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      關(guān)注探究環(huán)節(jié),模型轉(zhuǎn)化破題

      2021-03-21 18:18:25薛麗萍
      關(guān)鍵詞:相似三角形幾何結(jié)論

      薛麗萍

      [摘? 要] 關(guān)注幾何模型,利用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化,是破解幾何題的重要策略,同樣適用于幾何探究題. 探究型問(wèn)題往往側(cè)重于考查知識(shí)探究、思路構(gòu)建的過(guò)程. 實(shí)際解析時(shí)要關(guān)注圖像特征,合理類比,充分利用模型特性. 文章以一道幾何探究題為例開展解題探究,并深入反思.

      [關(guān)鍵詞] 幾何;三垂直;模型;結(jié)論;相似三角形

      幾何是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)模塊,幾何問(wèn)題中常融合模型探究的幾何結(jié)論,因此掌握模型特點(diǎn),活用模型特性,有助于獲得解題思路. 下面以一道幾何探究題為例,深入分析破題過(guò)程.

      問(wèn)題探究

      【應(yīng)用嘗試】 在“問(wèn)題初探”的基礎(chǔ)上作圖,過(guò)點(diǎn)B作AD的垂線,與AD的交點(diǎn)設(shè)為G,與AC的交點(diǎn)設(shè)為F,如圖2所示,試證明AE2=AF·AC.

      【創(chuàng)新拓展】 對(duì)“應(yīng)用嘗試”中的等腰直角三角形進(jìn)行修改,如圖3所示,∠BAC=90°,∠ABC=30°,其他條件不變,試探究AE,AF,AC三條線段之間的關(guān)系.

      【極限挑戰(zhàn)】 將“創(chuàng)新拓展”中的直角三角形改為∠BAC=90°,其他條件不變,如圖4所示,再次探究AE,AF,AC三條線段之間的關(guān)系.

      解析突破

      上述是一道幾何探究題,按照“問(wèn)題初探→應(yīng)用嘗試→創(chuàng)新拓展→極限挑戰(zhàn)”設(shè)計(jì)四個(gè)環(huán)節(jié)的問(wèn)題,旨在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、總結(jié)應(yīng)用、拓展探究,拓寬解題思路,促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展. 下面逐問(wèn)探究.

      1. 初步探究

      “問(wèn)題初探”環(huán)節(jié)設(shè)定△ABC并交叉連線,整體來(lái)看,是三角形內(nèi)的交叉圖形,線段比值所涉兩條線段均未知,可利用平行線分線段成比例定理,結(jié)合“A字形”“8字形”相似模型來(lái)轉(zhuǎn)化. 本問(wèn)題屬于基礎(chǔ)問(wèn)題,構(gòu)造平行線的方法較為多樣,下面舉例探究.

      評(píng)析 上述呈現(xiàn)的兩種解法的核心思想是一致的,即通過(guò)作平行線,利用平行線分線段成比例來(lái)轉(zhuǎn)化線段關(guān)系. 解法1和解法2中所構(gòu)造的“A字形“和”8字形“相似模型是線段比例關(guān)系轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ). 實(shí)際解析時(shí)需要注意兩點(diǎn):一是合理選取平行對(duì)象,盡量不去截取問(wèn)題所涉線段;二是合理利用相似模型來(lái)轉(zhuǎn)化線段比例關(guān)系.

      2. 應(yīng)用嘗試

      “應(yīng)用嘗試”環(huán)節(jié)是在上一問(wèn)基礎(chǔ)上的進(jìn)一步探究應(yīng)用,即在原圖上作了垂線,需要求證線段關(guān)系. 根據(jù)結(jié)論的形式可知需要借助相似三角形的性質(zhì). 已知△ABC為等腰直角三角形,AE∶AC=1∶2,BF⊥AD,可見與矩形內(nèi)的十字架結(jié)構(gòu)相關(guān),可構(gòu)造“三垂直”模型來(lái)轉(zhuǎn)化條件,具體如下.

      過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線,設(shè)與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H. 已知AB=AC,可證△BAF≌△ACH(“三垂直”模型),△PAE∽△PHC(“8字形”相似模型). 由“問(wèn)題初探”可知EP∶CP=2∶1,所以AE∶HC=2∶1. 可設(shè)CH=a,則AF=a,AE=2a,可推知AB=AC=4a,則(2a)2=a·4a,所以AE2=AF·AC,得證.

      評(píng)析 在圖中構(gòu)造“三垂直”模型是突破的關(guān)鍵,題中圖形結(jié)構(gòu)較為抽象,不容易發(fā)現(xiàn)模型,此時(shí)就可以將Rt△ABC補(bǔ)全,構(gòu)建相應(yīng)的正方形,如圖7所示. 很明顯,題干的核心條件“BF⊥AD”使得正方形中呈現(xiàn)出“三垂直”全等模型,因此解題探究要注重補(bǔ)形思想的培養(yǎng).

      3. 創(chuàng)新拓展

      “創(chuàng)新拓展”環(huán)節(jié)是從幾何視角進(jìn)行的拓展創(chuàng)新,再次探究AE,AF,AC三條線段之間的關(guān)系,同樣可將其放置在相應(yīng)的三角形中,利用本題的主題“相似轉(zhuǎn)化”來(lái)進(jìn)行突破,作圖解法過(guò)程如下.

      評(píng)析 本環(huán)節(jié)突破的關(guān)鍵同樣是構(gòu)造“三垂直”模型,利用模型來(lái)推導(dǎo)相似三角形. 與前兩個(gè)環(huán)節(jié)關(guān)聯(lián)思考可知,問(wèn)題解析有兩大策略:一是過(guò)頂點(diǎn)C作AB的平行線來(lái)構(gòu)造“三垂直”模型,二是利用相似性質(zhì)探索線段關(guān)系. 這也是突破該題的核心策略,后續(xù)探究可直接從模型構(gòu)造、相似轉(zhuǎn)化的視角進(jìn)行思考.

      4. 極限挑戰(zhàn)

      該環(huán)節(jié)進(jìn)一步對(duì)題干信息進(jìn)行了修改,刪去了“創(chuàng)新拓展”中的“∠ABC=30°”,則△ABC不再是含有30°角的直角三角形,故無(wú)法從三角形的邊長(zhǎng)比例關(guān)系來(lái)突破,問(wèn)題更具有一般性. 此時(shí)可同樣猜想AE,AF,AC三條線段具有“AE2=AF·AC”的關(guān)系. 探索問(wèn)題本質(zhì)可知,實(shí)際上該環(huán)節(jié)是探究直角三角形的銳角對(duì)線段比例結(jié)論的影響. 問(wèn)題突破沿用上述的“模型構(gòu)造,相似轉(zhuǎn)化”策略,過(guò)程如下.

      評(píng)析 上述“極限挑戰(zhàn)”環(huán)節(jié)的三角形更具一般性,回歸幾何本身,解析的方法思路是一致的,即可通過(guò)構(gòu)造“三垂直”模型,利用相似性質(zhì)來(lái)證明線段比例結(jié)論. 對(duì)于Rt△ABC,由于∠BAC=90°,結(jié)合圓周角定理的推論可知點(diǎn)A在以BC為直徑的圓上.

      解后反思

      上述對(duì)一道幾何探究題進(jìn)行了解析突破,探究題共分四個(gè)環(huán)節(jié),設(shè)置了四問(wèn),問(wèn)題所涉知識(shí)點(diǎn)、方法的內(nèi)涵豐富,所呈現(xiàn)的四個(gè)環(huán)節(jié)充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的探究精髓. 問(wèn)題圖像立足數(shù)學(xué)模型,但不局限于模型,解析過(guò)程突破了定式思維,對(duì)結(jié)論進(jìn)行了一般化拓展. 下面深入反思.

      1. 關(guān)于問(wèn)題的模型思考

      問(wèn)題突破的核心是幾何模型,包括“三垂直”模型和“A字形”相似模型、“8字形”相似模型. 其中“三垂直”模型為兩個(gè)直角三角形的一組頂點(diǎn)對(duì)接,一組邊共線,形成了相夾三角形,從而出現(xiàn)三個(gè)直角三角形,且互為相似關(guān)系. 若三角形中存在一組對(duì)應(yīng)邊相等,則可形成“三全等模型”. “A字形”和“8字形”相似模型是基于位置關(guān)系生成的模型,其中“A字形”從整體上可視為兩個(gè)三角形的套疊,而“8字形”則是對(duì)頂角對(duì)接. 探究學(xué)習(xí)需要關(guān)注模型特點(diǎn),總結(jié)模型特征,掌握模型的識(shí)別方法.

      2. 關(guān)于問(wèn)題的思路分析

      上述探究線段的乘積關(guān)系可歸為線段關(guān)系問(wèn)題,是幾何探究的常見問(wèn)題形式,解析時(shí)充分利用相似模型的邊長(zhǎng)比例關(guān)系來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 實(shí)際上幾何線段關(guān)系問(wèn)題的類型較為多樣,還存在線段和差關(guān)系、線段倍分關(guān)系、線段乘方和關(guān)系等,問(wèn)題解析要從幾何定理入手,結(jié)合結(jié)論的形式來(lái)逐步轉(zhuǎn)化突破. 以線段和差關(guān)系問(wèn)題為例,“全等轉(zhuǎn)化”是解析的基本思想,常采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的策略;對(duì)于線段倍分關(guān)系問(wèn)題,其本質(zhì)是比例線段問(wèn)題,可通過(guò)探究三角形的相似比或全等關(guān)系來(lái)解決;而線段乘方和關(guān)系問(wèn)題,從結(jié)論形式來(lái)看顯然要立足勾股定理,故需要構(gòu)造直角三角形,利用直角三角形之間的關(guān)系來(lái)轉(zhuǎn)化構(gòu)建.

      3. 關(guān)于問(wèn)題的命題構(gòu)建思考

      幾何探究題最顯著的特點(diǎn)是側(cè)重“探究”,問(wèn)題設(shè)置層層遞進(jìn),逐步深入,體現(xiàn)出知識(shí)探究的全過(guò)程. 教學(xué)探究題的精髓在于引導(dǎo)學(xué)生由“特殊”到“一般”,逐步向數(shù)學(xué)本質(zhì)靠近. 以本問(wèn)題為例,其核心結(jié)論是三條線段之間的數(shù)量關(guān)系,圖形由“特殊”的直角三角形,逐步過(guò)渡到“一般”的銳角三角形,深刻反映出三條線段的數(shù)量關(guān)系與直角三角形的內(nèi)角無(wú)關(guān). 從解題過(guò)程來(lái)看,可將其視為是關(guān)于解題思路的類比探究,即通過(guò)構(gòu)造“三垂直”模型,利用相似轉(zhuǎn)化來(lái)證明. 而類比型探究題還包括模型類比、結(jié)論類比、建模類比等,實(shí)際探究時(shí)要充分把握問(wèn)題的前后關(guān)聯(lián),思考可類比的內(nèi)容,簡(jiǎn)化解題思路,同時(shí)注意總結(jié)思考,生成數(shù)學(xué)解題的基本策略.

      寫在最后

      幾何探究題具有極高的研究?jī)r(jià)值,不僅體現(xiàn)在問(wèn)題的作圖方法、構(gòu)建思路,問(wèn)題的轉(zhuǎn)化思想、破題策略對(duì)于后續(xù)解題探究也有極大的幫助. 而在解題教學(xué)中,教師要注重研究幾何模型,提煉核心思想,合理類比探究,幫助學(xué)生形成對(duì)應(yīng)的解題策略.

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