林建彬

摘 要：正態(tài)分布雖是一個(gè)應(yīng)用范圍廣泛的知識(shí)，但對(duì)學(xué)生而言，它仍是一個(gè)較為陌生的概念，學(xué)生沒(méi)有多少相應(yīng)的知識(shí)、方法、思維的儲(chǔ)備作為基礎(chǔ)，尤其是由離散型跳躍到連續(xù)型，由有限質(zhì)變到無(wú)限，對(duì)學(xué)生的挑戰(zhàn)極大，我們?nèi)绾未蛟熘赶驅(qū)W生深度學(xué)習(xí)的生成課堂，這是值得我們深思和研究的。

關(guān)鍵詞：正態(tài)分布;深度學(xué)習(xí);生成課堂;核心素養(yǎng)

教學(xué)背景：

前不久，筆者參加了晉江市姚立宏名師工作室一個(gè)活動(dòng)，開(kāi)展了一節(jié)研討課。在撰寫(xiě)教學(xué)設(shè)計(jì)的過(guò)程中，筆者有一些體會(huì)。如何進(jìn)行有效的合理的教學(xué)設(shè)計(jì)，去培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，打造學(xué)生深度學(xué)習(xí)的生成課堂呢？這是值得我們深思和研究的。

教學(xué)設(shè)計(jì)

1.教材分析

在日常生活中，很多隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似服從正態(tài)分布，正態(tài)分布的應(yīng)用非常廣泛.在這之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)了離散型隨機(jī)變量的分布，而正態(tài)分布是連續(xù)型隨機(jī)變量，但對(duì)學(xué)生而言，它仍是一個(gè)較為陌生的概念，學(xué)生沒(méi)有多少相應(yīng)的知識(shí)、方法、思維的儲(chǔ)備作為基礎(chǔ)，這是一個(gè)知識(shí)的跨越。學(xué)生需要了解總體密度曲線的產(chǎn)生過(guò)程，進(jìn)而認(rèn)識(shí)正態(tài)曲線，了解正態(tài)曲線的圖像特點(diǎn);同時(shí)對(duì)正態(tài)分布的幾個(gè)具體概率數(shù)據(jù)要有所了解，雖然不需要證明，但要明白它們的概率意義。我認(rèn)為較離散型隨機(jī)變量的分布而言，正態(tài)分布更廣泛存在于現(xiàn)實(shí)生活中，學(xué)生更能切身體會(huì)到，例題也無(wú)需刻意編造，如果能真正理解它，那么對(duì)生產(chǎn)生活很有指導(dǎo)意義。

2.教學(xué)目標(biāo)

本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)和正態(tài)分布曲線所表示的概率意義，認(rèn)識(shí)數(shù)據(jù)0.6827、0.9545、0.9973，讓學(xué)生直觀感受正態(tài)分布的概率分布規(guī)律，會(huì)把正態(tài)曲線的特點(diǎn)以及正態(tài)分布的概率數(shù)據(jù)應(yīng)用于簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中.教學(xué)結(jié)果是希望學(xué)生能達(dá)到在實(shí)際問(wèn)題中辨識(shí)某種現(xiàn)象是否符合正態(tài)分布，并用正態(tài)分布的知識(shí)去解決問(wèn)題。

3.教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)1? 今天我們學(xué)習(xí)的是正態(tài)分布，對(duì)于分布我們已經(jīng)接觸了超幾何分布、兩點(diǎn)分布和二項(xiàng)分布，這三種分布刻劃的都是離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律。但現(xiàn)實(shí)生活中還有大量問(wèn)題中的隨機(jī)變量不是離散型的，它們的取值往往充滿某個(gè)區(qū)間甚至整個(gè)實(shí)軸，比如：班上同學(xué)的某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)介于[35-143]，最低分35分，最高分143，但取一點(diǎn)的概率為0，比如：靠近兩極最低分35分和最高分143人很少概率非常低，甚至概率有的為0就像沒(méi)有同學(xué)剛好考到平均分86.5，但是靠近平均分86.5卻有很多。類似的還有同學(xué)的身高、體重、肺活量流水線零件的尺寸。我們稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量，它的取值和概率都與區(qū)間有關(guān)且特點(diǎn)是越靠近兩極的人越少，越靠近平均數(shù)的人越多。

環(huán)節(jié)2? 這種現(xiàn)象我們可簡(jiǎn)單地描述為中間高兩頭低，它是群體所呈現(xiàn)的一種中心極限效應(yīng)。下面我們看一個(gè)具體例子：下面是晉江某學(xué)校高二年段某個(gè)班級(jí)50位同學(xué)在上學(xué)期末大泉州統(tǒng)考的數(shù)學(xué)成績(jī)：

根據(jù)已學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，可用頻率分布直方圖描述這組數(shù)據(jù)的分布，如圖所示。觀察圖形可知數(shù)學(xué)成績(jī)大致地分布在平均數(shù)83.9的兩側(cè)且呈現(xiàn)中間高兩頭低的特征

環(huán)節(jié)3? 隨著樣本數(shù)據(jù)量越來(lái)越大，分組越來(lái)越多，組距越來(lái)越小，由頻率的穩(wěn)定性可知，頻率分布直方圖的輪廓就會(huì)越來(lái)越穩(wěn)定，如圖所示

環(huán)節(jié)4? 當(dāng)樣本容量無(wú)限增大，且分組的組距無(wú)限縮小時(shí)，那么頻率分布直方圖的輪廓就會(huì)越無(wú)限接近于一條光滑曲線，這條曲線我們就稱做總體密度曲線。

環(huán)節(jié)5? 高爾頓釘板電腦模擬實(shí)驗(yàn) 如圖所示是一塊高爾頓釘板的示意圖，這個(gè)試驗(yàn)是英國(guó)生物學(xué)家達(dá)爾文的表弟高爾頓設(shè)計(jì)的。在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃。從入口處放進(jìn)一個(gè)直徑略小于兩顆釘子之間的距離的小圓玻璃球，當(dāng)小圓球向下降落過(guò)程中，碰到釘子后皆以1/2的概率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子。如此繼續(xù)下去，直到滾到底板的一個(gè)格子內(nèi)為止。試驗(yàn)證明：如果放入大量小球，則其最后所呈現(xiàn)的曲線幾乎總是類同的，就是中間高兩邊低左右對(duì)稱的古鐘形曲線

環(huán)節(jié)6 高爾頓FLASH演示

環(huán)節(jié)7?? 高爾頓釘板真實(shí)演示

環(huán)節(jié)8? 鐘形曲線的特點(diǎn) 由于鐘形曲線是由頻率分布直方圖演變而來(lái)的總體密度曲線，所以具備如下特點(diǎn)：①曲線都在x軸的上方，且兩側(cè)越來(lái)越低越無(wú)限接近x軸------非負(fù)性②曲線是左右對(duì)稱的，對(duì)稱軸為x=μ--------對(duì)稱性③曲線中間高，且方差σ2越小數(shù)據(jù)越集中就越高-----集中性④曲線與x軸圍成的面積總為1-------定值性

環(huán)節(jié)9? GGB探究μ和σ對(duì)鐘形曲線的影響

環(huán)節(jié)10 由函數(shù)知識(shí)可知，鐘形曲線是一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)一定存在解析式.在數(shù)學(xué)家的不懈努力下，找到了符合上面四個(gè)特征的解析式

環(huán)節(jié)11? 我們把這個(gè)函數(shù) （其中參數(shù)μ用平均數(shù)來(lái)估計(jì)，σ用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)估計(jì)）為正態(tài)密度函數(shù)，稱這條鐘形曲線為正態(tài)密度曲線簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線，若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為.特別地，當(dāng)，時(shí)稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

環(huán)節(jié)12 對(duì)正態(tài)分布理論起重大貢獻(xiàn)的是德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯，所以正態(tài)分布也叫高斯分布，為了紀(jì)念高斯在德國(guó)馬克幣上印有正態(tài)曲線的圖案

環(huán)節(jié)13? 經(jīng)驗(yàn)表明，一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的，互不相干的，不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就會(huì)服從或近似服從正態(tài)分布.例如：數(shù)學(xué)成績(jī)受到很多因素的影響所以服從正態(tài)分布，一定條件下生長(zhǎng)的小麥的穗長(zhǎng)、株高、單位產(chǎn)量，還有某一地區(qū)同齡人的體重、肺活量、身高，正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，一般都會(huì)服從正態(tài)分布.但如果這些因素不是彼此獨(dú)立的，會(huì)互相加強(qiáng)影響，那么就不是正態(tài)分布也就不會(huì)呈現(xiàn)對(duì)稱特征。比如一個(gè)人能否掙大錢由多種因素決定：家庭、教育、工作、運(yùn)氣等等這些因素都不是獨(dú)立的，會(huì)彼此加強(qiáng)。如果出生在上層，那么你就有更大的機(jī)會(huì)接受良好的教育、找到高薪的工作、遇見(jiàn)好機(jī)會(huì)，反之亦然。因此富豪的財(cái)富會(huì)大大地遠(yuǎn)離平均數(shù)。出生家庭你改變不了，但你可以通過(guò)好好學(xué)習(xí)來(lái)接受更好的教育，找到高薪的工作獲得好的機(jī)會(huì)回報(bào)祖國(guó)的同時(shí)創(chuàng)造更多的財(cái)富也為下一代創(chuàng)造好的出生環(huán)境這樣你的家庭就進(jìn)入了良性循環(huán)。

環(huán)節(jié)14 正態(tài)分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用： 正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要的地位，廣泛存在于自然、生產(chǎn)和生活實(shí)際之中，探究正態(tài)分布的概率數(shù)據(jù)作為決策依據(jù)以便更好地指導(dǎo)我們的生產(chǎn)生活，這也是我們學(xué)習(xí)正態(tài)分布的意義所在。

例1：李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時(shí)30min，樣本方差為36;騎自行車平均用時(shí) 34min，樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行用時(shí)Y都服從正態(tài)分布.

（1）估計(jì)X，Y的分布中的參數(shù);

（2）根據(jù)（1）中的估計(jì)結(jié)果，利用信息技術(shù)工具畫(huà)出X和Y的分布密度曲線;

（3）如果某天有38min可用，李明應(yīng)選擇哪種交通工具？如果某天只有34min可用，又應(yīng)該選擇哪種交通工具？請(qǐng)說(shuō)明理由.

環(huán)節(jié)15 正態(tài)分布下的概率計(jì)算 ：在積分工具的幫助下我們就可以處理任意區(qū)間間的概率，即若，則

環(huán)節(jié)16? 若，則對(duì)給定的是一個(gè)只與k有關(guān)的定值.特別地，

環(huán)節(jié)17? 3σ原則的應(yīng)用場(chǎng)景

由于服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在（-∞，+∞）內(nèi)取值的概念為1，則在區(qū)間之外取值的概率只有0.0027，通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.即正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的3σ原則.

（1）醫(yī)學(xué)上的很多參考數(shù)據(jù)就是根據(jù)正態(tài)分布來(lái)制定的，當(dāng)過(guò)高或過(guò)低均屬異常這時(shí)就需要確定它的雙側(cè)范圍，比如白細(xì)胞數(shù)量;當(dāng)僅過(guò)高為異常只需確定其上限即可，如尿鉛;當(dāng)僅過(guò)低為異常只需要確定其下限，如智商、肺活量等。

（2）工業(yè)上在一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)零件，零件尺寸在以外是幾乎不可能發(fā)生的。一旦這種情況發(fā)生即零件尺寸超出范圍，我們就有理由認(rèn)為生產(chǎn)中出現(xiàn)異常情況，需要停機(jī)檢查找出原因避免產(chǎn)出更多的次品。

（3）教育上也經(jīng)常采用正態(tài)分布去評(píng)定老師的工作業(yè)績(jī)和學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)和制定錄取分?jǐn)?shù)線。

環(huán)節(jié)18? 3σ原則的應(yīng)用舉例

例2 福建省高考改革實(shí)施方案規(guī)定：2021年開(kāi)始，高考總成績(jī)由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3門必考科目和物理、歷史選一門，化學(xué)、生物、政治、地理四門選考科目自主選擇2門構(gòu)成.其中2門選考科目的考生原始成績(jī)按照等級(jí)賦分規(guī)則納入高考錄取總成績(jī)，成績(jī)呈現(xiàn)方式按照一定比例分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí).參照正態(tài)分布的概率原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為15%，35%，35%，13%，2%，選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到[86，100]，[71，85]，[56，70]，[40，55]，[25，40]五個(gè)分?jǐn)?shù)段，得到考生的等級(jí)成績(jī).

某校高一年級(jí)共有學(xué)生1200人，為了給高一學(xué)生合理選科提供參考依據(jù)，對(duì)四門選考科目進(jìn)行一次測(cè)試，其中生物考試的原始成績(jī)基本服從正態(tài)分布

（1）若生物考試原始成績(jī)，求該校高一年級(jí)學(xué)生生物原始成績(jī)?cè)趨^(qū)間[79，97]的人數(shù);

（2）考生甲得知自己的生物原始成績(jī)?yōu)?5分，而考生乙告訴甲：“這次生物測(cè)試年級(jí)均分為75分，87分以上有27人.”請(qǐng)根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)幫助甲同學(xué)辨別乙同學(xué)信息的真?zhèn)?/p>

環(huán)節(jié)19? 連續(xù)型隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量不同，取值和概率都與區(qū)間有密切的聯(lián)系，因此不能像離散型隨機(jī)變量那樣用表格即概率分布列來(lái)刻劃概率分布規(guī)律，宜采用圖形即鐘形曲線來(lái)表示。所以要掌握正態(tài)分布就要熟悉正態(tài)曲線的解析式和圖形特征。

環(huán)節(jié)20 ：針對(duì)中南大學(xué)要求老師改低學(xué)生分?jǐn)?shù)以符合正態(tài)分布這個(gè)事件，請(qǐng)同學(xué)結(jié)合我們所學(xué)的知識(shí)分析這種做法是否可??？

結(jié)束語(yǔ)

在教學(xué)中，以問(wèn)題為指引，明確學(xué)生的思考方向; 以探究活動(dòng)為平臺(tái)，促使學(xué)生深度參考教學(xué)與學(xué)習(xí);創(chuàng)建自主課堂，營(yíng)造輕松、愉悅的學(xué)習(xí)氛圍;在信息技術(shù)融合的幫助下，有效地突破難點(diǎn)，提高教學(xué)效率，實(shí)現(xiàn)了高效的生成課堂，達(dá)到了預(yù)設(shè)教學(xué)的目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)：

[1]?鮑健.?基于多媒體輔助教學(xué)下的正態(tài)分布教學(xué)設(shè)計(jì)與思考[J].?數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017，8：7-10.

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