步步為營探究，“退”“進(jìn)”結(jié)合突破

孫仕英

[摘? 要] 遞進(jìn)式幾何探究題在中考中十分常見，過程解析要利用類比探究的方法，同時合理運(yùn)用“步步為營，以退為進(jìn)”的策略，穩(wěn)步分析，全面總結(jié)，“退”“進(jìn)”有度，合理參考引用. 文章深入分析問題，并結(jié)合實(shí)例加以探究，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 幾何;探究;遞進(jìn);類比;模型

遞進(jìn)式探究是幾何常見的考查方式，常作為壓軸題在中考中出現(xiàn). 把握問題特點(diǎn)，掌握解法策略，親歷解題過程，自主解題感悟，既是解題探究的要求，也是素質(zhì)提升的重要途徑，下面具體分析.

問題分析與解法探究

遞進(jìn)式幾何探究題往往以層層遞進(jìn)的方式來呈現(xiàn)問題，涉及探索發(fā)現(xiàn)、類比探究、解決問題等環(huán)節(jié)，解析過程大多需要經(jīng)歷模型建立、模型探究和模型應(yīng)用三個階段. 遞進(jìn)式幾何探究題往往具有小落點(diǎn)、深分析的特點(diǎn)，問題解法前后關(guān)聯(lián)，融合了從特殊到一般的思想方法，能夠引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)探究的方法，提升學(xué)生的綜合能力.

解決此類探究題，需要掌握一定的技巧. 問題的圖形往往較為復(fù)雜，讀圖、識圖是解題過程中的重要環(huán)節(jié)，可以其中的基本圖形作為突破口，觀察問題圖形中是否含有基本圖形或模型，以基本圖形的性質(zhì)結(jié)論作為探究起點(diǎn). 另外，問題常以遞進(jìn)設(shè)問、類比構(gòu)造的方式呈現(xiàn)，特別注重構(gòu)造全等或相似三角形以及引出輔助圓等. 問題解析建議采用“步步為營，以退為進(jìn)”的策略，即遞進(jìn)式幾何探究題一般分設(shè)三小問，解析時要深刻理解每一問的信息條件，總結(jié)問題解法，后續(xù)分析沒有思路時，可退回上一問，總結(jié)解題要點(diǎn)，這也是該類問題探究引導(dǎo)的特點(diǎn)所在.

實(shí)例解讀與評析總結(jié)

遞進(jìn)式幾何探究題的類型眾多，關(guān)注解析過程，感悟解題方法是探究的重點(diǎn)，下面對一道實(shí)例加以探究.

問題：在△ABC中，已知CA=CB，∠ACB=α. 點(diǎn)P是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)（與點(diǎn)A和C均不重合）. 連接AP，將線段AP繞著點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)α，可得線段DP，再連接AD，BD，CP.

分析：本題是以三角形為背景的幾何探究題，主要探究不同情形下線段比值、兩線夾角等. 首先需要理解圖形結(jié)構(gòu)，△ABC是以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的等腰三角形，而點(diǎn)P是三角形內(nèi)的動點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)過程可知∠APD=∠ACB=α，且△APD是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形. 顯然圖形中存在一組相似三角形△ACB∽△APD，后續(xù)探究可充分利用相似特性.

過程探究：（1）該問設(shè)定α=60°，顯然△ABC和△APD均為等邊三角形，求BD與CP的線段比值以及兩線相交所成較小角的度數(shù). 可將其放置于對應(yīng)三角形中，采用“補(bǔ)形—性質(zhì)分析”的思路.

求直線BD與CP所成較小角的度數(shù)，就是求∠BEO的大小. 根據(jù)上述全等性質(zhì)可得∠ACP=∠ABD，又知∠AOC=∠BOE，則可推得∠BEO=∠CAO=60°，即直線BD與CP所成的較小角的度數(shù)為60°.

思路總結(jié)：求問題中的線段比值和所成角的大小，可充分利用問題中的全等或相似關(guān)系，提取其中的等角關(guān)系，進(jìn)而推導(dǎo)角度大小.

（2）該問直接設(shè)定α=90°，則△ABC和△APD均為等腰直角三角形，可設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，BD交PC于點(diǎn)E，如圖5所示.

評析總結(jié)：上述探究幾何圖形中的線段比值以及所成角的大小，主要有三大特點(diǎn)，一是依托幾何旋轉(zhuǎn)構(gòu)建了兩個相似三角形，并可視為是旋轉(zhuǎn)縮放關(guān)系;二是采用遞進(jìn)設(shè)問的方式，由60°角形成的等邊三角形，遞進(jìn)到90°角形成的等腰直角三角形，再遞進(jìn)到形成共線、平行等特殊情形.

解后思考與教學(xué)建議

遞進(jìn)式幾何探究題兼具綜合性與探究性，實(shí)際教學(xué)中教師要指導(dǎo)學(xué)生掌握解題方法，培養(yǎng)良好的解題習(xí)慣，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng). 下面筆者提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

1. 關(guān)注圖形變換，強(qiáng)化作圖能力

遞進(jìn)式幾何探究題的結(jié)構(gòu)可概括為“核心框架突出”與“圖形靈活變換”相結(jié)合，即問題主干不變，適度進(jìn)行圖形變換，如點(diǎn)動、翻折、平移等，故讀圖審題十分重要，也是解題的關(guān)鍵一步. 這就要求學(xué)生具備扎實(shí)的作圖功底，能夠深刻理解條件精髓，準(zhǔn)確作圖. 幾何教學(xué)中，教師需要培養(yǎng)學(xué)生的語言轉(zhuǎn)化能力，引導(dǎo)學(xué)生掌握幾何語言與文字語言的對應(yīng)關(guān)系，靈活轉(zhuǎn)換;同時總結(jié)幾何關(guān)系的構(gòu)建方式，包括作垂線、平行線、角平分線等，強(qiáng)化學(xué)生的作圖能力.

2. 學(xué)習(xí)類比探究，感悟“向上看”的策略

類比探究是突破遞進(jìn)式幾何探究題的核心方法，解題時建議配合使用“步步為營，以退為進(jìn)”的策略，簡單來說就是多總結(jié)、向上看，即完成第一問的解析后，注意對其加以總結(jié)，后續(xù)解析出現(xiàn)思維障礙時，可參照上一問的思路進(jìn)行模型、方法、思路的遷移. 教學(xué)中可精選典型問題，從問題圖形、核心條件、知識考點(diǎn)、方法思路等角度加以分析，引導(dǎo)學(xué)生掌握類比探究的方法.

3. 滲透思想方法，注重學(xué)科素養(yǎng)的提升

類比探究中隱含了類比思想，其中的思想核心是教學(xué)的重點(diǎn)，對于學(xué)生的素養(yǎng)提升極為重要. 因此，教學(xué)遞進(jìn)式幾何探究題要注重思想方法的講解，合理滲透類比思想，讓學(xué)生感悟其中的思想內(nèi)涵，掌握類比探究的技巧. 同時，解題過程還涉及模型思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論等，教學(xué)時可將思想方法進(jìn)行綜合，基于數(shù)學(xué)思想構(gòu)建解題思路. 以思想方法的教學(xué)為核心，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，全面提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).

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