王辛， 郭龍祥， 生雪莉， 殷敬偉， 李佳馨

(1. 哈爾濱工程大學(xué) 水聲技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150001；2. 海洋信息獲取與安全工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(哈爾濱工程大學(xué))，黑龍江 哈爾濱 150001；3.哈爾濱工程大學(xué) 水聲工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150001)

傳統(tǒng)的水聲方位估計(jì)中，通常使用的是均勻直線陣列結(jié)構(gòu)，但由于水聲探測(cè)環(huán)境多目標(biāo)、多干擾的特點(diǎn)，為了有效地分辨目標(biāo)，對(duì)陣列的空間分辨力有一定的要求。而陣列的空間分辨力與陣列孔徑直接相關(guān)，對(duì)于均勻直線陣列而言，為了避免角度模糊，陣元間距限制在分析信號(hào)頻率上限的半波長(zhǎng)以下，在這種條件下要想獲得高的空間分辨力就需要大量的陣元組成長(zhǎng)線陣[1]。但是出于對(duì)制造成本以及信號(hào)處理實(shí)時(shí)性等方面的考量，實(shí)際的水聲陣列使用過程中不便使用過多的陣元通道數(shù)據(jù)。為了解決這一問題，諸多學(xué)者研究如何使用較少的陣元數(shù)完成對(duì)多目標(biāo)方位的高分辨估計(jì)。為此，許多稀疏陣型結(jié)構(gòu)被提出，Moffet[2]提出了最小冗余陣的概念，但由于其結(jié)構(gòu)不唯一導(dǎo)致實(shí)際應(yīng)用中的不便。Vaidyanathan等[3]提出由2個(gè)子陣組成嵌套陣列的概念，但由于第一子陣的陣元間距較近容易受互耦效應(yīng)影響而存在缺陷[4]。Vaidyanathan等[5]又提出了互質(zhì)采樣和互質(zhì)陣(coprime array, CPA)的陣列模型概念。此后提出的改進(jìn)的互質(zhì)陣結(jié)構(gòu)通過對(duì)子陣壓縮平移獲得新的互質(zhì)陣結(jié)構(gòu)(coprime array with compressed inter-element spacing, CIES-CA)[6]，減少了互質(zhì)陣虛擬陣列損失的孔徑影響。

為此，本文站在水聲多目標(biāo)方位估計(jì)的背景上，利用信號(hào)分類算法與虛擬陣元法，從多目標(biāo)方位分辨能力以及多目標(biāo)方位估計(jì)誤差2個(gè)方面，分析子陣壓縮的互質(zhì)陣在多目標(biāo)估計(jì)中的算法性能。并通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理驗(yàn)證子陣壓縮互質(zhì)陣的有效性和高分辨能力。

1 基于子陣間距壓縮的互質(zhì)陣列

從陣型以及虛擬陣元法角度描述子陣間距壓縮互質(zhì)陣的基本原理，為下文對(duì)比常規(guī)均勻直線陣列、原型互質(zhì)陣以及子陣間距壓縮互質(zhì)陣的多目標(biāo)方位估計(jì)能力提供理論基礎(chǔ)。

1.1 互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)

互質(zhì)陣由2個(gè)子陣組成，假設(shè)子陣1含有M1個(gè)陣元，子陣2含有M2個(gè)陣元，且M1

圖1 互質(zhì)陣結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of CPA

由于2個(gè)子陣共用第1參考陣元，因此互質(zhì)陣總陣元數(shù)為M1+M2-1，陣列孔徑表示為(M2-1)M1d。

1.2 虛擬陣元法

對(duì)比相同陣列孔徑的均勻直線陣列，稀疏陣列存在陣元數(shù)少，目標(biāo)分辨自由度低的缺點(diǎn)，而虛擬陣元法能夠利用稀疏陣列陣元不均勻分布的特點(diǎn)進(jìn)行孔徑擴(kuò)展，從而提高信號(hào)檢測(cè)的自由度和分辨率。因此，在互質(zhì)陣等稀疏陣列的信號(hào)處理過程中通常會(huì)使用虛擬陣元法[7]提高自由度以適應(yīng)多目標(biāo)的探測(cè)情況。

以互質(zhì)陣為例，各陣元的位置表示為：

(1)

假設(shè)存在K個(gè)目標(biāo)信號(hào)源，互質(zhì)陣的陣列流形可以表示為：

A=[a(θ1)a(θ2) …a(θK)]

(2)

(3)

式中θk表示第k個(gè)目標(biāo)的來波方向。

將陣列接收信號(hào)表示為：

X(t)=AS(t)+N(t)

(4)

將陣列接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣表示為：

(5)

以M1=3，M2=4為例，虛擬陣列的陣元位置如圖2所示。

圖2 互質(zhì)陣的虛擬陣元Fig.2 Virtual element of CPA

可以看到虛擬陣列中連續(xù)的陣元數(shù)為7，大于原型互質(zhì)陣列的總陣元數(shù)6，提高了陣列的自由度。虛擬陣元法可以使得稀疏陣列的自由度得到一定的提高，但是由于互質(zhì)陣陣型結(jié)構(gòu)的原因，無法保證獲得虛擬陣元全部連續(xù)，影響了虛擬陣元法陣列孔徑擴(kuò)展的效果。

1.3 基于子陣間距壓縮的互質(zhì)陣列

子陣間距壓縮的互質(zhì)陣通過使用壓縮因子改變子陣的陣元間距獲得了新的陣型結(jié)構(gòu)。將較大的陣元數(shù)M2表示為2個(gè)正整數(shù)p、n2的乘積，令子陣一的陣元間距由單位陣元間距的M2倍壓縮為單位陣元間距的n2倍，且陣元數(shù)不變?nèi)詾镸1?？梢钥闯?，此時(shí)2陣的陣元間距倍數(shù)仍然保持互質(zhì)關(guān)系，且陣列孔徑仍為(M2-1)M1d不變。p最小為1時(shí)陣型與原型互質(zhì)陣相同，p最大為M2時(shí)轉(zhuǎn)化為嵌套陣陣型。

以M1=3，M2=4為例，分別令p=2、p=4，子陣間距壓縮的互質(zhì)陣的結(jié)構(gòu)如圖3、圖4所示。

圖3 子陣間距壓縮互質(zhì)陣的虛擬陣元(p=2)Fig.3 Virtual element of CIES-CA (p=2)

圖4 子陣間距壓縮互質(zhì)陣的虛擬陣列(p=4)Fig.4 Virtual element of CIES-CA (p=4)

可以看到p=2時(shí)虛擬陣列中連續(xù)的陣元數(shù)為8，p=4時(shí)虛擬陣列中連續(xù)的陣元數(shù)為10，均大于原型互質(zhì)陣列的連續(xù)虛擬陣元數(shù)7，提高了陣列的自由度。并且，當(dāng)p值越大時(shí)，虛擬陣列連續(xù)陣元數(shù)越多，自由度越高，當(dāng)p值最大即等于M2時(shí)獲得的虛擬陣元全部連續(xù)，自由度達(dá)到最大值。雖然在水聲環(huán)境下互耦影響較小，當(dāng)p值最大時(shí)陣型等同于嵌套陣，具有最好的多目標(biāo)估計(jì)性能，但也具有更大的計(jì)算量。所以，在水聲陣列的應(yīng)用中，為了保證實(shí)時(shí)性，應(yīng)當(dāng)在計(jì)算量與多目標(biāo)估計(jì)能力方面做出平衡?；谧雨囬g距壓縮的互質(zhì)陣列在原型互質(zhì)陣與嵌套陣之間做出了平衡，可以通過p值的選擇更好地適應(yīng)實(shí)際需求。

2 水聲陣列多目標(biāo)方位探測(cè)性能分析

2.1 MUSIC空間譜估計(jì)

多重信號(hào)分類算法(multiple signal classification, MUSIC)[8]空間譜估計(jì)是一種利用子空間分解的算法。其基本思路不同于波束形成算法的空間譜估計(jì)，突破了傳統(tǒng)波達(dá)方向(direction of arrival, DOA)估計(jì)中瑞利限的限制，獲得了超分辨的方位估計(jì)能力?；舅枷胧菍㈥嚵休敵鰯?shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，從而得到與信號(hào)分量相對(duì)應(yīng)的信號(hào)子空間與信號(hào)分量相正交的噪聲子空間，然后利用這2個(gè)子空間的正交性來估計(jì)信號(hào)的方向。

假設(shè)陣元數(shù)為M，目標(biāo)信號(hào)源數(shù)量為K，則陣列接收信號(hào)可以表示為信號(hào)與噪聲2部分，對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解可以得到：

(6)

式中：US表示信號(hào)子空間；UN表示噪聲子空間。

對(duì)特征值向量從大到小排列，前K個(gè)較大的特征值對(duì)應(yīng)信號(hào)子空間US，其余較小的特征值對(duì)應(yīng)噪聲子空間UN。由于信號(hào)子空間與噪聲子空間正交，得到空間譜估計(jì)結(jié)果：

(7)

此外，當(dāng)接收信號(hào)為相干源時(shí)，需要通過空間平滑算法[9]提高方位分辨能力。

當(dāng)掃描角度等于期望角度時(shí)，分母接近為0，能夠形成較高的譜峰。利用角度掃描搜索可以較準(zhǔn)確地估計(jì)空間譜的情況，獲得信源的方位信息情況。

模擬多目標(biāo)情況下的空間譜估計(jì)結(jié)果，模擬互質(zhì)陣M1=7、M2=10，單位陣元間距為200 Hz對(duì)應(yīng)半波長(zhǎng)，分別取p=2，5，10。假設(shè)存在10個(gè)目標(biāo)，在-60°～60°內(nèi)均勻分布，采樣率為10 kHz，采集1 s信號(hào)。利用MUSIC算法得到空間譜估計(jì)結(jié)果如圖5所示。

圖5 多目標(biāo)空間譜估計(jì)結(jié)果Fig.5 Multi-target spatial spectrum estimation results

可以看到不同間距壓縮參數(shù)下的互質(zhì)陣均能有效地估計(jì)多目標(biāo)方向，并且p值越大自由度越大，多目標(biāo)估計(jì)能力越強(qiáng)。此外，當(dāng)目標(biāo)數(shù)目K逐漸增多時(shí)，子陣間距壓縮的互質(zhì)陣將按p值由小到大的順序依次喪失對(duì)全部多目標(biāo)實(shí)現(xiàn)方位估計(jì)的能力。

2.2 多目標(biāo)估計(jì)能力

為了分析子陣壓縮的互質(zhì)陣的多目標(biāo)方位分辨能力，模擬互質(zhì)陣M1=7、M2=10，分別取p=2，5，10，同時(shí)模擬原型互質(zhì)陣與均勻直線陣。假設(shè)存在2個(gè)目標(biāo)，第1個(gè)目標(biāo)位于50°固定不變，第2個(gè)目標(biāo)從50.6°到60°變化，2目標(biāo)間隔從0.6°到10°變化，經(jīng)過1 000次蒙特卡洛試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)得到不同方位間隔下各陣型的多目標(biāo)方位分辨概率結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同陣型下的多目標(biāo)方位分辨概率與信號(hào)源方位間隔的關(guān)系Fig.6 Relationship between azimuth resolution probability of multiple targets and azimuth interval of signal source under different formations

如圖6可以發(fā)現(xiàn)，原型互質(zhì)陣的多目標(biāo)方位分辨能力要強(qiáng)于均勻直線陣。此外，相比于原型互質(zhì)陣，子陣壓縮的互質(zhì)陣的多目標(biāo)方位分辨能力更高，且壓縮倍數(shù)越大多目標(biāo)方位分辨能力越高。

2.3 方位估計(jì)誤差

分析不同陣列結(jié)構(gòu)下的方位估計(jì)誤差，模擬互質(zhì)陣M1=7、M2=10，分別取p=2，5，10，同時(shí)模擬原型互質(zhì)陣與均勻直線陣。首先分析單目標(biāo)情況，假設(shè)單目標(biāo)位于60°方向，信噪比從-5 dB到10 dB變化，經(jīng)過1 000次蒙特卡洛試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)得到不同信噪比下各陣型的單目標(biāo)方位估計(jì)誤差結(jié)果如如圖7所示。

圖7 單目標(biāo)方位估計(jì)誤差與信噪比的關(guān)系Fig.7 Relationship between single-target bearing estimation error and signal-to-noise ratio

如圖7，可以看到單目標(biāo)條件下，子陣壓縮的互質(zhì)陣方位估計(jì)性能始終優(yōu)于原型互質(zhì)陣。在低信噪比的情況下原型互質(zhì)陣性能弱于均勻直線陣，但隨著信噪比的增加，原型互質(zhì)陣性能優(yōu)于均勻直線陣。

分析多目標(biāo)情況，假設(shè)存在5個(gè)目標(biāo)，在-60°～60°內(nèi)均勻分布，其余仿真條件保持不變，蒙特卡洛仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 多目標(biāo)方位估計(jì)誤差與信噪比的關(guān)系Fig.8 Relationship between multi-target bearing estimation error and signal-to-noise ratio

如圖8，可以看到在多目標(biāo)條件下，子陣壓縮的互質(zhì)陣方位估計(jì)性能始終優(yōu)于原型互質(zhì)陣。但隨著信噪比的升高，基于虛擬陣元法的各型互質(zhì)陣性能均呈現(xiàn)變差的趨勢(shì)，當(dāng)信噪比升高到一定程度后性能弱于均勻直線陣。

3 陣列誤差對(duì)方位估計(jì)性能的影響分析

水聲陣列方位估計(jì)的過程中，除了需要面對(duì)多目標(biāo)的問題外，還存在難以避免的陣列誤差問題，會(huì)對(duì)方位估計(jì)以及目標(biāo)方位分辨的能力產(chǎn)生影響。因此，在分析水聲陣列的多目標(biāo)方位估計(jì)能力時(shí)還需要考慮陣型在陣列誤差存在的情況下，陣列對(duì)多目標(biāo)方位估計(jì)的性能。本節(jié)主要針對(duì)水聲中常見的多陣元通道幅相誤差[10]與陣元位置誤差進(jìn)行分析。

3.1 通道幅相誤差條件下的多目標(biāo)方位估計(jì)

陣元通道的幅相誤差是一種復(fù)增益誤差，通常是由于接收通道內(nèi)放大器的增益不一致造成的，這一幅相誤差直接影響陣列接收信號(hào)的導(dǎo)向向量。幅相誤差可以表示為：

Γ=diag{ρ1ejφ1,ρ2ejφ2,…,ρmejφm}

(8)

式中：ρm為第m通道陣元的幅度誤差；φm為第m通道陣元的相位誤差。

假設(shè)ρm服從均值為1、均方差為0.1的高斯分布，φm服從均值為0°、均方差為10°的高斯分布，模擬互質(zhì)陣M1=7、M2=10，分別取p=2，5，10，同時(shí)模擬原型互質(zhì)陣與均勻直線陣。分析幅相誤差存在情況下的多目標(biāo)方位分辨概率與信號(hào)源方位間隔的關(guān)系。假設(shè)存在2個(gè)目標(biāo)，第1個(gè)目標(biāo)位于50°固定不變，第2個(gè)目標(biāo)從50.6°到60°變化，2目標(biāo)間隔從0.6°到10°變化，經(jīng)過1 000次蒙特卡洛試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)得到不同方位間隔下各陣型的多目標(biāo)方位分辨概率結(jié)果如圖9所示。

圖9 幅相誤差存在情況下的多目標(biāo)方位分辨概率與信號(hào)源方位間隔的關(guān)系Fig.9 Relationship between the azimuth resolution probability of multiple targets and the azimuth interval of the signal source in the presence of amplitude and phase errors

如圖9可以發(fā)現(xiàn)，原型互質(zhì)陣的多目標(biāo)方位分辨能力要強(qiáng)于均勻直線陣，此外，相比于原型互質(zhì)

陣，子陣壓縮的互質(zhì)陣的多目標(biāo)方位分辨能力更高，且壓縮倍數(shù)越大多目標(biāo)方位分辨能力越高。對(duì)比圖6可發(fā)現(xiàn)，幅相誤差存在情況下，原型互質(zhì)陣與均勻直線陣的多目標(biāo)方位分辨概率明顯下降，而子陣壓縮的互質(zhì)陣則性能保持較好。

具體分析子陣壓縮的互質(zhì)陣的多目標(biāo)方位分辨概率隨著幅相誤差增大的變化趨勢(shì)。假設(shè)第1個(gè)目標(biāo)位于50°，第2個(gè)目標(biāo)位于51.3°，假設(shè)只存在一種誤差的基礎(chǔ)上，分別逐漸增大幅度和相位誤差的均方差，陣型參數(shù)不變，經(jīng)過蒙特卡洛試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)得到不同誤差下各陣型的多目標(biāo)方位分辨概率結(jié)果如圖10所示。

如圖10可以發(fā)現(xiàn)，在不同的壓縮倍數(shù)下，子陣壓縮互質(zhì)陣的多目標(biāo)方位分辨能力均會(huì)隨著幅相誤差的增大而減弱，此時(shí)高壓縮比的陣型分辨概率明顯更強(qiáng)。

進(jìn)一步分析幅相誤差對(duì)多目標(biāo)方位估計(jì)誤差的影響，假設(shè)存在5個(gè)目標(biāo)，在-60°～60°均勻分布，假設(shè)只存在一種誤差的基礎(chǔ)上，分別逐漸增大幅度和相位誤差，保持陣型參數(shù)不變，經(jīng)過蒙特卡洛試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)得到不同誤差下各陣型的多目標(biāo)方位估計(jì)誤差結(jié)果如圖11所示。

圖10 多目標(biāo)方位分辨概率與幅相誤差的關(guān)系Fig.10 Relationship between azimuth resolution probability of multiple targets and amplitude and phase errors

圖11 多目標(biāo)方位估計(jì)誤差與幅相誤差的關(guān)系Fig.11 Relationship between multi-target azimuth estimation error and amplitude-phase error

如圖11可以發(fā)現(xiàn)，在不同的壓縮倍數(shù)下，子陣壓縮互質(zhì)陣的多目標(biāo)方位估計(jì)誤差均會(huì)隨著幅相誤差的增大而增大，此時(shí)高壓縮比的陣型分辨概率明顯更強(qiáng)。且相比于子陣壓縮互質(zhì)陣，均勻直線陣的估計(jì)誤差明顯增大，當(dāng)幅相誤差大于一定閾值時(shí)均勻直線陣的估計(jì)誤差大于子陣壓縮互質(zhì)陣。

3.2 陣元位置誤差條件下的多目標(biāo)方位估計(jì)

陣列導(dǎo)向向量是陣列對(duì)空間單位功率信源的空間響應(yīng)，它與陣元的空間位置密切相關(guān)，不同的空間位置對(duì)應(yīng)導(dǎo)向向量中不同的傳播時(shí)延從而造成不同的空間響應(yīng)，所以當(dāng)陣元位置出現(xiàn)擾動(dòng)時(shí)，可以等效為陣列導(dǎo)向向量中存在方向依賴的相位擾動(dòng)。

理想陣元位置表示為：

Pos=[(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xM,yM)]

(9)

陣元位置誤差表示為：

ΔPos=[(Δx1,Δy1)，(Δx2,Δy2)，…，(ΔxM,ΔyM)]

(10)

實(shí)際陣元位置表示為：

(11)

式中：Δxm、Δym為第m陣元的x、y軸坐標(biāo)誤差。

假設(shè)Δxm、Δym服從均值為0、均方差為0.1 m的高斯分布，模擬互質(zhì)陣M1=7、M2=10，分別取p=2，5，10，同時(shí)模擬原型互質(zhì)陣與均勻直線陣。分析幅相誤差存在情況下的多目標(biāo)方位分辨概率與信號(hào)源方位間隔的關(guān)系。假設(shè)存在2個(gè)目標(biāo)，第1個(gè)目標(biāo)位于50°固定不變，第2個(gè)目標(biāo)從50.6°到60°變化，兩目標(biāo)間隔從0.6°到10°變化，經(jīng)過1 000次蒙特卡洛試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)得到不同方位間隔下各陣型的多目標(biāo)方位分辨概率結(jié)果如圖12所示。

圖12 陣元位置誤差存在情況下的多目標(biāo)方位分辨概率與信號(hào)源方位間隔的關(guān)系Fig.12 Relationship between multi-target azimuth resolution probability and signal source azimuth interval in the presence of array element position error

如圖12可以發(fā)現(xiàn)，原型互質(zhì)陣的多目標(biāo)方位分辨能力要強(qiáng)于均勻直線陣，此外，相比于原型互質(zhì)陣，子陣壓縮的互質(zhì)陣的多目標(biāo)方位分辨能力更高，且壓縮倍數(shù)越大多目標(biāo)方位分辨能力越高。對(duì)比圖6可發(fā)現(xiàn)，陣元位置誤差存在情況下，原型互質(zhì)陣與均勻直線陣的多目標(biāo)方位分辨概率明顯下降，而子陣壓縮的互質(zhì)陣則性能保持較好。

具體分析子陣壓縮的互質(zhì)陣的多目標(biāo)方位分辨概率隨著陣元位置誤差增大的變化趨勢(shì)。假設(shè)第1個(gè)目標(biāo)位于50°，第2個(gè)目標(biāo)位于51.3°，逐漸增大位置誤差，陣型參數(shù)不變，經(jīng)過蒙特卡洛試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)得到不同誤差下各陣型的多目標(biāo)方位分辨概率結(jié)果如圖13所示。

如圖13可以發(fā)現(xiàn)，在不同的壓縮倍數(shù)下，子陣壓縮互質(zhì)陣的多目標(biāo)方位分辨能力均會(huì)隨著陣元位置誤差的增大而減弱，此時(shí)高壓縮比的陣型分辨概率明顯更強(qiáng)。

繼續(xù)分析陣元位置誤差對(duì)多目標(biāo)方位估計(jì)誤差的影響，假設(shè)存在5個(gè)目標(biāo)，在-60°～60°均勻分布，逐漸增大陣元位置誤差，保持陣型參數(shù)不變，經(jīng)過蒙特卡洛試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)得到不同陣元位置誤差下各陣型的多目標(biāo)方位估計(jì)誤差結(jié)果如圖14所示。

圖14 多目標(biāo)方位估計(jì)誤差與陣元位置誤差的關(guān)系Fig.14 Relationship between multi-target azimuth estimation error and array element position error

如圖14可以發(fā)現(xiàn)，在不同的壓縮倍數(shù)下，子陣壓縮互質(zhì)陣的多目標(biāo)方位估計(jì)誤差均會(huì)隨著陣元位置誤差的增大而增大，此時(shí)高壓縮比的陣型分辨概率明顯更強(qiáng)。且相比于子陣壓縮互質(zhì)陣，均勻直線陣的估計(jì)誤差明顯增大，當(dāng)陣元位置誤差大于一定閾值時(shí)均勻直線陣的估計(jì)誤差大于子陣壓縮互質(zhì)陣。

4 結(jié)論

1)結(jié)果表明子陣壓縮的互質(zhì)陣能夠有效地估計(jì)多目標(biāo)方向，且壓縮倍數(shù)越大能估計(jì)的目標(biāo)數(shù)目越多。

2)在低信噪比條件下，不同壓縮倍數(shù)下子陣壓縮互質(zhì)陣的性能均高于均勻直線陣與原型互質(zhì)陣，且壓縮倍數(shù)越大多目標(biāo)方位分辨能力越高、估計(jì)誤差越低。

3)隨著陣列誤差的增大，基于子陣壓縮的互質(zhì)陣列受陣列誤差的影響小于均勻直線陣，性能下降更慢，在抗陣列誤差影響方面具有更高的的穩(wěn)健性。