注重概念的構(gòu)建過程 理解統(tǒng)計的思維方法

路俊蓮 白道洪

摘? 要：一個統(tǒng)計量的形成必然有它的必要性和合理性. 通過一節(jié)“樣本相關(guān)系數(shù)”課例，以樣本估計總體為主要思想，通過問題引領(lǐng)，將教學(xué)重點放在統(tǒng)計量的概念構(gòu)建和優(yōu)化過程及對統(tǒng)計方法的理解上，引導(dǎo)學(xué)生深刻體會引入“線性相關(guān)系數(shù)”這個統(tǒng)計量的必要性和合理性，逐步滲透統(tǒng)計的思維方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：統(tǒng)計量;構(gòu)建與優(yōu)化;必要性;合理性;統(tǒng)計的思維與方法

在人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修二“統(tǒng)計”中，基于數(shù)據(jù)觀察、直觀表示及統(tǒng)計特征的刻畫等相關(guān)知識和方法，我們研究了單個隨機變量. 但是在現(xiàn)實中，還需要了解兩個或兩個以上變量間的關(guān)系. 本課例結(jié)合現(xiàn)實生活中的具體實例，以樣本估計總體為主要思想，在成對樣本數(shù)據(jù)散點圖的基礎(chǔ)上，定量研究成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)的強弱. 筆者通過精心設(shè)計的問題串，引導(dǎo)學(xué)生探究統(tǒng)計量的構(gòu)建過程，深刻理解引入統(tǒng)計量的必要性和合理性，重視內(nèi)容邏輯與認知規(guī)律的融合，體會統(tǒng)計思維，深度理解統(tǒng)計的概念和方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理素養(yǎng).

一、內(nèi)容解析

1. 教材分析

本節(jié)課“樣本相關(guān)系數(shù)”是教材選擇性必修第三冊第八章“成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析”中8.1.2的內(nèi)容. 本節(jié)內(nèi)容是必修課程中統(tǒng)計知識的進一步延伸，對于成對樣本數(shù)據(jù)研究兩個變量的相關(guān)關(guān)系，根據(jù)先直觀描述后定量刻畫的原則，體現(xiàn)統(tǒng)計中研究問題的一般思路. 本節(jié)課的內(nèi)容可以讓學(xué)生初步體會統(tǒng)計量構(gòu)建的過程，感受由直觀想法到嚴格數(shù)學(xué)表達的逐步轉(zhuǎn)化過程，通過設(shè)計從特殊到一般的研究方法，掌握樣本相關(guān)系數(shù)絕對值的大小可以刻畫樣本相關(guān)程度的強弱，進一步推斷兩個變量之間相關(guān)的正負性和線性相關(guān)程度的強弱，為后面利用一元回歸模型刻畫兩個數(shù)值變量的相關(guān)關(guān)系，并利用估計得到的回歸方程進行預(yù)測奠定基礎(chǔ)，也為后面通過抽樣數(shù)據(jù)推斷分類變量的獨立性，構(gòu)建卡方統(tǒng)計量做了思想方法上的鋪墊.

2. 蘊涵的數(shù)學(xué)思想和方法

用成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的統(tǒng)計相關(guān)性去估計變量之間的相關(guān)性做鋪墊，這個分析過程突出了通過數(shù)據(jù)研究問題的學(xué)科特點，散點圖無法定量刻畫成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度的強弱，在構(gòu)造樣本相關(guān)系數(shù)的過程中，先初步建立刻畫相關(guān)性的數(shù)學(xué)表達式，再逐步優(yōu)化表達式，即對數(shù)據(jù)所做的“中心化”和“標(biāo)準化”等處理，這些處理是統(tǒng)計學(xué)中常用的處理數(shù)據(jù)的方法，是一種重要的“標(biāo)準化”思想，滲透了理性思維和科學(xué)精神.

統(tǒng)計學(xué)習(xí)不應(yīng)該只是讓學(xué)生記住一些概念、公式和方法實施的操作步驟，更重要的是要了解概念和方法產(chǎn)生的必要性，以及方法的合理性，了解統(tǒng)計的思路和特點，進而用統(tǒng)計的眼光看待問題，體會統(tǒng)計思維和確定性思維的差異，歸納推斷與演繹證明的差異，積累數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理素養(yǎng).

在目前的大數(shù)據(jù)時代，數(shù)據(jù)分析在實際生活中有著重要的作用，探究事物之間的相互關(guān)系非常有必要，研究兩個或兩個以上變量的相關(guān)關(guān)系解決實際問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系. 數(shù)學(xué)來源于生活，而又高于生活，通過數(shù)據(jù)收集和處理信息，感悟歸納推理的思想，能夠理解數(shù)據(jù)中蘊含的信息，通過對信息的處理，可以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和數(shù)據(jù)處理能力.

3. 學(xué)情分析

（1）學(xué)生的已有基礎(chǔ).

學(xué)生在必修的學(xué)習(xí)中，對于統(tǒng)計中的用樣本估計總體的統(tǒng)計思想有了一定的了解，接觸了刻畫單個變量特征的基本量，如均值、方差、中位數(shù)、眾數(shù)等. 在8.1.1的學(xué)習(xí)過程中，對成對樣本數(shù)據(jù)，學(xué)生可以通過計算機繪制散點圖，根據(jù)散點圖直觀推斷變量之間的相關(guān)關(guān)系，如正相關(guān)、負相關(guān)、線性相關(guān)三種特殊且重要的相關(guān)關(guān)系，這些都為本節(jié)課定量地研究相關(guān)程度的強弱奠定了一定的基礎(chǔ).

（2）學(xué)生可能存在的困難.

在構(gòu)造樣本相關(guān)系數(shù)的過程中，對“中心化”和“標(biāo)準化”處理的理解可能存在困難;在優(yōu)化公式表達式的過程中，對公式煩瑣的化簡過程和表示符號的理解存在一定困難;對探究樣本相關(guān)系數(shù)大小與相關(guān)性強弱的關(guān)系存在困難.

4. 教學(xué)目標(biāo)

（1）結(jié)合實例，由散點圖的圖象特征構(gòu)建線性相關(guān)系數(shù)的數(shù)學(xué)表達式，了解樣本相關(guān)系數(shù)的大小與相關(guān)性強弱的關(guān)系;能使用統(tǒng)計軟件分析數(shù)據(jù)，能對統(tǒng)計結(jié)果做出合理的解釋.

（2）通過逐步優(yōu)化構(gòu)建相關(guān)系數(shù)的過程，體會樣本相關(guān)系數(shù)定義的合理性，積累利用數(shù)學(xué)工具刻畫數(shù)據(jù)統(tǒng)計特征的經(jīng)驗，了解“中心化”“標(biāo)準化”是常用的處理數(shù)據(jù)的方法，能用統(tǒng)計的眼光看待問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理素養(yǎng).

5. 教學(xué)重、難點

教學(xué)重點：樣本相關(guān)系數(shù)表達式的構(gòu)建、優(yōu)化過程及范圍確定.

教學(xué)難點：理解“中心化”“標(biāo)準化”處理的必要性和合理性.

二、教學(xué)主要環(huán)節(jié)

1. 提出問題，引出研究課題

問題1：觀察圖1 ～ 圖4四幅圖中，哪些圖可以推斷兩個變量是相關(guān)的？哪些圖表示的成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性較強？

問題2：通過散點圖可以推斷兩個變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，是正相關(guān)還是負相關(guān)，是線性相關(guān)還是非線性相關(guān)，但是這些推斷都只是定性推斷，我們能不能從定量的角度刻畫成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度呢？

【設(shè)計意圖】通過散點圖只能定性判斷是否相關(guān)，引出本節(jié)課的研究目標(biāo)——構(gòu)建一個統(tǒng)計量來定量刻畫線性相關(guān)程度的強弱，讓學(xué)生初步感受構(gòu)建一個統(tǒng)計量的必要性.

【設(shè)計意圖】幫助學(xué)生進一步理解樣本相關(guān)系數(shù)[r]的大小在統(tǒng)計中的含義.

說明：當(dāng)[r=0]時，成對樣本數(shù)據(jù)之間不一定不相關(guān)，只能說它們之間沒有線性相關(guān)關(guān)系，但不能排除它們之間具有其他相關(guān)關(guān)系. 因此，[r]也稱為樣本線性相關(guān)系數(shù).

三、教學(xué)反思與感悟

在完成“線性相關(guān)系數(shù)”的教學(xué)過程中，有幸得到了教材主編章建躍博士的親自指導(dǎo)，使筆者對理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)都有了新的感悟和提升，促使筆者深入思考. 與此同時，也得到了同組教師的積極支持和幫助. 對于統(tǒng)計的教學(xué)，不應(yīng)該只是停留在只關(guān)注統(tǒng)計量的概念和公式上，更應(yīng)該讓學(xué)生關(guān)注統(tǒng)計量概念和公式形成的必要性和合理性，即關(guān)注為什么要構(gòu)造統(tǒng)計量，怎樣構(gòu)造統(tǒng)計量，為什么這樣構(gòu)造. 只有這樣的教學(xué)，才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的特有功能，使學(xué)生的關(guān)鍵能力得到提升、核心素養(yǎng)得到發(fā)展.

1. 基于優(yōu)質(zhì)問題情境設(shè)計，促進學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念

教學(xué)過程中，通過問題串的引領(lǐng)讓學(xué)生充分體會知識的建構(gòu)過程，發(fā)揮了學(xué)生的主體作用. 本節(jié)課內(nèi)容多、信息量大，筆者通過設(shè)計由淺入深、環(huán)環(huán)相扣、自然流暢的問題串，先設(shè)計具有關(guān)聯(lián)性的大問題，在大問題下設(shè)計若干個追問的小問題，問題設(shè)計層層遞進，有明確的目標(biāo)，以問題解決或深入理解為目的，體現(xiàn)問題的驅(qū)動型、啟發(fā)性和關(guān)聯(lián)性. 在整個建構(gòu)過程中，學(xué)生真正理解了線性相關(guān)系數(shù)這個數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過程和方法，進一步了解了利用統(tǒng)計研究問題的思路和方法，學(xué)會了用統(tǒng)計的眼光看問題.

2. 基于統(tǒng)計概念主動建構(gòu)，形成統(tǒng)計思維發(fā)展基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的精髓和數(shù)學(xué)公式的發(fā)現(xiàn)過程，是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的典型素材. 教育家斯托利亞爾指出，積極的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)為數(shù)學(xué)活動（思維活動）的教學(xué)，而不是教學(xué)活動直接到數(shù)學(xué)知識點教學(xué). 教學(xué)過程中，通過問題串的引領(lǐng)讓學(xué)生充分體會到了統(tǒng)計量的建構(gòu)過程，發(fā)揮了學(xué)生的主體作用. 筆者先引導(dǎo)學(xué)生觀察具有正負相關(guān)性在散點圖中呈現(xiàn)的不同特征，初步構(gòu)造出了反映增長趨勢相同或相反的代數(shù)表達式，再通過數(shù)據(jù)“標(biāo)準化”對表達式進行優(yōu)化，最后得到不受樣本量和單位等影響的樣本相關(guān)系數(shù)公式. 在建構(gòu)和優(yōu)化表達式的過程中，讓學(xué)生體會到了構(gòu)造方法的合理性. 學(xué)生在獲得知識的過程中主動探究，體驗知識的發(fā)生、發(fā)展過程，自主建構(gòu)知識體系，逐步積累研究統(tǒng)計問題的經(jīng)驗和方法，促進學(xué)生思維的發(fā)展.

3. 基于信息技術(shù)合理運用，激發(fā)學(xué)生持續(xù)學(xué)習(xí)動機

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準》）指出，在“互聯(lián)網(wǎng)[+]”時代，信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生深刻影響，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，信息技術(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的重要輔助手段，為師生交流、生生交流、人際交流搭建了平臺，為學(xué)習(xí)和教學(xué)提供了豐富的資源. 同時，《標(biāo)準》特別強調(diào)利用統(tǒng)計軟件分析數(shù)據(jù). 本節(jié)課的教學(xué)是在計算機房進行的，每名學(xué)生都進行了實際操作. 對于本節(jié)課的例題，學(xué)生也通過實際操作感受到了信息技術(shù)對于研究統(tǒng)計問題的重要性. 利用信息技術(shù)計算統(tǒng)計量，避免了大量煩瑣和復(fù)雜的運算，把學(xué)生從機械、煩瑣的數(shù)據(jù)處理中解放出來，把更多精力集中在統(tǒng)計概念和方法的理解上，從而提高學(xué)習(xí)效率. 當(dāng)處理數(shù)據(jù)不再困難時，學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計和應(yīng)用統(tǒng)計的興趣也就提高了.

4. 基于發(fā)揮學(xué)生主體作用，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

本節(jié)課突出了以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)模式，教學(xué)流程層次分明，每個環(huán)節(jié)都有明確的設(shè)計意圖，體現(xiàn)了“做什么”“怎么做”的思維邏輯性，充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用. 整個教學(xué)過程不只是使學(xué)生獲得了知識，更重要的是發(fā)展了學(xué)生的能力，提升了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，使學(xué)生積累了利用數(shù)學(xué)工具刻畫統(tǒng)計特征的經(jīng)驗. 學(xué)生經(jīng)歷了從統(tǒng)計直觀到數(shù)學(xué)表達的概念形成過程，從中積累經(jīng)驗，體會統(tǒng)計思想，積累數(shù)據(jù)分析和處理的經(jīng)驗，感受、體驗了問題解決過程中的思維邏輯，真正做到讓核心素養(yǎng)落地生根.

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