帶氣膜阻尼懸臂平板的振動(dòng)特性研究

張 鴻，崔東澤，邢海龍，王俊昌

（中國(guó)民航大學(xué)中歐航空工程師學(xué)院，天津300300）

1 引言

航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片振動(dòng)所導(dǎo)致的高周疲勞是造成航空發(fā)動(dòng)機(jī)失效的關(guān)鍵因素之一，研究航空發(fā)動(dòng)機(jī)的抑振技術(shù)不僅能夠提高航空發(fā)動(dòng)機(jī)的安全性，而且有助于延長(zhǎng)航空發(fā)動(dòng)機(jī)的維修周期，降低航空發(fā)動(dòng)機(jī)的維護(hù)成本。

目前，能夠有效抑制航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片振動(dòng)的阻尼技術(shù)共有四種[1-2]，分別是：干摩擦阻尼，約束層阻尼，沖擊阻尼和氣膜阻尼。其中，干摩擦阻尼和約束層阻尼為傳統(tǒng)的被動(dòng)式阻尼技術(shù)，目前應(yīng)用廣泛但各有缺陷：干摩擦阻尼技術(shù)成熟，但適用于較低階模態(tài)；約束層阻尼通過(guò)設(shè)計(jì)能夠有效控制不同頻率內(nèi)的振動(dòng)，但在高離心力載荷下很難適用。沖擊阻尼和氣膜阻尼為先進(jìn)的被動(dòng)式阻尼技術(shù)，其中沖擊阻尼抑振機(jī)理復(fù)雜，難以實(shí)現(xiàn)；而氣膜阻尼結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于加工、且能對(duì)多階振動(dòng)進(jìn)行有效抑制，被認(rèn)為是在航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片抑振方面具有應(yīng)用前景的阻尼技術(shù)。

文獻(xiàn)[3]通過(guò)氣膜內(nèi)流體運(yùn)動(dòng)壓力的分布假設(shè)建立了粘性流體運(yùn)動(dòng)的氣膜阻尼理論模型，著重研究了氣膜壓力和氣膜厚度的對(duì)阻尼特性的影響；文獻(xiàn)[4-8]建立了帶氣膜阻尼平板模型，并基于有限元對(duì)氣膜阻尼系統(tǒng)（AFDS）的振動(dòng)特性進(jìn)行分析和研究；文獻(xiàn)[9]基于平板振動(dòng)理論建立了可壓縮流體的AFDS 簡(jiǎn)化平板模型，文獻(xiàn)[10]基于該模型推導(dǎo)了氣膜阻尼結(jié)構(gòu)的等效剛度系數(shù)和等效阻尼系數(shù)，并分析了氣膜阻尼關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)抑振效果的影響。

國(guó)內(nèi)外針對(duì)氣膜阻尼的阻尼特性開(kāi)展了大量研究，但對(duì)氣膜阻尼的機(jī)理研究不夠充分，尤其是基于機(jī)理建立的氣膜阻尼理論模型研究不足。基于國(guó)內(nèi)外現(xiàn)階段研究成果，將氣膜內(nèi)氣體的流動(dòng)分別等效為牛頓流體的流動(dòng)和泊肅葉流體的流動(dòng)，建立了帶氣膜阻尼懸臂平板的振動(dòng)模型，并推導(dǎo)出氣膜阻尼系統(tǒng)的阻尼比方程。通過(guò)氣膜阻尼能量耗散機(jī)理研究氣膜阻尼結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)平板振動(dòng)特性的影響，為航空發(fā)動(dòng)機(jī)風(fēng)扇葉片氣膜阻尼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)和技術(shù)支撐。

2 帶氣膜阻尼的平板模型

航空發(fā)動(dòng)機(jī)風(fēng)扇葉片薄而長(zhǎng)，對(duì)其進(jìn)行振動(dòng)特性分析時(shí)，可將風(fēng)扇葉片等效為一端固支一端自由的懸臂梁或具有懸臂粱相似振動(dòng)模態(tài)的薄板。帶氣膜阻尼的懸臂平板模型，如圖1 所示。其結(jié)構(gòu)包括平板、吸振薄板以及平板和吸振薄板之間的氣膜。圖中：2L 和2d—平板的長(zhǎng)度和寬度；H—平板的厚度；2l 和h—?dú)饽さ拈L(zhǎng)度和厚度，寬度與平板寬度相同，平板的厚度H 和氣膜的厚度h 都遠(yuǎn)小于相應(yīng)的長(zhǎng)度和寬度，圖中單位均為mm。計(jì)算時(shí)，假設(shè)懸臂平板左端固支，右端自由。

圖1 帶氣膜阻尼的平板模型Fig.1 Schematic Diagram of the AFD Structure

3 氣膜阻尼運(yùn)動(dòng)模型

帶氣膜阻尼平板模型含有多種振動(dòng)能量耗散機(jī)制，如圖1所示。（1）當(dāng)葉片受氣動(dòng)力激勵(lì)時(shí)，吸振薄板隨平板振動(dòng)，擠壓氣膜產(chǎn)生振動(dòng)，以動(dòng)能的形式耗散平板振動(dòng)能量；（2）氣膜內(nèi)流體流動(dòng)，當(dāng)流體受擠壓流經(jīng)氣膜壁面時(shí)，粘性剪切力消耗葉片振動(dòng)能量；（3）氣膜內(nèi)外流體的流動(dòng)，當(dāng)帶氣膜阻尼平板振動(dòng)時(shí)，由于氣膜內(nèi)外的壓力差導(dǎo)致流體吸進(jìn)或排出氣膜，通過(guò)做功的形式耗散振動(dòng)能量。因此，建立外激勵(lì)所導(dǎo)致的氣膜運(yùn)動(dòng)模型是建立氣膜阻尼力學(xué)模型的前提。

3.1 氣膜內(nèi)流體的相對(duì)位移

假設(shè)圖1 模型中氣膜開(kāi)口處的壓力為常值，氣膜內(nèi)外沒(méi)有能量交換，因此在氣膜內(nèi)選取流體運(yùn)動(dòng)的控制體[11]，如圖2 所示。圖1 中平板受激振力作用產(chǎn)生振動(dòng)，假設(shè)n 和m 分別為吸振薄板的振動(dòng)模態(tài)數(shù)，氣膜由于吸振薄板振動(dòng)引起的相對(duì)位移如式（1）所示：

式中：D0—吸振薄板最大相對(duì)位移，單位為mm；

ω—吸振薄板振動(dòng)頻率，單位為Hz；

t—時(shí)間，單位為s；

（x，y）—?dú)饽ぶ辛黧w任意點(diǎn)的位置。

圖2 氣膜內(nèi)流體的控制體Fig.2 Control Volume of the Fluid in the Air Film

3.2 氣膜內(nèi)流體的體積流量

由于氣膜厚度遠(yuǎn)小于氣膜長(zhǎng)度和寬度，因此圖2 中，假設(shè)x方向和y 方向?yàn)榱黧w流動(dòng)的方向，z 方向流動(dòng)相對(duì)x 方向和y 方向忽略不計(jì)，因此進(jìn)入控制體的流體體積流量為：

假設(shè)氣膜內(nèi)流體運(yùn)動(dòng)滿(mǎn)足連續(xù)方程，由式（1）和式（2）可得x方向流體體積流量方程：

3.3 氣膜內(nèi)流體的運(yùn)動(dòng)速度分布

假設(shè)氣膜內(nèi)的流體具有牛頓流體的運(yùn)動(dòng)特性，流體運(yùn)動(dòng)的N-S 方程為：

式中：κ=-jρ0ω/μ—?dú)饽?nèi)流體的復(fù)粘性系數(shù)。

在厚度方向上對(duì)式（7）進(jìn)行積分可得穿過(guò)該截面的流體運(yùn)動(dòng)速度：

假設(shè)沿著x 軸方向運(yùn)動(dòng)的流體具有泊肅葉流動(dòng)特性，因此z軸方向上流體的速度呈拋物線(xiàn)型分布：

3.4 氣膜內(nèi)流體的壓強(qiáng)分布

對(duì)于牛頓流體，假設(shè)壓強(qiáng)p 沿氣膜厚度方向（-h/2＜z＜h/2）是一致的。由方程（5）和式（6）可得密度、壓力和相對(duì)位移之間的關(guān)系：

假設(shè)氣膜內(nèi)的流體為可壓縮粘性流體，為使方程封閉，假設(shè)流體處于絕熱狀態(tài)，引入狀態(tài)方程并用K 來(lái)表示復(fù)粘性系數(shù)κ和氣膜厚度h 的關(guān)系[3]：

則流體的壓強(qiáng)分布方程為：

式中：γ—流體比熱容。

假設(shè)圖2 中y 方向流體位移一致且忽略邊界處壓力的變化，由式（10）和式（12）可得牛頓流體x 方向的壓力分布：

式中：rn—cos（rl）cosh（rl）=1 的n階正根；qn—x 方向上的波數(shù)，由式（14）給出qn的定義[12-13]：

對(duì)于泊肅葉流體，假設(shè)氣膜是一個(gè)復(fù)雜的彈簧，實(shí)部主要來(lái)自于可壓縮性，虛部主要來(lái)自于粘性[12]，可以得到泊肅葉流體x方向的壓力分布。

3.5 氣膜阻尼平板內(nèi)部能量耗散

設(shè)C 是氣膜內(nèi)部的每個(gè)振動(dòng)周期的能量耗散：

對(duì)于牛頓流體，流體中粘性剪切力為主要的能量耗散方式，將式（8）帶入式（16）得氣膜阻尼內(nèi)部能量耗散方程：

對(duì)于泊肅葉流體，將式（9）帶入式（16）得到氣膜阻尼內(nèi)部的能量耗散方程[13]：

兩種流體模型得到的能量耗散比值為：

為方便計(jì)算，引入阻尼比F（ω）：

4 帶氣膜阻尼平板的振動(dòng)特性

大量研究表明：當(dāng)吸振薄板與平板固有頻率接近時(shí)，抑振效果明顯[14]，因此這里在計(jì)算時(shí)，假設(shè)吸振薄板與平板固有頻率相同。

4.1 不同流體模型的影響

氣膜內(nèi)流體分別采用牛頓流體和泊肅葉流體的計(jì)算結(jié)果，如圖3 所示。由式（19）可得泊肅葉流體和牛頓流體計(jì)算得到的能量耗散的比值，如表1 所示。由圖3 和表1 可知，無(wú)論采用哪種流體，在相同平板振動(dòng)頻率下（f＞300Hz），阻尼比隨氣膜厚度的增加而減少并最終趨于穩(wěn)定。與牛頓流體相比，泊肅葉流體在計(jì)算振動(dòng)能量耗散時(shí)，不僅考慮流體與板之間粘性剪切力引起的能量耗散，而且考慮了流體內(nèi)部相互作用引起的能量耗散，因此在相同平板振動(dòng)頻率和相同氣膜厚度的條件下，由泊肅葉流體流體計(jì)算得到的阻尼比要大于由牛頓流體得到的阻尼比。

圖3 基于不同流體模型的計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparisons of Results Based on Different Fluid Models

表1 兩種模型的能量耗散對(duì)比Tab.1 Energy Dissipation Comparison of Two Models

4.2 氣膜厚度的影響

不同平板振動(dòng)頻率（f＜300Hz），計(jì)算得到氣膜阻尼的阻尼比隨氣膜厚度h 的變化曲線(xiàn)，如圖3 所示。

圖4 不同頻率下氣膜厚度對(duì)阻尼比的影響Fig.4 Effect of Air Film Thickness on Damping Ratio at Different Frequencies

由圖4 可知：平板的振動(dòng)頻率比較高時(shí)，氣膜阻尼的阻尼比隨氣膜厚度的增加而降低并趨于穩(wěn)定；平板的振動(dòng)頻率比較低時(shí)，氣膜阻尼的阻尼比隨氣膜厚度的增大先增大后減小，之后趨于穩(wěn)定。在相同氣膜厚度條件下，平板振動(dòng)頻率越大，氣膜阻尼的阻尼比也越大，氣膜阻尼抑振效果越明顯。

此外，當(dāng)平板振動(dòng)頻率較低時(shí)，氣膜阻尼存在最優(yōu)厚度，這主要是在低頻振動(dòng)情況下，流體附面層厚度的影響不能忽略[8]。附面層厚度與平板振動(dòng)頻率的關(guān)系如下式（21）：

由式（21），平板振動(dòng)頻率越小，附面層厚度越大。當(dāng)氣膜厚度小于附面層厚度時(shí)，隨氣膜厚度的增加，粘性剪切力做功區(qū)域增加，振動(dòng)能量耗散增加，阻尼比增加；當(dāng)氣膜厚度大于附面層厚度時(shí)，隨氣膜厚度的增加，流體流動(dòng)時(shí)克服粘性剪切力產(chǎn)生的流動(dòng)損失和能耗損失減小，導(dǎo)致阻尼比下降。

為進(jìn)一步分析氣膜厚度對(duì)阻尼比的影響，假設(shè)氣膜內(nèi)的空氣為常溫20℃，且氣膜厚度大于流體附面層厚度[15]，求得平板一階振動(dòng)響應(yīng)，如圖5 所示。

圖5 厚度對(duì)氣膜阻尼抑振效果的影響Fig.5 Effect of Film Thickness on Vibration Suppression Effect

由圖5 可知：當(dāng)氣膜厚度大于附面層厚度時(shí)，不同氣膜厚度計(jì)算得到的平板振動(dòng)響應(yīng)不同。隨著氣膜厚度的增加，平板振動(dòng)位移增大，且最大位移發(fā)生的頻率向頻率增加的方向移動(dòng)，這與文獻(xiàn)[8-9]計(jì)算結(jié)果趨勢(shì)一致。

由圖4、圖5 計(jì)算結(jié)果，氣膜具有最優(yōu)厚度，在設(shè)計(jì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片氣膜阻尼結(jié)構(gòu)時(shí)，應(yīng)綜合考慮附面層厚度和振動(dòng)頻率，以得到最好的抑振效果。

4.3 氣膜長(zhǎng)度的影響

改變圖1 氣膜結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度，計(jì)算得到平板振動(dòng)響應(yīng)，如圖6 所示。

圖6 長(zhǎng)度對(duì)氣膜阻尼抑振效果的影響Fig.6 Effect of Length on Vibration Suppression Effect

由圖6 可知：當(dāng)氣膜長(zhǎng)度為75mm 時(shí)，抑振效果最為明顯，其他情況下平板振動(dòng)幅度均有所增加。因此氣膜阻尼具有最優(yōu)長(zhǎng)度，超過(guò)或低于該長(zhǎng)度將降低其抑振效果。

4.4 氣膜長(zhǎng)度厚度比的影響

氣膜的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)是影響氣膜阻尼抑振效果的關(guān)鍵因素[9]，不同振動(dòng)頻率下氣膜的長(zhǎng)度厚度比與阻尼比的變化曲線(xiàn)，如圖7所示。由圖7 可知：不同振動(dòng)頻率下，阻尼比都隨著長(zhǎng)度厚度比的增加而增加。振動(dòng)頻率越大，阻尼比的增幅就越大。

圖7 氣膜長(zhǎng)度厚度比與能量耗散的關(guān)系Fig.7 Effect of Film Length-Thickness Ratio on Dimensionless Damping

4.5 安裝位置的影響

保持氣膜和吸振薄板沿平板厚度方向位置不變，改變其距自由端的距離，氣膜阻尼在平板中不同安裝位置，如圖8 所示。

圖8 氣膜安裝位置示意圖Fig.8 Schematic Diagram of the Installation of AFD

不同安裝位置計(jì)算得到的平板的振動(dòng)響應(yīng)與振動(dòng)頻率的關(guān)系，如圖9 所示。

圖9 安裝位置對(duì)氣膜抑振效果的影響Fig.9 Effect of Installation Position on Vibration Suppression

由圖9 可知，氣膜阻尼的安裝位置不僅影響其抑振效果，也改變了平板的固有振動(dòng)特性。平板的振動(dòng)最大位移出現(xiàn)在自由端，氣膜阻尼安裝在該位置抑振效果也最為明顯。由表2 可知：與實(shí)心平板相比，隨著安裝位置向固支端移動(dòng)，平板的共振頻率也向前移動(dòng)。

表2 共振頻率對(duì)比Tab.2 Comparison of Resonance Frequency

5 結(jié)論

將氣膜內(nèi)氣體的流動(dòng)分別等效為牛頓流體的流動(dòng)和泊肅葉流體的流動(dòng)，建立了帶振動(dòng)能量耗散機(jī)制的氣膜阻尼理論模型。通過(guò)對(duì)帶氣膜阻尼懸臂平板的振動(dòng)特性研究，確定了不同流動(dòng)模型對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，以及在設(shè)計(jì)風(fēng)扇葉片氣膜阻尼時(shí)應(yīng)關(guān)注的影響因素。泊肅葉流體能考慮更多的振動(dòng)能量耗散機(jī)制，計(jì)算得到的阻尼比大于由牛頓流體得到的阻尼比；當(dāng)平板振動(dòng)頻率比較低且流體附面層厚度的影響不能忽略時(shí)，氣膜阻尼存在最優(yōu)厚度；氣膜的厚度、長(zhǎng)度等幾何尺寸對(duì)氣膜阻尼的抑振效果有較大影響，在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)予考慮；氣膜阻尼結(jié)構(gòu)的安裝位置不僅影響平板的抑振效果，而且改變了平板的共振頻率。