王曉斐

(中國科學院 自然科學史研究所，北京 100190)

在18世紀，數(shù)學的發(fā)展與其主要應用領域，包括力學和天文學是不可分的。[1]純粹數(shù)學開始獲得其獨立性并與其應用領域分開發(fā)生在19世紀的德國，并伴隨著數(shù)學家的職業(yè)化和數(shù)學學科的建制化。①從19世紀下半葉開始，柏林成為重要的數(shù)學中心，出現(xiàn)了魏爾斯特拉斯(Karl Weierstrass，1815—1897)、庫默爾(Ernst Eduard Kummer，1810—1893)、克羅內(nèi)克(Leopold Kronecker，1823—1891)等重要數(shù)學家。對與應用無關(guān)的純粹數(shù)學的強調(diào)和興趣是這一時期柏林數(shù)學家工作的特點。[2- 3]但這些趨勢或特征在1794年巴黎綜合理工學院(école Polytechnique)建立之后已開始顯現(xiàn)。該校分析課(cours d’analyse)的設立是歐洲的高等教育機構(gòu)第一次開設數(shù)學分析課程②根據(jù)白魯諾(Bruno Belhoste)的考察，在大革命前，盡管已有多部有關(guān)分析學的書出版，也有個別教師教授過微積分的內(nèi)容，但少有教育機構(gòu)正式系統(tǒng)地開設此課程。[4]，因而可以看作是高等數(shù)學機構(gòu)化和學科化的一個開端。這為19世紀數(shù)學的發(fā)展提供了重要動力。正如數(shù)學史家羅威(David E. Rowe)所指出的：“在數(shù)學還沒有在歐洲的大學里享有特殊位置的時候，巴黎綜合理工學院伴隨著培養(yǎng)工程師課程的開設涌現(xiàn)了一群一流的數(shù)學家”。([2]，9頁) 先后擔任普魯士和巴黎皇家科學院院士的拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange，1736—1813)成為該校的第一位分析課教師，為分析學與其應用領域的分離和嚴格化奠定了思想基礎，推進了該學科的確立和發(fā)展。在拉格朗日和同校教師蒙日(Gaspard Monge，1746—1818)的影響下，該校選拔和培養(yǎng)了一批數(shù)學人才，他們繼而成為該?；蚱渌麢C構(gòu)的數(shù)學教師并致力于數(shù)學研究和數(shù)學教育。他們與其后繼者構(gòu)成了19世紀以教學和研究為職業(yè)的法國數(shù)學家群體，從而開啟了數(shù)學家職業(yè)化的一頁。(1)根據(jù)克羅斯蘭德(Maurice Crosland)的主張，法國大革命之后不同科學機構(gòu)包括教育機構(gòu)的建立使得科學成為一個“專業(yè)”，科學家因而開始職業(yè)化。新建立的教育機構(gòu)(包括高中l(wèi)ycées以及高等科學教育機構(gòu)facultés des sciences)開始開設數(shù)學、物理、化學等課程，因此提供了這些專業(yè)的教師職位。[5]弗郎克勒(Eugene Frankel)的文章以畢奧(Jean-Baptiste Biot，1774—1862)為例，展示了從巴黎綜合理工學院走出的畢業(yè)生進入高等或中等教育機構(gòu)成為數(shù)學教師并進行數(shù)學研究以及撰寫數(shù)學著作或教科書的職業(yè)生涯。弗郎克勒同樣也提到不可缺少的背景是法國大革命后對科學的需求急劇增長，從而帶來科學職位的增多。[6]19世紀德國的教育改革受到巴黎綜合理工學院的啟發(fā)和影響，使得數(shù)學在德國大學形成建制化。(2)巴黎綜合理工學院在建立之后就成為歐洲院校的典范，歐洲各國的貴族或官員階層很多對巴黎綜合理工學院的建制和課程發(fā)生興趣，也常有外國學生申請進入該學院學習。[7]19世紀德國的教育改革者以及柏林大學(現(xiàn)柏林洪堡大學)的建立者洪堡(William von Humboldt，1767—1835)的弟弟——博物學家亞歷山大·馮·洪堡(Alexander von Humboldt，1769—1859)與他的同胞克萊爾(Augustus Leopold Crelle，1780—1855)曾以巴黎綜合理工學院為榜樣嘗試建立一個綜合理工學?；驒C構(gòu)以促進數(shù)學和化學的教學，為推進德國的數(shù)學學科的建制化和發(fā)展做出重要貢獻。[8- 9]

現(xiàn)有關(guān)于巴黎綜合理工學院的分析課的研究重在強調(diào)柯西(Auguste Louis Cauchy，1789—1857)在該校教授的分析課，而較少關(guān)注該校早期課程的內(nèi)容以及課程之間的關(guān)聯(lián)。而有關(guān)以拉格朗日的分析課為基礎出版的數(shù)學著作的研究，則多聚焦于他的分析代數(shù)化思想，而較少關(guān)注其在分析的嚴格化和數(shù)學方法的統(tǒng)一化上的工作。本文通過分析相關(guān)歷史與境和原始文獻，將從三個方面指出拉格朗日的分析課的關(guān)鍵思想及其方法論，說明他如何將分析與幾何學和力學分開，對分析進行嚴格化和推進純粹數(shù)學的理論；此外，本文將對巴黎綜合理工學院人才選拔和培養(yǎng)的方式進行探討，并闡明該校如何在拉格朗日和蒙日的影響下營造了開展數(shù)學研究的氛圍，從而造就了眾多19世紀重要的法國數(shù)學家，對推進數(shù)學發(fā)展做出貢獻。

1 巴黎綜合理工學院的建立及其制度

18世紀末，在法國大革命的背景下，法國的教育及科學改革同時進行。繼舊制度下的軍事和工程專科院校，如梅濟耶爾皇家工程學校(école royale du génie de Mézière)和皇家橋梁和道路學院(école royale des ponts et chaussées)(3)前者建立于1748年，后者建于1747年。這兩所學校在大革命后均被恢復，后者今天仍然是法國“大學?！斌w系中的成員。有關(guān)舊制度下這兩所學校的工程師教育可參考文獻[10]。紛紛關(guān)閉或停課之后，巴黎綜合理工學院于1794年建立，其目標是擔負起所有這些?？圃盒l(fā)揮的作用。([7]，26- 27頁) 作為大革命時期公共安全委員會(Comité de salut public)的科學顧問之一，蒙日支持和創(chuàng)建了巴黎綜合理工學院。(4)在創(chuàng)建之初，該校的名字為中央公共工程學院(école centrale des travaux publics)，后改名為綜合理工學院。中文文獻中對巴黎綜合理工學院建立早期的制度的專門研究有：姚大志的《理念、制度和爭論——巴黎綜合理工學院的建立及早期發(fā)展》(《工程研究》，2017年第9卷第6期，第644- 655頁)，姚大志、孫承晟著《科技革命與法國現(xiàn)代化》(山東教育出版社，2017年)。盡管該校的重要任務是培養(yǎng)國家需要的軍事和建設方面的工程師，但在蒙日的設計中，該校同時要促進科學和技藝的發(fā)展，為其他院校樹立榜樣并引導最優(yōu)秀的學生以學術(shù)為業(yè)?！毒C合理工學院院刊》(Journaldel’écolePolytechnique，以下簡稱《院刊》)的創(chuàng)刊號說明了第一批學生的招收、培養(yǎng)目標和課程要求：

elle (l’école) doit contenir environ quatre cents élèves， ayant déj， dans un examen， fait preuve d’intelligence et de connaissances acquises sur les élémens[éléments] d’arithmétique， d’algèbre et de géométrie; qu’enfin ces élèves étant destinésremplir un jour， soit des fonctions d’ingénieurs de différens [différents] genres， soit des professions particulières qui exigent des hommes éclairés dans les sciences ou les arts， on leur apprend les parties de mathématiques et de physique qui sont effectivement la base des connaissances nécessairesl’exercice de ces divers états.[11]

(學校)招收大約四百名學生，他們通過考試已經(jīng)證明了自己的智力和在算術(shù)、代數(shù)以及幾何方面的基礎知識；這些學生將成為服務于不同部門的工程師，或者從事于需要科學和技藝的知識的領域，在這里他們將學習數(shù)學和物理，(這兩門課程)對從事多種行業(yè)都是必備的基礎知識。

《院刊》創(chuàng)辦的動機之一便是提供發(fā)表學院的管理和教學內(nèi)容的平臺，引導學術(shù)的方向，從而推廣科學和技藝的有用知識并激發(fā)新的發(fā)現(xiàn)和應用。([11]，i頁) 該院刊以及后來由阿歇特(John Nicolas Pierre Hachette，1769—1834)(5)阿歇特長期作為蒙日的學生和助手，在蒙日之后為射影幾何的發(fā)展做出重要貢獻。創(chuàng)辦的專門發(fā)表畢業(yè)生或在校生的研究成果的《綜合理工學院通訊》(Correspondencessurl’écolepolytechnique，以下簡稱《通訊》)為營造綜合理工學院內(nèi)的學術(shù)研究氛圍起到了重要作用。本文將在第三部分詳細論述這些刊物如何推進了學院內(nèi)外的數(shù)學研究。

因此我們看到，巴黎綜合理工學院建立之初的設想并不僅僅是培養(yǎng)專業(yè)方向的工程師，同時也致力于促進理論研究和推動科學發(fā)展。正如數(shù)學史家董卜爾(Jean Dhombres)所指出的，早期該校的創(chuàng)建人蒙日及拉普拉斯(Pierre-Simon de Laplace，1749—1827)認為該校應秉持“在教學中采用最一般性的以及最具理論性的方法，以及最具確定性的和最新的方法，以增強應用的范圍和可能性，課程大綱中會包含一些應用的內(nèi)容并進行實踐?！盵12]這說明這些19世紀的數(shù)學家認識到并強調(diào)理論是應用的基礎，理論的掌握能夠更廣泛地發(fā)揮實際應用的能力。

這一點與歐拉(Leonhard Euler，1707—1783)及拉格朗日要將分析學(6)巴黎綜合理工學院的分析課的主要內(nèi)容是微積分及其在幾何和力學上的應用。由于本文聚焦巴黎綜合理工學院的分析課，在文中提及的分析(學)特別指的是這一部分內(nèi)容。分析的涵義歷經(jīng)演變。在古希臘，分析和綜合是幾何證明中的兩個不同部分。帕普斯(Pappus of Alexandria，約290—350)給出了不同類型分析方法和綜合方法的定義。一般來說，分析是一種將所面對的問題的解假設為已知并由其逐步推導直至到達一個已知正確或矛盾的結(jié)論的方法，而綜合則是這一過程的逆向過程。分析被看作是發(fā)現(xiàn)的方法，而綜合是證明的方法。17世紀以后，分析與代數(shù)解方程法相結(jié)合，幾何分析被逐漸取代。18世紀開始，“代數(shù)分析”(algebraic analysis)成為一個分支，以有限量為對象。涉及無窮小量運算的微積分則被稱為無窮分析。([4]，232頁；[13])理論及其應用領域分開是有共性的。拉格朗日的目標甚至比蒙日更加趨向理論化和一般化，這從他們雙方對待幾何學的不同態(tài)度即可看出。對蒙日而言，分析學與幾何學應當緊密聯(lián)系，因為它們之間是相互依賴的關(guān)系，后者可為前者提供視覺上的支持。而在拉格朗日看來，分析學應當與幾何學以及力學分開，因為后兩者在本質(zhì)上與前者是不相同的。([4]，237—238頁) 換言之，拉格朗日的目的是使分析學成為自洽的獨立學科，而不再依附于幾何學、力學和其他應用領域。這構(gòu)成了推動19世紀純粹數(shù)學發(fā)展的一股重要力量。

我將在下文中對拉格朗日的課程以及他在分析學理論及微積分基礎上所做的努力進行闡釋，并說明拉格朗日如何影響了綜合理工范圍內(nèi)的純粹數(shù)學研究。在最后本文將說明和強調(diào)該校的組長及助教制度培養(yǎng)出了學生中科學研究的先鋒，繼而形成了19世紀法國的數(shù)學人才群體，開啟了數(shù)學家職業(yè)化的一頁。

2 拉格朗日分析課的核心思想

拉格朗日的課程開始于1795年5月，其課程的內(nèi)容由算術(shù)和代數(shù)基礎展開，然后到達微積分理論及其對幾何問題和力學的應用。(7)普額尼(Gaspard de Prony，1755—1839)對拉格朗日在巴黎綜合理工學院的課程的記錄描述了后者的課程內(nèi)容。[14]在巴黎綜合理工學院建立之初，由蒙日設計的數(shù)學分析課程包含三個部分，學生在第一年學習“分析學的一般理論并將其應用于畫法幾何”，第二年學習分析“對力學和固體的平衡及運動規(guī)律的應用”，第三年則致力于“分析對流體的平衡和運動規(guī)律的應用”，(8)參見《中央公共工程學院采用的教學規(guī)劃》(Les Développemens sur l’enseignement adopté pour l’école centrale des travaux publics)。([15]，247- 250頁)但拉格朗日的課程則更多聚焦于微積分原理及其方法。

2.1 拉格朗日的微分原理

微積分應建立在何種方法之上是拉格朗日的分析課要關(guān)注的主要問題。在1795年至1799年教授的課程基礎上，拉格朗日分別于1797年和1801年發(fā)表了兩部分析學的重要著作，即《解析函數(shù)論》(Théoriedesfonctionsanalytiques)和《函數(shù)計算講義》(Le?onssurlecaluldesfonctions)。(9)有關(guān)拉格朗日的微積分思想和方法的論述，本文將主要參考這兩部著作的第一版，僅在論述中涉及不同版本的差別時另做說明。前者由兩個部分構(gòu)成，第一部分是微分的一般性理論，第二部分是微分理論對幾何學和力學的應用。這一劃分反映出拉格朗日要將分析學與幾何、力學等學科分開的想法。在此，拉格朗日將分析學看作為獨立的、可應用于幾何學和力學的分支。拉格朗日要使分析獨立于幾何、物理等學科，就要避免在分析學的方法和原理中引入幾何、物理的概念或方法。第二部著作是對微分理論的進一步發(fā)展，但不包含應用部分。這兩本著作都不包含積分的內(nèi)容，因為在拉格朗日看來，積分是微分的反向過程，它們建立在同樣的方法和原理之上。(10)拉格朗日稱微分為函數(shù)的“正向分析”(direct analysis)，積分為函數(shù)的“反向分析”(inverse analysis)。[16]

《解析函數(shù)論》封面上寫著：“(本書)包含微分的原理，避免了所有對無窮小量、正在消失的量，極限以及流數(shù)的使用，并歸于有限量的代數(shù)分析”。(11)原文為：contenant les principes du calcul différentiel, dégagé de toute considération d’infiniment petits ou d’évanouissans, de limites ou de fluxions, et réduits l’analyse algébrique des quantités finies。([16]，封面)這表明了拉格朗日的三重意圖。首先，拉格朗日要強調(diào)和重申微積分的原理，即正視和解決關(guān)于微積分基礎的問題。其次，拉格朗日要拋棄其前人賦予微積分的概念或采用的方法。最后，拉格朗日意圖將微積分與代數(shù)統(tǒng)一起來。筆者將在下文對這三個方面進一步論述，說明拉格朗日分析課的突破性和思想貢獻。

18世紀的歐洲，微積分在力學、光學等領域應用取得的成果，激發(fā)數(shù)學家不斷推進這些應用方向的發(fā)展。當然，對具體物理問題的研究引發(fā)了新的數(shù)學研究內(nèi)容和研究方法，如流體力學和彈性理論等，在本質(zhì)上推進了數(shù)學本身的發(fā)展。但個別的數(shù)學家發(fā)現(xiàn)這些所有成果都建立在尚不穩(wěn)固的數(shù)學基礎上。事實上，哲學家和數(shù)學家們幾乎從未中斷過質(zhì)疑作為微積分基礎的無窮小概念，但在其應用性能夠保證結(jié)果正確的前提下，大多數(shù)數(shù)學家并未為此感到煩擾。直至1755年，歐拉將微積分理論作為單獨的整體進行發(fā)表，即著名的《微積分基礎》(InstitutionesCalculidifferentialis)(12)該書由John Blanton翻譯為英文。[17]，這一學科開始代數(shù)化，并逐步與幾何、力學及其他應用領域分離。之后的數(shù)學家，特別是拉格朗日不斷跟進這一做法。早在1772年拉格朗日在一篇關(guān)于微分算子的論文[18](13)考普曼(Elaine Koppelman)研究了拉格朗日1772年論文對算子演算方法的開創(chuàng)性貢獻以及對英國代數(shù)學派的影響。[19]中涉及了微積分基本方法，但之后很長時間沒有回到這一問題上，直至1795年開始在巴黎綜合理工學院教授分析課程。這一教學活動為拉格朗日提供了思考和改進微積分原理及理論基礎的機會。[20]

拉格朗日的主張是將微積分建立在級數(shù)的一般展開式上。從17世紀中期開始，一些與幾何相關(guān)的數(shù)量如正弦、切線及對數(shù)等被發(fā)現(xiàn)可以展開為冪級數(shù)。這使得這些量或數(shù)學概念可以脫離幾何，完全由代數(shù)符號表示并進行運算。對牛頓(Isaac Newton，1643—1727)以后、柯西以前的數(shù)學家來說，無窮冪級數(shù)的運算與有限代數(shù)表達式的運算是沒有區(qū)別的。[21]歐拉將級數(shù)展開變成一個研究函數(shù)特性的重要方法，特別是對對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)等超越函數(shù)。到18世紀末，盡管已經(jīng)出現(xiàn)一些對級數(shù)收斂性的考察，但基本都是針對特殊數(shù)值的級數(shù)，而所有函數(shù)都可以一般性地展開為一個無窮冪級數(shù)為18世紀數(shù)學家普遍接受。(14)在不同時期函數(shù)的概念、范圍以及對它的認識有所不同。歐拉以及拉格朗日等18世紀的數(shù)學家所認識的函數(shù)通過他們對函數(shù)的定義即可發(fā)現(xiàn)，函數(shù)是一個由變量和常量通過代數(shù)運算或者與超越函數(shù)對應的運算而得到的單一表達式，或是由多個不同的表達式組合而成。而無論是一般的代數(shù)函數(shù)或是對數(shù)、指數(shù)等超越函數(shù)，對18世紀的數(shù)學家都是已知可展開為冪級數(shù)的，因而這保證了任意(當時已知的)函數(shù)都可以一般地展開為一個冪級數(shù)。歐拉和拉格朗日本人也都說明已有的函數(shù)的展開式將證實這一點。[22]對18世紀的無窮級數(shù)及函數(shù)的認識，參見文獻[23，24]。拉格朗日的方法正是基于這些對函數(shù)及級數(shù)展開式關(guān)系的認識。

在其《解析函數(shù)論》中，拉格朗日證明對任意一個函數(shù)f(x)，x為變量，i為變量x的增量，則函數(shù)f(x+i)可以寫成以下的形式：

(1)

在這一形式中，f(x)被拉格朗日稱為原函數(shù)(primitive function)，而f′(x)，f″(x)，f?(x)等被稱為導函數(shù)(derived functions)。([16]，14- 15頁) 之前的數(shù)學史家如波約(Carl B. Boyer)、弗瑞澤(Craig Fraser)均將此展開式看作泰勒展開式，因而認為拉格朗日的方法是建立在泰勒定理上。([23]，319頁；[25- 27]) 但事實上，這一形式是由一個更一般的冪級數(shù)展開式推導而來。(15)拉格朗日給出的f(x+i)的更一般的形式為f(x)+pi+qi2+ri3+si3+etc.，這是拉格朗日方法的出發(fā)點，即沒有任何預設的最一般的函數(shù)展開式。([16]，2頁)從拉格朗日推導給出上式的過程看，拉格朗日的方法并未預設泰勒展開式。其次，拉格朗日在其方法中避免引入任何無窮小、極限、流數(shù)等概念或方法，而是從最一般的運算概念出發(fā)，這與建立在變量變化速率和流數(shù)方法上的泰勒展開式有本質(zhì)不同。因而從這一歷史視角出發(fā)，本文認為將此式直接看作是泰勒展開式不符合拉格朗日的思想。(16)文獻[28]也指出拉格朗日的證明并不需要無窮分析的知識作為前提。盡管只要引入無窮小量，此式很容易化作泰勒展開式，對此拉格朗日在其1772年的論文中給出過一個證明。拉格朗日這樣做是為了說明他的導函數(shù)方法與無窮小方法是等價的。但如我們已經(jīng)提到的，拒絕在其分析方法中使用算術(shù)和代數(shù)運算以外的概念，是拉格朗日的基本思想。如果將他的展開式看作為泰勒展開式，無疑會疏漏他對分析學的這一哲學性思考。

此外，拉格朗日從一般展開式出發(fā)到上式的推導過程顯示出相鄰的導函數(shù)之間存在一致的關(guān)聯(lián)，即fn(x)是fn-1(x+i)的一般展開式中i的一次冪的系數(shù)(n=1，2，3…，假設將原函數(shù)標記為f0(x)。而且所有的fn(x+i)(n=0，1，2，3…)展開的方法是一致的。(17)此處所用符號并非拉格朗日所用，但不違背拉格朗日的思想。本文采用的這些符號是為說明展開式中前后項之間的關(guān)系。如此，對任一函數(shù)的變量給予一個增量，將該函數(shù)展開為關(guān)于這一增量的冪級數(shù)，只要找到展開式中該增量一次冪的系數(shù)便找到了原函數(shù)的一次導函數(shù)。二次以及更高次的導函數(shù)皆可以此算法找到。換句話說，只要找到原函數(shù)展開式的前兩項即可找到該函數(shù)的所有導函數(shù)。這一導函數(shù)統(tǒng)一的算法無疑簡化了拉格朗日的微積分方法。

在1772年的論文中，拉格朗日便聲明函數(shù)的級數(shù)展開式理論包含了微分的真正原理。([18]，446- 447頁) 在《解析函數(shù)論》中，拉格朗日首先對這一展開式給出了一個證明，他證明在該式中i的所有冪次都是正整數(shù)。([16]，7- 8頁) 以現(xiàn)代視角看，這一證明是不嚴格的。但這樣看顯然是年代誤植(anachronic)和當下主義(presentistic)的。此種視角以當下為準，將歷史闡釋為一系列通向現(xiàn)代的進步的過程，而忽視了相應歷史時代的社會和思想背景。此外，本文意欲說明拉格朗日強調(diào)的是函數(shù)的一般冪級數(shù)展開式，即變量x和i必須是不定的，當它們?nèi)√厥庵禃r對應級數(shù)則可能出現(xiàn)無法收斂或者冪次不為整數(shù)的情況，對此拉格朗日是忽略的，因為他的目標是通過函數(shù)的一般展開式獲得各項冪次的系數(shù)，即導函數(shù)。而展開式本身是作為達到這一目的的一個手段。在1801年《函數(shù)計算講義》發(fā)表時，拉格朗日更清晰地指出了導函數(shù)與展開式的關(guān)系：

Le développement des fonctions， envisagé d’une mainière générale， donne naissance aux fonctions dérivées de différens ordres; et l’algorithme de ces fonctions une fois trouvé， on peut les considerer en elles-mêmes et indépendamment des series d’où elles résultent.[29]

函數(shù)的一般展開式可以給出該函數(shù)的所有導函數(shù)；而一旦明確導函數(shù)之間的算法，它們便可以獨立于展開式成為研究的對象。如此，對一個原函數(shù)，通過簡單的和一致的方法我們將獲得它的所有導函數(shù)。

由此可以說明在拉格朗日的方法中展開式的作用在于：通過一般展開式(1)，拉格朗日定義了任意函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)，f″(x)，f?(x)，etc.，即原函數(shù)變量為x+i時展開式中i的各冪次的系數(shù)(忽略其中的常數(shù))。而導函數(shù)的計算則依靠它們之間存在的一致算法關(guān)系。本文將給出一個簡單的例子，更進一步說明拉格朗日獲得導函數(shù)的方法。在求冪函數(shù)xm(m不為零)的導函數(shù)時，拉格朗日首先對原函數(shù)的變量增加一個任意小的變量i，從而原函數(shù)變?yōu)?x+i)m，應用一般的算術(shù)方法將該式展開，其前兩項應為xm+mxm-1i。因而原函數(shù)的導函數(shù)則為mxm-1。這里很容易找出導函數(shù)與原函數(shù)之間的算法關(guān)系。如此，拉格朗日直接給出原函數(shù)的二階導函數(shù)為m(m-1)xm-2。以此類推得到xm其他高階導函數(shù)。([16]，15頁)(18)拉格朗日在《函數(shù)計算講義》一書中采用了一個更一般和嚴格的方法獲得xm的展開式，即不預設m為有理數(shù)。([29]，25- 30頁)

由此可以看到，在計算導函數(shù)時，拉格朗日并不依賴原函數(shù)的一般展開式。正是由于這一原因，本文提出展開式是拉格朗日對導函數(shù)進行定義時采用的工具，而不是其方法的核心。這也說明拉格朗日的方法并非建立在泰勒公式的基礎上。

2.2 拉格朗日的分析學嚴格化和數(shù)學方法統(tǒng)一化

如前文所述，在拉格朗日的方法中，只要找到函數(shù)展開式的前兩項而無需給出更多或所有項即可找到其一次導函數(shù)，重復這一過程可找到更高次的導函數(shù)。另外值得強調(diào)的是，拉格朗日是當時為數(shù)不多的試圖對任意函數(shù)的冪級數(shù)展開式進行證明的數(shù)學家，在他看來如此才能保證把分析學建立在堅實的基礎之上。([16]，7頁)(19)拉格朗日本人認為在他之前沒有數(shù)學家對展開式的形式給出過證明。對拉格朗日這一證明的討論，參見文獻[26]，41- 42頁。在18世紀，多數(shù)數(shù)學家很少關(guān)注分析的基礎的問題。自1738年貝克萊(George Berkeley，1685—1753)主教發(fā)表著名的《分析學家：給一個無宗教信仰的數(shù)學家的一封信》(TheAnalyst)[30]對微積分的基礎概念攻擊以來，一些數(shù)學家試圖彌補微積分所缺失的嚴格性。拉格朗日是其中之一，他不但對貝克萊提出的質(zhì)疑抱著嚴肅的態(tài)度且持續(xù)對微積分原理和本質(zhì)進行思考(20)拉格朗日1754年寫給歐拉的一封信說明他至少此時已開始思考和關(guān)注微積分基本原理。([25]，252頁)。歷史學家格萊畢娜(Judith V. Grabiner)在她的著作《柯西嚴格分析的起源》(TheOriginsofCauchy’sRigorousCalculus)中分析指出拉格朗日主持了普魯士科學院1786年的有獎問題(prize problem)，他希望數(shù)學家能夠?qū)o窮分析的原理給出嚴格的解釋。[31]對這一問題的重視反映出拉格朗日從此時開始嚴格化分析學的愿望。

《解析函數(shù)論》是拉格朗日本人對此做出的回答，也是對貝克萊所提問題的一個回應。拉格朗日與貝克萊所持的對無窮小量、流數(shù)和極限的質(zhì)疑和意見基本一致。在《解析函數(shù)論》及《函數(shù)計算講義》的前言中，拉格朗日對前人采用的微積分概念逐一分析，說明這些概念或相應方法的無法證明之處或不嚴格和晦澀之處，并拒絕在其分析著作中采用這些概念或方法。這說明拉格朗日在認識和理解這些前人方法時帶有一定的認識論價值標準。通過深入分析拉格朗日對微積分不同方法的描述和他對這些概念的評判，筆者在《古希臘文本與分析的嚴格化》一文中揭示出拉格朗日在其分析學著作中追求的四項認識論價值，即一般性、簡單性、嚴格性和清晰性(21)該文用英文發(fā)表，題目為“Greek Texts and the Rigorization of Analysis: An Inquiry into Lagrange’s Work on the History of Mathematics”(《古希臘文本與分析的嚴格化：對拉格朗日的數(shù)學史工作的研究》)。[32]。拉格朗日以這些價值作為標準，尋找并確立微積分的基礎方法。這是他嚴格化分析學的一個層面。另一個層面是他宣稱要將古希臘證明中的嚴格性引入其分析著作，并在分析學在幾何上的應用問題中實踐了這一想法。在這一意義上，拉格朗日早于柯西已經(jīng)開始了分析的嚴格化，盡管他們對嚴格性的認識有所不同。(22)與拉格朗日不同，對柯西來說，任意地使用函數(shù)的一般級數(shù)展開式是不嚴格的。后者強調(diào)級數(shù)的收斂性和公式的成立條件，并且認為對極限、連續(xù)等最基本概念要給出更準確的定義。對柯西的分析嚴格化的研究可參見[31]。嚴格性概念本身是歷史性的，也就是說隨著時代和思想背景的不同，對嚴格性的認識是變化的。數(shù)學家依據(jù)其對數(shù)學的不同看法、所持有的不同數(shù)學方法或不同的認識論價值都會造成對嚴格性的認識不同，更多討論參見文獻[33]。

最后，拉格朗日要將其函數(shù)分析，即所謂的微積分或無窮分析與以有限量為對象的“代數(shù)分析”統(tǒng)一起來。在其分析課中，拉格朗日表明微積分不應使用任何代數(shù)以外的語言，他反對牛頓的流數(shù)概念亦緣于此，他反對將速度和運動等物理概念引入數(shù)學，而且牛頓的方法無法與幾何分開。拉格朗日也反對微積分中使用不清晰的概念，如達朗貝爾(Jean le Rond d’Alembert，1717—1783)的極限方法中出現(xiàn)0與0的比的時刻。([16]，3- 4頁；[29]，7- 9頁) 對拉格朗日來說，“分析學，應當避免任何形而上學，而應僅僅建立在運算的基本原理之上”。(23)原文為： l’analyse, qui ne doit avoir d’autres métaphysique que celle qui consiste dans les premiers principes et dans les premières operations fondamentales du calcul。([29]，8頁)這也是拉格朗日將微積分建立在冪級數(shù)展開式方法之上的重要原因之一。冪級數(shù)展開式方法中涉及的運算與代數(shù)是一致的。(24)拉格朗日對代數(shù)運算有一個廣泛的定義，包含了通過冪級數(shù)展開式獲得導函數(shù)的運算。([29]，11頁)筆者在前文中提到過拉格朗日在巴黎綜合理工學院的課程內(nèi)容除了無窮分析還包括算術(shù)和代數(shù)基礎。目前很少有數(shù)學史家強調(diào)這一點，但事實上拉格朗日對其課程的設計反映了其對數(shù)學各分支方法進行統(tǒng)一化的思想。(25)在一篇拉格朗日的手稿中，拉格朗日說明了其數(shù)學課程設計的思路。該手稿由L. Pepe發(fā)表。[34]對拉格朗日而言，整個數(shù)學應建立在算術(shù)-代數(shù)運算的基礎上，微積分應與代數(shù)結(jié)合并在方法上取得統(tǒng)一，并且它們都獨立于幾何學、力學及物理學等應用領域。[35]

盡管19世紀微積分的發(fā)展沒有沿著拉格朗日的代數(shù)化思想前行，但他在嚴格化分析學以及發(fā)展純粹數(shù)學理論和關(guān)注數(shù)學基礎等方面都做出了重要貢獻并發(fā)揮了先驅(qū)的作用。拉格朗日在分析學的思想、工具和定理上發(fā)展出新的內(nèi)容，包括函數(shù)變換、余項定理，以及接近現(xiàn)代分析的一些方法。這些都被其后繼者包括柯西用于推進分析學及其應用領域，促進了19世紀經(jīng)典分析的產(chǎn)生和發(fā)展。([31]，46頁)

數(shù)學史家白魯諾指出，盡管在巴黎綜合理工學院內(nèi)部，拉格朗日和蒙日的課程對大多數(shù)學生由于難度過高而變成邊緣和選修的課程，但無論在該學院范圍之內(nèi)還是之外它們都產(chǎn)生了重要影響，以這些課程為基礎發(fā)表的著作成為19世紀數(shù)學家的重要讀物和參考。([4]，238- 239頁) 學院鼓勵最優(yōu)秀的學生對所教授的內(nèi)容進行探究，拉格朗日課程的較高難度可能恰恰給他們提供了進一步學習和研究的契機，帶動他們對分析課的內(nèi)容和方法進行探索。該校重視并監(jiān)督學生的自修時間，保證了學生自行掌握所學內(nèi)容。(26)拉普拉斯作為學院的畢業(yè)考試常任考官(examinateur de sortie)，對學院的教學以及學生的學習有很大影響。在他的建議下，學院的分析課從1797年開始由每十天2次增加到3次，1800年增加到4次，并規(guī)定每個學生在數(shù)學課當天自修數(shù)學的時間至少在兩個小時。([4]，246- 247頁)。很多優(yōu)秀學生最終選擇成為數(shù)學教師并開展數(shù)學研究，構(gòu)成了19世紀推進數(shù)學學科發(fā)展的重要力量。下文將對巴黎綜合理工學院的學生培養(yǎng)和管理方式進行闡釋，以展示這些方面如何對該校的數(shù)學教學和數(shù)學研究發(fā)揮積極作用。

3 巴黎綜合理工學院的數(shù)學人才培養(yǎng)

巴黎綜合理工學院建立之初，為了加快人才培養(yǎng)為國家效力，該學院設計了“非常課程”(cours révolutionaire)(27)這一課程沿用了蒙日在大革命期間設計的培養(yǎng)軍事人才的快速方法，這也是1794年巴黎高師快速培養(yǎng)教師的方式。([4]，112- 113頁) 本文將此翻譯為“非常課程”，從而與之后的常規(guī)課程形成對照。關(guān)于“非常課程”的更詳盡內(nèi)容，見文獻[15]。，旨在三個月內(nèi)讓學生快速學習各門課程的所有重要內(nèi)容。之后，他們將參加考試并按成績被分成三個水平等級，最差一級的學生將在完成三年的學習之后參加畢業(yè)考試，而第二等級和最高等級的學生在完成兩年的學習之后即可參加畢業(yè)考試。(28)這是第一年招收的學生的分配和上課情況，之后招收的學生則按順序完成三年的課程才能參加畢業(yè)考試。1798年之后學制由三年改為兩年。([7]，72頁)第一批招收的大約四百名學生于1794年11月入學，他們在完成三個月的“非常課程”并被分配年級之后，于1795年5月開始進入常規(guī)的課程學習。

3.1 優(yōu)秀學生的培養(yǎng)和選拔

學院的《院刊》在第三期刊出了各學年各門課程的內(nèi)容大綱和時間安排，也規(guī)定了組長(chef de brigade)的職責。以數(shù)學課為例，每個年級每十天(29)在法國大革命期間，法國采取十天(décade)作為一個時間單位，一個月由三個十天組成，在之后改為以一星期七天為單位。有兩天學習數(shù)學，“射影幾何課從早上八點開始，九點多結(jié)束。之后，學生被組長帶到指定的教室進行自修并做課后作業(yè)至下午兩點。下午五點至晚上八點是分析課和繪圖課?！盵36]每個年級的學生以20人為單位分成不同的學習小組，每個小組設一名組長。組長是從最優(yōu)秀的畢業(yè)生中選拔出來并由學院院長任命的，他們的職責是課后帶領及指導所負責小組的學生進行試驗和課后復習，并解答他們的問題。([36]，xij- xiij頁) 這一機制繼承自蒙日在梅濟耶爾學院時期培養(yǎng)并引導部分優(yōu)異的學生自行進行課外研究的想法。

第一批巴黎綜合理工學院的25名組長在該學院常規(guī)課程開始前從50名優(yōu)異者中遴選出來。從1798年起，每門課程從組長中選出2—3名優(yōu)異者作為助教(repetiteur)。分析課的助教由迪內(nèi)(Charles Lous Dinet，1775—1856)及佛蘭克爾(Louis Benjamin Francoeur，1773—1849)擔任，后期又增加了泊松(Siméon Denis Poisson，1781—1840)。(30)根據(jù)巴黎綜合理工學院的錄取記錄，迪內(nèi)、佛蘭克爾均于1794年進入該校，后者也是第一批25個組長之一。泊松于1798年進入該校，并被選為組長。助教在大教室為學生復習和強化上一次課程的內(nèi)容和重點，并在晚間自習的時間為組長進行復習。([4]，188、247頁) 在督促和指導其他學生的實驗以及課后作業(yè)之外，組長和助教們針對拉格朗日以及蒙日等教師所教授的內(nèi)容展開自己的研究。研究的成果被鼓勵發(fā)表在學院的《院刊》或是后來創(chuàng)辦的《通訊》上。學院的《院刊》主要刊登教師的授課內(nèi)容和與課程相關(guān)的研究。拉格朗日的《解析函數(shù)論》和《函數(shù)計算講義》除各有兩個已知版本外，也分別被刊登在第9期和第10期的《院刊》上。由于《院刊》的版面不足以支撐更多的內(nèi)容，《通訊》便作為它的一個補充而出現(xiàn)了。下文將對《通訊》上的文章題目及作者做一整體分析，以展示年輕教師(組長和助教)及學生在數(shù)學及其應用方面的研究。

3.2 學院刊物對數(shù)學研究和交流的促進

從1804年開始至1812年結(jié)束，《通訊》共出兩卷，共15期，除發(fā)表學院內(nèi)部教師和學生的論文還同時通報與學院相關(guān)的新聞事件以及各類政策和制度規(guī)定。每一期包含三至五個部分，第一部分為涉及數(shù)學、物理、化學等不同學科或者它們的應用方面的論文，第二部分通常是有關(guān)學校的各項規(guī)定、政策。第三部分則是各年錄取的學生名單和畢業(yè)生的就業(yè)去向；通常也會有一部分介紹與學校相關(guān)的政府立法。在所發(fā)表的研究文章中，幾乎都是對課程中的具體的定理的證明或是對某個問題的分析或解答。解析幾何以及射影幾何方面的內(nèi)容占多數(shù)，原因可能是《通訊》的創(chuàng)辦人阿歇特作為蒙日的助手更加側(cè)重幾何學方面的研究，他本人也為《通訊》貢獻了最多的文章，包括他本人的研究以及他對其他作者研究的通告。《通訊》中文章的作者包括了學院的教師、各門課程的助教以及學生，如前文提到的泊松。他1798年進入巴黎綜合理工學院，并被選拔為“組長”，1800年被任命為分析課“助教”，并在兩年后接替傅里葉(Joseph Fourier，1768—1830)成為正式的分析課教師之一。在《通訊》上，泊松僅次于阿歇特貢獻了12篇論文。其中，在《通訊》的第一期，他給出了一個泰勒定理的新證明，并強調(diào)其證明的嚴格性。事實上，泊松的證明是在拉格朗日的證明基礎上給出的。如前文中說明的，拉格朗日在其分析課中對任意函數(shù)的冪級數(shù)展開式的形式給出了證明，泊松更進了一步，因為他的證明比拉格朗日設定了更少的前提條件。(31)關(guān)于泊松給出的證明，參見文獻[37]。這一事實也說明了綜合理工學院內(nèi)年輕教師以及學生對拉格朗日所教授的課程內(nèi)容有深入的探索。

在此意義上，《通訊》成為了一個學院內(nèi)部的交流平臺，也鼓勵了更多的教師和學生對具體數(shù)學定理和問題的研究，這些研究結(jié)果的發(fā)表繼而又引發(fā)了更多超越學院范圍的探索和討論。1806年，阿歇特在《通訊》第一卷第七期上提到有多名學生對蒙日提出的一個重要定理給出了證明，當時是二年級學生的柯西便在其中。在同一期，阿歇特還刊登了柯西關(guān)于三個給定圓的共切圓問題的研究概要，并認為柯西的解具有十分顯著的簡單性。在《通訊》的第二卷中刊登了柯西1811年提交給科學院的一篇有關(guān)多面體研究論文的摘要，勒讓德對此給予了很高的評價。如此，《通訊》見證和鼓勵了泊松、柯西等優(yōu)秀的年輕教師和學生的早期成就，開啟了他們數(shù)學研究的生涯，并推動了19世紀數(shù)學的發(fā)展。

《通訊》的影響已超出了學院范圍。1810年由熱爾崗(Joseph Diaz Gergonne，1771—1859)創(chuàng)辦的《純粹與應用數(shù)學年刊》(Annalesdesmathématiquespuresetappliquées，orAnnalesdeGergonne，也常被稱作《熱爾崗年刊》)，被認為是歷史上第一份重要的數(shù)學專業(yè)期刊。[38]事實上，熱爾崗一直是《通訊》的讀者，在《通訊》的第2卷刊登了一封來自熱爾崗的信，他提到自己一直對《通訊》“熱切地關(guān)注著，并期盼它的出版頻率能夠更高，以饗科學家和熱愛科學的那些人”。([37]，第2卷：96頁) 由此我們可以猜想，正是《通訊》啟發(fā)了熱爾崗創(chuàng)辦和定期發(fā)行《年刊》的想法。后來，《年刊》以及其他19世紀上半葉創(chuàng)辦的學術(shù)期刊，如法國數(shù)學家劉維爾(Joseph Liouville，1809—1882)的《純粹與應用數(shù)學雜志》及德國的《克萊爾雜志》(32)這兩份雜志全名分別為Journal de mathématiques pures et appliquées和Journal für die reine und angewandte mathematik。前者的創(chuàng)辦人劉維爾亦畢業(yè)于巴黎綜合理工學院。都沿襲了《通訊》作為激勵年輕數(shù)學家進行研究和交流平臺的特質(zhì)。更有意思的是，這些數(shù)學期刊的作者主要是“綜合理工人”，即畢業(yè)于巴黎綜合理工學院的學生，也就是說，從《通訊》開始，“綜合理工人”這一群體已經(jīng)開始扮演促進和傳播數(shù)學研究的重要角色。

另外，值得一提的是，巴黎綜合理工學院的圖書館在早期設立的目的之一亦是促進該校教師及學生的研究工作。在該學院圖書館初建時，第二任館員佩哈爾(Fran?ois Peyrard，1759—1822)就致力于為該校師生提供自學和研究的便利。從1795年至1804年的任期內(nèi)，他為圖書館策劃、購買了大量關(guān)于科學與藝術(shù)的古典或是現(xiàn)代的書籍，使館藏數(shù)量從一千冊左右增加至一萬冊。[39]因此佩哈爾也被認為是學院圖書館的真正創(chuàng)建人。通曉希臘語的他也在拉格朗日以及天文學家德朗布爾(Jean-Baptiste Delambre，1749—1822)的影響和鼓勵下，對歐幾里得《原本》和阿基米德的數(shù)學著作進行研究并將它們翻譯成法語，這使古希臘數(shù)學在19世紀初獲得了擴散。而這一活動也推動了數(shù)學的發(fā)展。(33)文獻[32]關(guān)注拉格朗日及佩哈爾等人對古希臘著作的翻譯和傳播所做的工作，并闡明和強調(diào)對古希臘的數(shù)學著作的研究使拉格朗日這樣的數(shù)學家從數(shù)學史中獲得了有用的內(nèi)容和重要的方法，從而發(fā)展了他的數(shù)學研究。我們看到，無論是刊物的創(chuàng)辦和圖書館的設置都體現(xiàn)了巴黎綜合理工學院內(nèi)鼓勵開展研究的氛圍。從教師到圖書館員，從組長、助教到學生都不同程度地投入到數(shù)學研究之中。

在這樣的氛圍下，巴黎綜合理工學院培養(yǎng)了一批優(yōu)秀的數(shù)學人才。(34)除已前文已提到的泊松、柯西和劉維爾，還有馬呂斯(étienne Louis Malus，1775—1812)、龐斯來(Louis Poinsot，1777—1859)、沙勒(Michel Chasles，1793—1880)等。更全的名單見文獻[40]。根據(jù)統(tǒng)計，19世紀的法國科學院在數(shù)學、力學、物理3個部門中的院士大多畢業(yè)于或執(zhí)教于巴黎綜合理工學院。[41]從該校走出的學生除了服務于公共建設，很多之后成為巴黎綜合理工學院或者其他重要機構(gòu)的數(shù)學教師，構(gòu)成了以數(shù)學教育和數(shù)學研究為職業(yè)的群體，(35)專業(yè)院校類教育機構(gòu)的數(shù)學教師是19世紀數(shù)學家職業(yè)化的特征，現(xiàn)代性質(zhì)的大學也是在此時出現(xiàn)。而在此之前，為數(shù)學做出貢獻的人中很少有以教授和研究數(shù)學為主要職業(yè)的。[20，42]從而影響和促進了19世紀純粹數(shù)學的發(fā)展。但不同于德國在新人文主義的影響下對純粹數(shù)學去應用性的追求，法國的純粹數(shù)學發(fā)展與應用領域結(jié)合得更緊密，理論作為應用的基礎獲得巨大發(fā)展。在目標是培養(yǎng)工程師的教育背景下，19世紀法國數(shù)學家的主要工作仍然涉及應用問題，但在應用性應建立在理論基礎上這一觀念下，他們的目標首先是發(fā)展數(shù)學理論的一般性，如此其應用于實際的可能性也將增加。(36)根據(jù)白魯諾的主張，既對應用抱有的興趣，同時也保持對理論的偏好是以綜合理工人為代表的19世紀法國數(shù)學家群體的兩個特征，這二者之間是互動的。[43]同時，對應用抱有興趣又反過來促進了理論的發(fā)展。(37)以19世紀法國重要的數(shù)學家劉維爾為例，他在電力學(electrodynamics)方面的工作促進了他對分數(shù)微積分的研究。根據(jù)其傳記作者的意見，在劉維爾的很多重要數(shù)學思想一直受到他在物理學領域的工作的啟發(fā)。[44]

4 結(jié) 語

從巴黎綜合理工學院建立之初，數(shù)學——作為一切應用領域的基礎——便奠定了它在該校的地位。一流的數(shù)學家如拉格朗日將研究融于教學之中，同時教學亦促進了其數(shù)學研究。與今天大學的數(shù)學教學是教授和重復既有的數(shù)學知識的常情不同，在19世紀上半葉的歐洲教學是數(shù)學家重要的研究和發(fā)展前沿數(shù)學的實踐活動。(38)格萊畢娜和伯塔茲尼(Umberto Bottazzini)也都曾指出教學是拉格朗日、柯西、魏爾斯特拉斯以及戴德金(Richard Dedekind，1831—1916)等數(shù)學家發(fā)展數(shù)學基礎研究的重要推動力。伯塔茲尼說明，魏爾斯特拉斯在教授分析函數(shù)論的課程時展開了對嚴格性的考慮。([31]，25頁；[3]，42頁)這一點說明了教學與研究相結(jié)合的方式對科學的發(fā)展起到顯著的推動作用，巴黎綜合理工學院早期的課程正體現(xiàn)出這一特點。這也是19世紀后期德國數(shù)學興起的原因。

在本文中，拉格朗日的例子向我們展示了他從科學院院士變?yōu)閿?shù)學教師之后對數(shù)學分析理論的發(fā)展和對微積分基礎的嚴格化所做的工作。拉格朗日的教學啟發(fā)了他的學生，并使更多綜合理工學院的教師和學生加入到數(shù)學研究中。正是這些年輕教師和學生構(gòu)成了19世紀法國重要的數(shù)學家群體，扮演了推進數(shù)學發(fā)展的重要角色。他們就分析學的不同理論和問題給出新的證明或解法，從而促進了該數(shù)學分支的發(fā)展。正是在這種情況下，柯西作為其中的一個代表和拉格朗日的后繼者在經(jīng)典分析的理論方法和嚴格性上做出了更多突破性的工作。以《綜合理工學院通訊》為代表的刊物扮演了鼓勵年輕教師和學生參與數(shù)學研究的重要角色，并影響了19世紀上半葉數(shù)學專業(yè)期刊的產(chǎn)生和發(fā)展，促進了數(shù)學知識的發(fā)展和傳播。

致 謝感謝周霄漢博士、王濤博士、劉燁昕博士對本文的通篇預讀和給予的誠懇建議。感謝兩位匿名評審專家提出的寶貴意見，特致謝忱!