王敏敏 張大偉

[摘? 要] 二次函數(shù)中的角度存在性問題可從幾何與函數(shù)兩大視角突破解法思路，幾何分析時(shí)依托角度構(gòu)建模型，函數(shù)分析時(shí)關(guān)注直線與角度正切值的關(guān)系. 文章深入剖析了該類問題的解法策略，并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行了解法初探和綜合探究，提出了幾點(diǎn)教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);角度;存在性;幾何;函數(shù);思想方法

二次函數(shù)中的角度存在性問題需要學(xué)生重點(diǎn)掌握. 問題常以二次函數(shù)為背景，探究角度是否存在，或探究角度存在時(shí)某點(diǎn)的坐標(biāo). 從問題的本質(zhì)來看，探究的內(nèi)容是一致的，均需要在拋物線中構(gòu)建角度模型. 下面分析幾個(gè)方法，探究并構(gòu)建相應(yīng)的思路.

方法綜述

二次函數(shù)中的角度存在性問題主要分為兩類：一是特殊角存在性問題，如30°，45°，60°，90°等;二是一般角存在性問題. 在實(shí)際考查中，特殊角存在性問題最常見，而涉及一般角時(shí)則可以通過角度的組合來構(gòu)造特殊角. 該類問題的解法較特殊，可從幾何或函數(shù)的視角來構(gòu)建思路.

1. 幾何法

幾何法主要是利用特殊角來構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的特殊比例關(guān)系來轉(zhuǎn)化求解. 如若某問題涉及45°角，則可依托該角構(gòu)造等腰直角三角形;若出現(xiàn)的是30°角或60°角，則可構(gòu)造直角三角形，30°角對(duì)應(yīng)的邊是斜邊的一半;若出現(xiàn)的是90°角，則可將直角三角形傾斜放置，構(gòu)造“一線三垂直”模型，如圖1所示.

2. 函數(shù)解析法

函數(shù)解析法需要利用直線斜率與角度正切值的關(guān)系，即對(duì)于直線l，設(shè)其與x軸正方向的夾角為θ，則該直線的解析式可表示為y=tanθ·x+m，因此后續(xù)探究只需要聯(lián)立直線的解析式和拋物線的解析式，直接確定兩者的交點(diǎn)即可.

解法初探

無論是利用幾何法構(gòu)造含所涉角的直角三角形，還是利用解析法分析直線與曲線的交點(diǎn)，解題時(shí)均需有序過程，把握要點(diǎn). 第一步，讀題審題，理解題意;第二步，把握特征，有序思考;第三步，把握關(guān)鍵點(diǎn)，合理作圖;第四步，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化破題. 下面結(jié)合一道簡(jiǎn)單的例題來探究解題過程.

例1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P為拋物線y=x2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），且滿足∠AOP=45°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______.

分析 本題探究的是∠AOP=45°時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，可按照上述的步驟逐步構(gòu)建思路.

第一步，讀題審題，理解題意. 本題的核心條件有兩個(gè)：一是點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2）和拋物線的解析式為y=x2;二是∠AOP=45°.

第二步，把握特征，有序思考. 點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，可知在射線OA上方的拋物線上有滿足條件的點(diǎn)P，即在拋物線上存在點(diǎn)P使得∠AOP=45°.

第三步，把握關(guān)鍵點(diǎn)，合理作圖. 求點(diǎn)P的坐標(biāo)，可充分利用條件∠AOP=45°，將其放置在直角三角形中，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)構(gòu)造直角三角形.

第四步，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化破題. 利用直角三角形的性質(zhì)求解線段長(zhǎng)，推導(dǎo)直線OP上其他點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)可將所得的結(jié)果代入圖形，分析其是否合理，還要結(jié)合圖形分析是否存在其他情形.

評(píng)析 以二次函數(shù)作為背景探究特定角是否存在，涉及了直線旋轉(zhuǎn)，解析時(shí)需要充分利用旋轉(zhuǎn)的條件推導(dǎo)角度，所呈現(xiàn)的兩種解法各具代表性和優(yōu)勢(shì). 函數(shù)解析法注重直線斜率與角度正切值的關(guān)系，利用直線與函數(shù)曲線相交來求解點(diǎn)的坐標(biāo);幾何模型法則注重幾何模型的構(gòu)建，利用幾何性質(zhì)來推導(dǎo)線段的長(zhǎng)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo). 整體上都采用了“假設(shè)—驗(yàn)證”的思路，順推解析，相悖否定.

總結(jié)反思

二次函數(shù)中的角度存在性問題具有兩大特征：一是以二次函數(shù)為背景，具有函數(shù)屬性，利用函數(shù)的性質(zhì)可推導(dǎo)點(diǎn)的坐標(biāo)，研究最值;二是同幾何圖形相結(jié)合，幾何屬性顯著，常依托函數(shù)曲線上的關(guān)鍵點(diǎn)構(gòu)建幾何模型，可利用幾何性質(zhì)求解線段長(zhǎng). 從問題屬性的角度探究解法，可生成函數(shù)分析和幾何分析兩大突破思路，下面就此提出兩點(diǎn)教學(xué)建議.

建議1：把握問題本質(zhì)，總結(jié)轉(zhuǎn)化策略. 二次函數(shù)中的角度存在性問題的本質(zhì)是函數(shù)曲線與幾何模型的性質(zhì)和特征的綜合，教學(xué)探究時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題的本質(zhì)、屬性，掌握常見的轉(zhuǎn)化策略. 引導(dǎo)學(xué)生從幾何視角構(gòu)建模型，探究角度與邊長(zhǎng)的聯(lián)系;從函數(shù)視角分析直線斜率與角度的關(guān)聯(lián)，通過曲線與直線相交來定位關(guān)鍵點(diǎn);同時(shí)應(yīng)注重常見模型的歸納和總結(jié)，培養(yǎng)模型解題的良好習(xí)慣.

建議2：領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，構(gòu)建解析思路. 角度存在性問題的解析過程實(shí)則是思想和方法綜合運(yùn)用的過程，其中隱含了眾多的數(shù)學(xué)思想：作圖建模隱含了建模思想，條件轉(zhuǎn)化隱含了化歸與轉(zhuǎn)化思想，條件討論隱含了分類討論思想……無論是從圖形的角度進(jìn)行分析，還是從函數(shù)的角度進(jìn)行突破，均隱含了數(shù)形結(jié)合思想. 實(shí)際教學(xué)中建議立足數(shù)學(xué)思想開展問題探討，提升學(xué)生解題能力的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

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