shū)中的數(shù)據(jù)也是依據(jù)此古制而來(lái)。

兩漢時(shí)期，以陰陽(yáng)五行、天人感應(yīng)學(xué)說(shuō)為基礎(chǔ)的讖緯之學(xué)盛極一時(shí)，對(duì)當(dāng)時(shí)的政治、社會(huì)、學(xué)術(shù)等都產(chǎn)生了極大的影響。王蕃在其《渾天象說(shuō)》一書(shū)中就講述了緯書(shū)中的“周天里數(shù)”等數(shù)值對(duì)后世學(xué)者的影響程度，他說(shuō)：“《洛書(shū)軌曜度》、《春秋考異郵》皆云周天一百七萬(wàn)一千里，至以日景驗(yàn)之，違錯(cuò)甚多。然其流行布于眾書(shū)。通儒達(dá)士未之考正，是以不敢背損舊術(shù)，獨(dú)攄所見(jiàn)”([17]，176頁(yè))，這里的“通儒達(dá)士”就包括陸績(jī)，說(shuō)明陸績(jī)數(shù)值極有可能照搬于緯書(shū)。王蕃的另一段評(píng)述就更為直接：“又陸績(jī)?cè)疲芴煲话倨呷f(wàn)一千里，東西南北徑三十五萬(wàn)七千里，立徑亦然。此蓋黃赤道之徑數(shù)也。渾天蓋天黃赤道周天度同，故績(jī)?nèi)∫匝远?[17]，176頁(yè))，這里進(jìn)一步說(shuō)明陸績(jī)所取“天高數(shù)”和“周天里數(shù)”最早出自蓋天說(shuō)。在《周髀算經(jīng)》中確實(shí)可以找到這兩個(gè)數(shù)據(jù)及其含義([11]，35頁(yè))，它們分別對(duì)應(yīng)了蓋天宇宙模型中的春秋分日道徑357 000里和周長(zhǎng)1 071 000里。

學(xué)術(shù)界歷來(lái)對(duì)《尚書(shū)考靈曜》等緯書(shū)主張渾天說(shuō)([2]，178頁(yè))還是蓋天說(shuō)[19]存在爭(zhēng)議，近來(lái)也有學(xué)者指出《尚書(shū)考靈曜》中存在的是不同于渾天說(shuō)、蓋天說(shuō)、宣夜說(shuō)的漢代第四種宇宙學(xué)說(shuō)[20]。這種情況足以說(shuō)明《尚書(shū)考靈曜》等緯書(shū)中宇宙學(xué)說(shuō)的混亂，它們極有可能同時(shí)參考了蓋天說(shuō)和渾天說(shuō)的內(nèi)容，所以我們才會(huì)看到緯書(shū)中“天高數(shù)”和“周天里數(shù)”與《周髀算經(jīng)》的一致。

陸績(jī)繼承了張衡渾天說(shuō)，雖然批評(píng)蓋天說(shuō)“其為虛偽，較然可知”，但是在其《渾天》中兼述蓋天說(shuō)，而在文末最后兩句直接采用了《周髀算經(jīng)》的春秋分日道徑和周長(zhǎng)數(shù)值，當(dāng)作渾天說(shuō)模型的“天高數(shù)”和“周天里數(shù)”。這在一定程度上表明陸績(jī)對(duì)這兩個(gè)數(shù)據(jù)束手無(wú)策，鑒于這兩個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)渾天說(shuō)模型十分重要，只好用他認(rèn)為比較可靠的數(shù)據(jù)來(lái)收?qǐng)觥?/p>

張衡、陸績(jī)等渾天家遲遲找不到合理方法來(lái)推算“天高數(shù)”和“周天里數(shù)”，這個(gè)局面一直到王蕃才有所好轉(zhuǎn)。三國(guó)時(shí)期的王蕃是一位堅(jiān)定的渾天家，寫(xiě)有《渾天象說(shuō)》并制作了渾儀，他的工作既包括給出推翻蓋天說(shuō)模型數(shù)據(jù)的證據(jù)，同時(shí)也建立了渾天說(shuō)“天高數(shù)”和“周天里數(shù)”的數(shù)理模型。

王蕃的第二個(gè)步驟是“以晷影考周天里數(shù)”[17]。按照《周禮》記載，“日至之景，尺有五寸，謂之地中”[21]，鄭司農(nóng)認(rèn)為潁川陽(yáng)城是地中所在地[21]。王蕃在其《渾天象說(shuō)》中把陽(yáng)城為地中的說(shuō)法明確引入渾天說(shuō)中。因此，《隋書(shū)·天文志上》“地中”有“《周禮·大司徒職》：‘以土圭之法，測(cè)土深，正日景，以求地中。’此則渾天之正說(shuō)，立儀象之大本”[22]?！吨芏Y》鄭玄注：“凡日景于地千里而差一寸，景尺有五寸者，南戴日下萬(wàn)五千里也”[21]，陽(yáng)城處夏至日影為1尺5寸，根據(jù)“日影千里差一寸”，太陽(yáng)南戴日下與陽(yáng)城的距離就是15 000里?！叭沼扒Ю锊钜淮纭边@一古制是以太陽(yáng)高度固定不變和大地是一平面的假設(shè)為前提，從王蕃下面的具體術(shù)文“六官之職，周公所制，勾股之術(shù)，目前定數(shù)。晷景之度，事有明驗(yàn)，以求推之，近為詳矣”([17]，177- 178頁(yè))中可以看出他認(rèn)同這一古制，這是先人直至漢代以來(lái)的重要經(jīng)驗(yàn)，據(jù)此而得的夏至日影和南戴日下去地中距離也是確定的?；诖耍蹀瓿闪藴喬煺f(shuō)“天高數(shù)”和“周天里數(shù)”的數(shù)理構(gòu)建。他給出了一套精密的測(cè)量“天高數(shù)”和“周天里數(shù)”的方法，他在《渾天象說(shuō)》中說(shuō)：

誠(chéng)以八尺之表而有尺五寸景，是立八十而旁十五也。南萬(wàn)五千里而當(dāng)日下，則日當(dāng)去其下地八萬(wàn)里矣。從日邪射陽(yáng)城，則天徑之半也。以勾股法言之，旁萬(wàn)五千里則勾也，立八萬(wàn)里則股也，從日邪射陽(yáng)城則弦也。以勾股求弦法入之，得八萬(wàn)一千三百九十四里三十步五尺三寸六分，天徑之半，而地上去天之?dāng)?shù)也。倍之，得十六萬(wàn)二千七百八十八里六十一步四尺七寸二分，天徑之?dāng)?shù)也。以周率乘之，徑率約之，得五十一萬(wàn)三千六百八十七里六十八步一尺八寸二分，周天之?dāng)?shù)也。[17]

圖1 夏至表影長(zhǎng)與夏至日高關(guān)系圖

天徑之?dāng)?shù)=2×天徑之半=162 788里61步4尺7寸2分=162 788.206 0里；

王蕃首先根據(jù)相似勾股形對(duì)應(yīng)邊成比例和“日影千里差一寸”得出夏至日高數(shù)，再根據(jù)勾股術(shù)求得夏至“天高數(shù)”和天球直徑，進(jìn)而根據(jù)《乾象歷》圓周率得到“周天里數(shù)”。王蕃立足古代經(jīng)典測(cè)量數(shù)據(jù)，利用了當(dāng)時(shí)最優(yōu)秀的歷法《乾象歷》作者劉洪對(duì)周天度數(shù)和斗分的新認(rèn)識(shí)，特別是由此獲得的新圓周率，非常漂亮地解決了夏至“天高數(shù)”和“周天里數(shù)”問(wèn)題，在嘗試構(gòu)建渾天說(shuō)數(shù)理模型上邁出了第一步。王蕃這套方法也被南朝的祖暅所繼承。

祖暅《渾天論》批評(píng)《尚書(shū)考靈曜》中“天高數(shù)”是“既不顯求之術(shù)，而虛設(shè)其數(shù)，蓋夸誕之辭，非圣人之旨也”[18]。王蕃的做法符合祖暅數(shù)理模型構(gòu)建的期望，并且及時(shí)糾正了前人的錯(cuò)誤。所以，祖暅直接沿用了王蕃測(cè)得的“天高數(shù)”。此外，在《渾天論》中，他利用晷影測(cè)量進(jìn)一步計(jì)算了冬至、春秋分的日高數(shù)和南戴日下去地中數(shù)：

法，令表高八尺與冬至景長(zhǎng)一丈三尺各自乘，并而開(kāi)方除之為法，天高乘表高為實(shí)，實(shí)如法得四萬(wàn)二千六百五十八里有奇，即冬至日高也。以天高乘冬至景長(zhǎng)為實(shí)，實(shí)如法得六萬(wàn)九千三百二十里有奇，即冬至南戴日下去地中數(shù)也。求春秋分?jǐn)?shù)法，令表高及春秋分影長(zhǎng)五尺三寸九分各自乘，并而開(kāi)方除之為法。因冬至日高實(shí)，而以法除之，得六萬(wàn)七千五百二里有奇，即春秋分日高也。以天高乘春秋分影長(zhǎng)實(shí)，實(shí)如法而一，得四萬(wàn)五千四百七十九里有奇，即春秋分南戴日下去地中數(shù)也。[18]

圖2 日高數(shù)和南戴日下去地中數(shù)關(guān)系圖

漢魏至唐初，里、步、尺的換算關(guān)系為：1里=300步，1步=6尺。[23]以冬至法為例，天高81 394.103 0里=146 509 385.364 9尺，表高8尺，冬至影長(zhǎng)13尺，

祖暅延續(xù)王蕃的工作，進(jìn)一步完善了渾天數(shù)理模型。如果把王蕃夏至“日高數(shù)”和“天高數(shù)”視為渾天說(shuō)數(shù)理模型的特例，那么祖暅依據(jù)渾天家的傳統(tǒng)觀念——日行黃道——即太陽(yáng)附著在天殼上，直接將夏至“天高數(shù)”視為模型的定值。祖暅模型與《周髀算經(jīng)》中的蓋天說(shuō)模型相比，用一個(gè)“天高數(shù)”和“周天里數(shù)”解釋了二分二至共同擁有這個(gè)模型數(shù)據(jù)的合理性。相關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表2 祖暅渾天說(shuō)模型中的日高數(shù)和南戴日下去地中數(shù)

3 漢魏南北朝渾天說(shuō)數(shù)理模型的主要內(nèi)容

從上文看出，張衡初步構(gòu)建了渾天說(shuō)數(shù)理模型，并提出計(jì)算渾天說(shuō)天地邊界的思想，他沒(méi)有給出推算“天高數(shù)”和“周天里數(shù)”的合理方法。通過(guò)400多年的努力，陸績(jī)、王蕃、祖暅等渾天家在渾天說(shuō)假設(shè)的范圍內(nèi)不斷改進(jìn)、優(yōu)化這兩個(gè)數(shù)據(jù)，使得它們的數(shù)理基礎(chǔ)有章法可循。我們將漢魏南北朝之際渾天說(shuō)數(shù)理模型的特征總結(jié)為以下幾點(diǎn)：

第一，關(guān)于天地的形狀，在張衡渾天說(shuō)中，天為圓球，地在天中，是一個(gè)圓形平面。后世諸如蔡邕、陸績(jī)、王蕃、祖暅等均認(rèn)可張衡的圓球狀天球，其中祖暅強(qiáng)調(diào)“日去地中，冬夏春秋晨昏晝夜，皆同度也”[18]，更是具有高度代表性和概括性。太陽(yáng)與地中陽(yáng)城的距離在任意時(shí)刻都相同，即渾天上任一點(diǎn)到地中的距離均相等。

到祖暅為止，天高數(shù)和周天里數(shù)分別為81 394.103 0里、513 687.227 7里。

第四，北極和南極為天球的端點(diǎn)，天球繞南北極軸旋轉(zhuǎn)。基于古四分歷，地中陽(yáng)城的北極出地高度為36度，南極入地高度也為36度。但是古代很長(zhǎng)時(shí)間這個(gè)值是不變的([2]，146頁(yè))，對(duì)渾天家而言，如果不能正確地解釋北極高的變化，則模型的構(gòu)建是失敗的。祖暅在《渾天論》中給出推算“北極高數(shù)”和“北極下去地中數(shù)”的方法，“推北極里數(shù)法，夜于地中表南，傅地遙望北辰細(xì)星之末，令與端參合，以人目去表數(shù)及表高各自乘，并而開(kāi)方除之為法。天高乘表高數(shù)為實(shí)，實(shí)如法而一，即北極細(xì)星高地?cái)?shù)也。天高乘人目去表為實(shí)，實(shí)如法，即去北辰極下之?dāng)?shù)也”[18]。仿照?qǐng)D2的方法，具體計(jì)算公式如下：

祖暅做了北極高的實(shí)際測(cè)量，通過(guò)“傅地遙望北辰細(xì)星之末，令與端參合”的方法確定人目去表數(shù)。其中，由于“人目去表數(shù)”與具體觀測(cè)地點(diǎn)有關(guān)，不是一個(gè)確值，因此這個(gè)公式可以用在任何地點(diǎn)測(cè)量當(dāng)?shù)氐谋睒O高度，具有一般性。

4 從祖暅的天文實(shí)踐看他對(duì)渾天說(shuō)數(shù)理模型的進(jìn)一步構(gòu)建

祖暅在《渾天論》開(kāi)篇有，“仰觀辰極，傍矚四維；睹日月之升降，察五星之見(jiàn)伏；校之以儀象，覆之以晷漏；則渾天之理，信而有征”[18]，這表達(dá)了他對(duì)渾天說(shuō)數(shù)理模型的信念。祖暅對(duì)渾天說(shuō)數(shù)理模型“信而有征”的貢獻(xiàn)不止于完成冬至、春秋分日高以及南戴日下去地中距離的補(bǔ)充計(jì)算，他還討論了日月直徑關(guān)系、四季寒暑成因、地中位置的測(cè)定等內(nèi)容，這些可以看作是他對(duì)渾天說(shuō)數(shù)理模型的進(jìn)一步論證。

4.1 測(cè)算日月直徑關(guān)系

關(guān)于日月直徑的大小，《周髀算經(jīng)》采用相似勾股形的比例關(guān)系求得日月直徑為1 250里。([11]，28頁(yè)) 祖暅不同意此觀點(diǎn)，他認(rèn)為，“蓋天乖謬，已詳前識(shí)，無(wú)足采焉。以渾象言之，失于過(guò)大矣”([18]，184頁(yè))。

圖3 日月直徑與天高數(shù)關(guān)系圖

祖暅的日月直徑大小計(jì)算依賴于天高數(shù)和管長(zhǎng)，而且管長(zhǎng)可以按照具體觀測(cè)情況截取一定的長(zhǎng)度，截取一定長(zhǎng)度的目的是使得太陽(yáng)視圓面充滿管口，那就是說(shuō)如果管長(zhǎng)固定，不是總能獲得這個(gè)效果？這個(gè)問(wèn)題與實(shí)際操作有關(guān)，也與大氣折射現(xiàn)象有關(guān)。按照祖暅的公式，在地中的任何時(shí)間都可以直接測(cè)量太陽(yáng)的視直徑。遺憾的是，祖暅沒(méi)有給出日月直徑的具體數(shù)值。以上事實(shí)說(shuō)明祖暅進(jìn)行了實(shí)地觀測(cè)。

4.2 解釋四季寒暑成因

根據(jù)《漢書(shū)·天文志》的記載，“日，陽(yáng)也。陽(yáng)用事則日進(jìn)而北，晝進(jìn)而長(zhǎng)，陽(yáng)勝，故為溫暑；陰用事則日退而南，晝退而短，陰勝，故為涼寒也。故日進(jìn)為暑，退為寒”[31]，中國(guó)古代的渾天說(shuō)接受了這種說(shuō)法[32]，認(rèn)為四季寒暑可以歸因于陰陽(yáng)氣的自行進(jìn)退、消長(zhǎng)。

祖暅作為渾天家，沒(méi)有停留于接受傳統(tǒng)的陰陽(yáng)之氣進(jìn)退消長(zhǎng)之說(shuō)，而是提出了另外一種解釋，他說(shuō)：

日去赤道表里二十四度，遠(yuǎn)寒近暑而中和。二分之日去天頂三十六度，日去地中，冬夏春秋晨昏晝夜，皆同度也。而有寒暑者，地氣上騰，天氣下降，故遠(yuǎn)日下而寒，近日下而暑，非有遠(yuǎn)近也。猶火居上，雖遠(yuǎn)而炎；在旁，雖近而微。[18]

按照祖暅的說(shuō)法，太陽(yáng)在天球上運(yùn)動(dòng)，無(wú)論春夏秋冬，太陽(yáng)距地中陽(yáng)城的距離都是一樣的。之所以會(huì)有寒暑之分，是因?yàn)榈貧馍仙蛱鞖庀陆刀鸬?，而地氣或天氣的運(yùn)轉(zhuǎn)則與南戴日下到地中陽(yáng)城的距離有關(guān)。地中與南戴日下的距離近，天氣就炎熱；距離遠(yuǎn)，天氣就寒冷。祖暅做了一個(gè)很形象的比喻，用“火居上”或“在旁”來(lái)表示太陽(yáng)位置，這樣，導(dǎo)致四季寒暑直接原因是日高的大小，日在上，日高數(shù)大，天氣炎熱，反之寒冷。

祖暅的解釋最終歸因于日高大小決定四季寒暑。而現(xiàn)代天文學(xué)認(rèn)為，太陽(yáng)高度的變化影響了地球上同一地點(diǎn)得到的日照能量，從而形成了春夏秋冬四季。也就是說(shuō)，太陽(yáng)直射點(diǎn)位置和太陽(yáng)與地球的相互關(guān)系在不斷變化，而這種觀點(diǎn)可以與祖暅的解釋相對(duì)應(yīng)。如圖4所示，日高數(shù)相當(dāng)于太陽(yáng)與地球上直射點(diǎn)處的距離；南戴日下到地中陽(yáng)城的距離相當(dāng)于地球上直射點(diǎn)處與地中陽(yáng)城的距離，所以祖暅說(shuō)“居上，雖遠(yuǎn)而炎”、“在旁，雖近而微”。如此，祖暅的解釋具有一定的道理。雖然祖暅的“地平”觀點(diǎn)與現(xiàn)代意義上的“地球”觀念不同，但他將四季寒暑的成因與日高和南戴日下去地中距離聯(lián)系在一起，也體現(xiàn)了他的獨(dú)特見(jiàn)解。

圖4 四季寒暑的現(xiàn)代天文學(xué)解釋與祖暅日高和南戴日下去地中距離圖

我們不妨回顧一下《周髀算經(jīng)》蓋天說(shuō)的觀點(diǎn)，它認(rèn)為，“日遠(yuǎn)近為冬夏，非陰陽(yáng)之氣”([11]，56頁(yè))，即四季寒暑取決于太陽(yáng)的遠(yuǎn)近距離?？梢?jiàn)，祖暅沒(méi)有囿于蓋天說(shuō)的太陽(yáng)遠(yuǎn)近導(dǎo)致四季寒暑的觀點(diǎn)，而是把四季寒暑和“天高數(shù)”對(duì)應(yīng)起來(lái)。

4.3 嘗試建立測(cè)量地中的方法

前文我們已經(jīng)說(shuō)明，“天高數(shù)”是渾天說(shuō)數(shù)理模型中至關(guān)重要的一個(gè)數(shù)據(jù)，它代表的是地中到天球的距離，而這個(gè)數(shù)據(jù)是以精確的地中位置為基礎(chǔ)的。依照古人的認(rèn)識(shí)，地中是進(jìn)行天文測(cè)量的理想地點(diǎn)，只有在地中進(jìn)行的測(cè)量才最具權(quán)威性，數(shù)據(jù)才最可靠。[33]祖暅亦是如此，他在《渾天論》中進(jìn)行的觀測(cè)、數(shù)據(jù)推算，都是以“立于地中”為根本。中國(guó)古代的渾天家認(rèn)為陽(yáng)城是大地的中心，王蕃就曾提到“天體圓如彈丸，地處天之半，而陽(yáng)城為中”[17]。但陽(yáng)城所代表的只是一個(gè)范圍，它的幾何中心，即真正的地中在哪里？歷史上，祖暅的一項(xiàng)重要工作就是找到這個(gè)幾何中心的精確位置。

《隋書(shū)·天文志》中記載有祖暅推地中所用的“五表法”：

其法曰：先驗(yàn)昏旦，定刻漏，分辰次。乃立儀表于準(zhǔn)平之地，名曰南表。漏刻上水，居日之中，更立一表于南表影末，名曰中表。夜依中表，以望北極樞，而立北表，令參相直。三表皆以懸準(zhǔn)定，乃觀。三表直者，其立表之地，即當(dāng)子午之正?！M(jìn)退南北，求三表直正東西者，則其地處中，居卯酉之正也。([22]，522- 523頁(yè))

他通過(guò)漏刻與圭表的配合使用，來(lái)確定日中時(shí)刻日影與夜半北極方位對(duì)應(yīng)的南表、中表、北表處于同一直線上，以定出地的“東西之中”；確定春秋分太陽(yáng)的出沒(méi)方位對(duì)應(yīng)的東表、中表、西表位置，以定出地的“南北之中”；最后再依據(jù)中表的位置來(lái)定出地中。祖暅構(gòu)建了一個(gè)理想的方法，試圖精確測(cè)定地中位置。

由于“地中”概念以有限的地平說(shuō)為基礎(chǔ)。按照現(xiàn)代理論，在地球上的任何地點(diǎn)都可以測(cè)得正東西和正南北方向，任何地點(diǎn)都是當(dāng)?shù)氐牡刂形恢茫宰鏁湹姆椒▽?shí)際上并不能測(cè)出渾天的中心——地中，他給出的只能算是“影中”的測(cè)量方法，這也正是在史書(shū)中未能找到他給出的精確地中位置的原因。

5 “日影千里差一寸”與渾天說(shuō)數(shù)理模型的終結(jié)與失敗

從上文可知，在渾天說(shuō)數(shù)理模型的構(gòu)建過(guò)程中，王蕃根據(jù)《周禮》鄭玄注的說(shuō)法，應(yīng)用“日影千里差一寸”算得夏至“天高數(shù)”，祖暅將這一數(shù)據(jù)拓展為普適意義上的渾天說(shuō)“天高數(shù)”?！吨芏Y》鄭玄注、《周髀算經(jīng)》蓋天說(shuō)以及張衡、王蕃、祖暅等渾天家對(duì)古制“日影千里差一寸”都深信不疑。馮立昇就曾指出，這一說(shuō)法是渾天說(shuō)和蓋天說(shuō)共有的，以大地是平面為前提。[34]

我們進(jìn)一步考察“日影千里差一寸”的具體含義，其一，當(dāng)八尺表高固定時(shí)，如果在同一地點(diǎn)不同季節(jié)所測(cè)中午日影長(zhǎng)度相差一寸，那么兩次測(cè)量南戴日下的位置相距一千里；其二，如果南北兩地距離一千里，那么兩地同一天的中午日影長(zhǎng)度相差一寸。([34]，35頁(yè)) 既然“日影千里差一寸”是構(gòu)建渾天說(shuō)模型的重要依據(jù)，那它是否適用于測(cè)算渾天說(shuō)中任意位置的日高數(shù)據(jù)呢？根據(jù)上述兩種含義，我們作圖5加以說(shuō)明。

圖5 “日影千里差一寸”示意圖

設(shè)l1、l2分別為兩次測(cè)量的影長(zhǎng)，S1、S2分別為測(cè)量點(diǎn)到日下的距離，表高為h，日高為H。由于圖5-a中兩次觀測(cè)的日高不相等，兩次測(cè)量不構(gòu)成直觀的相似勾股形關(guān)系，那么，僅根據(jù)“日影千里差一寸”的第一種含義可得：

(1)

而根據(jù)圖5-b所示情況，由于日高為一定值，我們可以進(jìn)一步得到以下關(guān)系式：

(2)

為了驗(yàn)證這兩個(gè)關(guān)系式是否自洽于渾天說(shuō)數(shù)理模型，我們將祖暅計(jì)算的二分二至日高數(shù)和南戴日下去地中數(shù)代入其中。

祖暅曾經(jīng)實(shí)測(cè)得到二十四節(jié)氣晷影長(zhǎng)度[35]，把這些數(shù)據(jù)逐一代入上述兩個(gè)關(guān)系式，最終我們發(fā)現(xiàn)：只有按照第二種含義在夏至日測(cè)量時(shí)，同一天南北相距1 000里處的日影差滿足關(guān)系式(2)，而其他節(jié)氣的觀測(cè)值均不符合關(guān)系式(1)和(2)。

實(shí)際上，按照“日影千里差一寸”的第一種含義，只有當(dāng)日高H與表高h(yuǎn)的比值為定值1 000里/寸時(shí)，“日影千里差一寸”才能適用于渾天說(shuō)模型中相關(guān)距離的計(jì)算。由于渾天說(shuō)模型的“天”是一個(gè)球面，日高在不斷變化，日高與表高的比值也在變化。除了夏至日觀測(cè)的特殊情況外，“日影千里差一寸”并不適用于渾天說(shuō)數(shù)理模型。而王蕃、祖暅等人均沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這一致命缺陷。王蕃利用夏至日影測(cè)量的特殊情況計(jì)算“天高數(shù)”，祖暅未加分析直接運(yùn)用相似勾股形的比例關(guān)系，在實(shí)際構(gòu)建模型時(shí)罔顧“日影千里差一寸”的使用條件。但是值得肯定的是，祖暅重視實(shí)際天文測(cè)量，具有相當(dāng)?shù)乃銓W(xué)水平，特別是他在北極高測(cè)量、日月直徑關(guān)系、四季寒暑成因等模型構(gòu)建和解釋方面有許多創(chuàng)建。

祖暅之后，一些學(xué)者對(duì)古制“日影千里差一寸”提出質(zhì)疑。劉焯率先發(fā)難，“張衡、鄭玄、王蕃、陸績(jī)先儒等，皆以為景千里差一寸，言南戴日下，萬(wàn)五千里。表景正同，天高乃異?？贾惴ǎ貫椴豢?。寸差千里，亦無(wú)典據(jù)。明為意斷，事不可依”([22]，521-522頁(yè))，指出這一古制不能用于“天高數(shù)”和南戴日下去地中距離的計(jì)算。一行更是通過(guò)實(shí)地測(cè)量證明了“日影千里差一寸”與實(shí)際情況不符。唐開(kāi)元十二年(公元724年)，一行組織了全國(guó)的天文大地測(cè)量工作，得出正南北方向上的滑州白馬縣到上蔡武津縣的距離與影差關(guān)系為“大率五百二十六里二百七十步，影差二寸有馀”[36]，即南北相距526里270步影差2.05寸。據(jù)此，一行認(rèn)為“舊說(shuō)王畿千里，影差一寸，妄矣”[36]，從而推翻了“日影千里差一寸”的歷史說(shuō)法。

此外，渾天說(shuō)持“地平”觀點(diǎn)，渾天家沒(méi)有考慮到其實(shí)地中以外的人所看到的“天高數(shù)”和“周天里數(shù)”并不相同。渾天家賡續(xù)古代的地中說(shuō)，試圖把它作為前提，實(shí)際上地中并不存在。這些都使得渾天說(shuō)模型難以從邏輯上自洽，失敗也就必然了。

王蕃推算“天高數(shù)”和“周天里數(shù)”的方法固然給渾天說(shuō)數(shù)理模型提供了理論基礎(chǔ)，但“日影千里差一寸”之說(shuō)與渾天說(shuō)模型并不相容，一行將“日影千里差一寸”和王蕃的數(shù)據(jù)推翻后，后世的渾天家們?cè)贈(zèng)]有找到新的方法測(cè)算準(zhǔn)確的“天高數(shù)”，渾天說(shuō)數(shù)理模型的構(gòu)建也就以失敗告終。

6 結(jié) 語(yǔ)

本文在史料基礎(chǔ)上重點(diǎn)考證了漢魏以來(lái)400年間渾天說(shuō)數(shù)理模型的建立過(guò)程。張衡首先從數(shù)理上對(duì)渾天說(shuō)進(jìn)行了論述，他受西漢揚(yáng)雄《太玄》的影響嘗試推算渾天說(shuō)的天地尺度，他只給出了天地直徑的數(shù)據(jù)，而缺少相應(yīng)的測(cè)算依據(jù)。在張衡之后，陸績(jī)、王蕃、祖暅等渾天家先后加入到天地尺度的討論中，王蕃首次基于一定的測(cè)算原理給出“天高數(shù)”和“周天里數(shù)”。他的數(shù)理探索加進(jìn)古代歷法的最新成果，把渾天說(shuō)與歷算結(jié)合起來(lái)。祖暅認(rèn)同王蕃的數(shù)據(jù)和方法，同時(shí)補(bǔ)充了冬至、春秋分的相關(guān)數(shù)據(jù)和北極高度測(cè)算過(guò)程等。

祖暅應(yīng)用他的渾天說(shuō)模型解釋和論證了日月直徑關(guān)系、四季寒暑成因、測(cè)地中之法等的原理，其中不乏他的個(gè)人實(shí)踐與創(chuàng)造和模型嚴(yán)謹(jǐn)化的趨勢(shì)，這也驗(yàn)證了他對(duì)渾天說(shuō)數(shù)理模型“信而有征”的說(shuō)法。通過(guò)本文的討論，有助于學(xué)術(shù)界對(duì)渾天說(shuō)數(shù)理模型建立新的認(rèn)知。

本文最后從數(shù)學(xué)模型的角度分析了“日影千里差一寸”的適用條件，天地平行、日高固定是它的理想條件。由于渾天說(shuō)模型的“天”是一個(gè)球面，日高在不斷變化，日高與表高的比值也在變化。除了夏至日觀測(cè)的特殊情況外，王蕃和祖暅并沒(méi)有意識(shí)到“日影千里差一寸”在渾天說(shuō)模型中根本不能成立，也沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這一致命缺陷，所以他們構(gòu)建的數(shù)理模型以失敗告終。古制“日影千里差一寸”作為渾天說(shuō)的一條重要依據(jù)，到一行時(shí)被徹底推翻。

如文中所述，中國(guó)古代渾天說(shuō)數(shù)理模型雖然只有少數(shù)渾天家參與建構(gòu)，但是歷史上參與或至少關(guān)注此事的不乏一些數(shù)理天文學(xué)家，如張衡、劉洪、王蕃、何承天、祖沖之、祖暅、劉焯、一行等人，他們都有優(yōu)秀的歷法問(wèn)世，其中張衡也曾經(jīng)與周興共同完成了《九道法》。歷法推步不可避免地涉及周天度數(shù)、去極度、圓周率、日影測(cè)量、日月直徑、北極出地等概念，以上概念和理論也是渾天說(shuō)數(shù)理模型必須面對(duì)和解決的。由此可見(jiàn)傳統(tǒng)數(shù)理天文學(xué)與古代渾天說(shuō)非同尋常的關(guān)系。應(yīng)該說(shuō)，渾天說(shuō)在用數(shù)理解釋周天度數(shù)、去極度、北極出地等方面比蓋天說(shuō)具有明顯的優(yōu)勢(shì)，特別是它的圓周率一直跟進(jìn)古代歷算家的最新成果，采用漸進(jìn)分?jǐn)?shù)，這一點(diǎn)比《周髀算經(jīng)》的“周三徑一”要好很多。

致 謝感謝本文審稿專家提出的寶貴意見(jiàn)與建議。感謝本刊主編鄒大海先生耐心細(xì)致的修改建議!