2021年高考數(shù)學(xué)北京卷的特點(diǎn)及教學(xué)建議

摘? 要：2021年高考數(shù)學(xué)北京卷的試題有五個(gè)特點(diǎn)：試題素材突出熱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的結(jié)合;試題難度突出層次，實(shí)現(xiàn)了試題的選拔功能;試題求解突出通法，實(shí)現(xiàn)了對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查;試題設(shè)問突出創(chuàng)新，實(shí)現(xiàn)了高考積極引導(dǎo)教學(xué)的功能;試題考點(diǎn)突出綜合，實(shí)現(xiàn)了全面考查與重點(diǎn)考查的結(jié)合. 基于此，提出相應(yīng)的三點(diǎn)教學(xué)建議：突出應(yīng)用與實(shí)踐，幫助學(xué)生樹立良好的價(jià)值觀;突出過程與方法，提升核心素養(yǎng);突出綜合與創(chuàng)新，培養(yǎng)關(guān)鍵能力.

關(guān)鍵詞：熱點(diǎn);層次;創(chuàng)新;通法;綜合

一、數(shù)學(xué)試題的新特點(diǎn)

與2020年相比，2021年高考數(shù)學(xué)北京卷的難度略有上升，試題素材貼近社會熱點(diǎn)，試題難度具有一定的層次性，試題求解思路突出通性、通法，試題設(shè)問比較靈活，試題考點(diǎn)突出綜合，從而較好地區(qū)分了各個(gè)層次的學(xué)生. 既為高校招生提供了較好的參考依據(jù)，又對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)起到了良好的導(dǎo)向作用，充分體現(xiàn)了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的要求.

1. 試題素材突出熱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的結(jié)合

數(shù)學(xué)與社會現(xiàn)實(shí)有密切的關(guān)系，《標(biāo)準(zhǔn)》要求引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，2021年高考數(shù)學(xué)北京卷的試題對此有較好的體現(xiàn). 精心設(shè)計(jì)試題素材，緊抓社會熱點(diǎn)——建黨100周年與新冠肺炎疫情，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的結(jié)合.

該題以黨旗、黨徽為背景，重點(diǎn)考查了等差數(shù)列、等式與方程等知識，2021年是中國共產(chǎn)黨誕辰100周年，這是政治生活中的一件大事，該題的素材就取材于這個(gè)社會熱點(diǎn)，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)與社會生活之間的密切關(guān)系，是德育與數(shù)學(xué)的結(jié)合點(diǎn)，滲透了立德樹人的育人目標(biāo).

試卷第8題以研究降雨等級為背景重點(diǎn)考查了圓錐、圓柱及其體積計(jì)算、相似等知識，以及空間平面化、體積變換等重要方法. 引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察自然現(xiàn)象，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)與自然現(xiàn)象的結(jié)合. 試卷第18題以“[k]合1”核酸檢測診斷新冠肺炎為背景考查了概率分布的相關(guān)知識，通過計(jì)算“[k]合1”檢測方式中的檢測次數(shù)，讓學(xué)生深深地體驗(yàn)到“[k]合1”檢測可以節(jié)省人力和財(cái)力. 新冠肺炎疫情是每個(gè)人所關(guān)注的熱點(diǎn)，數(shù)學(xué)試題將其作為背景，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)與社會現(xiàn)實(shí)的結(jié)合，突出了問題的現(xiàn)實(shí)情境，有利于考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

2. 試題考點(diǎn)突出綜合，實(shí)現(xiàn)了全面考查與重點(diǎn)考查的結(jié)合

追求試題的基礎(chǔ)性和綜合性是全面考查高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和通性、通法的需要，也是重點(diǎn)考查核心數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的需要，有利于積極引導(dǎo)教學(xué)，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)突出主干數(shù)學(xué)知識與方法有良好的導(dǎo)向作用. 整個(gè)試卷共21道題，覆蓋了大部分高中數(shù)學(xué)知識. 其中，綜合性較強(qiáng)的試題有第7題、第9題、第10題、第15題、第16題、第17題、第18題、第19題、第20題、第21題. 這給我們的教學(xué)提供了啟示，在學(xué)習(xí)新課和復(fù)習(xí)備考中，一定要按《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，對整個(gè)高中數(shù)學(xué)的知識內(nèi)容做到全覆蓋，不能有任何盲點(diǎn)，不能出現(xiàn)忽略高考冷點(diǎn)的教學(xué)，也不能出現(xiàn)只重視高考熱點(diǎn)的教學(xué). 在追求知識覆蓋面的同時(shí)，突出了重點(diǎn)知識與方法重點(diǎn)考查的目標(biāo). 例如，最值在第3題、第7題、第9題、第10題、第19題、第21題等題目中重復(fù)出現(xiàn). 第3題考查的是函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系;第7題考查的是二次函數(shù)與余弦函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)的最值問題;第9題考查的是與幾何背景相關(guān)的弦長的最值問題;第10題考查的是數(shù)列背景的最值問題;第19題考查的是與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的最值問題，第21題考查的是與創(chuàng)新相關(guān)的最值問題，從不同的角度綜合考查了最值概念，這充分顯示了對重點(diǎn)概念的考查力度. 從數(shù)學(xué)思想方法角度看，多處出現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的考點(diǎn)，涉及數(shù)形結(jié)合思想的試題有第3題、第7題、第9題、第12題、第13題、第14題、第15題、第16題、第19題、第20題等，這又體現(xiàn)了重點(diǎn)方法重點(diǎn)考查的目標(biāo).

上述特點(diǎn)告訴我們，在教學(xué)與復(fù)習(xí)中，在追求全覆蓋的同時(shí)，還要突出重點(diǎn)知識與思想方法的教學(xué). 對于《標(biāo)準(zhǔn)》要求的核心概念、主干知識、主干思想方法要重點(diǎn)突破，這樣才能適應(yīng)全面考查與重點(diǎn)考查的需要.

該題涉及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、絕對值不等式等考點(diǎn)，不但范圍較廣，而且均是解析幾何的重要知識點(diǎn). 該題涉及的數(shù)學(xué)思想方法主要有數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、坐標(biāo)法、消元法、待定系數(shù)法等，體現(xiàn)了綜合性與基礎(chǔ)性，實(shí)現(xiàn)了對解析幾何全面考查與重點(diǎn)考查的結(jié)合.

3. 試題難度突出層次，實(shí)現(xiàn)了試題的選拔功能

高考的功能在于兩個(gè)方面：一是考查學(xué)生的知識掌握水平，二是為各高校招生提供數(shù)據(jù)支持. 這決定了高考試題需要具備選拔功能. 因此，試題要突出層次性和區(qū)分度. 2021年高考數(shù)學(xué)北京卷從以下幾個(gè)方面突出了層次性.

（1）選擇題的層次性.

第1題到第5題是基礎(chǔ)題，大多數(shù)學(xué)生有較好的表現(xiàn);第6題與第7題有一定的綜合性，可以區(qū)分學(xué)困生與中等生;第8題到第10題具有一定的難度，特別是第8題，學(xué)生需要較強(qiáng)的閱讀能力和數(shù)學(xué)建模能力，以及體積變換、空間平面化等數(shù)學(xué)方法，該題優(yōu)等生的表現(xiàn)較好.

（2）填空題的層次性.

第11題到第13題是基礎(chǔ)題;第14題是中檔題，考查三角函數(shù)的定義，具有較大難度;第15題是拔高題，整體難度較大，由于采取分層賦分（按選對結(jié)論個(gè)數(shù)分別記分，錯(cuò)選記0分），顯示出了更好的區(qū)分度.

（3）解答題的層次性.

第16題到第21題的題號順序與難度順序基本一致，每道題又由2道小題或3道小題組成，每道小題難度不同. 例如，第18題第（1）小題第一問較基礎(chǔ)，只需讀懂試題即可計(jì)算檢測次數(shù)，第二問是對第一問的深化;第（2）小題具有較高的難度. 第20題在運(yùn)算的環(huán)節(jié)上顯示出一定的層次性，沒有計(jì)算判別式或缺少數(shù)學(xué)運(yùn)算能力都無法得出結(jié)果，較好地區(qū)分了不同層次的學(xué)生. 第21題的三個(gè)設(shè)問對于選拔學(xué)優(yōu)生起到了積極的作用.

整套試卷形成了“入口容易、循序漸進(jìn)、螺旋上升、出口較難”的試題風(fēng)格，實(shí)現(xiàn)了多題把關(guān)的局面，讓試題的層次性全方位地滲透到各種題型之中，從而取得了較好的區(qū)分度，較好地實(shí)現(xiàn)了試題的選拔功能.

4. 試題設(shè)問突出創(chuàng)新，實(shí)現(xiàn)了高考積極引導(dǎo)教學(xué)的目標(biāo)

《標(biāo)準(zhǔn)》要求命題要充分考慮對教學(xué)的積極引導(dǎo)作用. 該套試題在設(shè)問方面具有一定的創(chuàng)新，對教學(xué)起到良好的引導(dǎo)作用. 例如，第9題是逆向設(shè)問，已知最小值求參數(shù)，重點(diǎn)考查學(xué)生的應(yīng)變能力和運(yùn)算能力. 第14題是一個(gè)開放性問題，答案不唯一，給學(xué)生提供了一個(gè)構(gòu)造、選擇和實(shí)驗(yàn)的空間. 第16題是結(jié)構(gòu)不良型問題，學(xué)生通過分析解三角形所需的條件，在所給的三個(gè)條件中選出一個(gè)，使之能唯一確定三角形，其間需要學(xué)生分析條件之間是否矛盾或者利用解三角形的三個(gè)條件中至少已知一個(gè)邊的基本事實(shí)（選①缺少邊的條件），在此基礎(chǔ)上做選擇才能唯一確定三角形，設(shè)問也較靈活，未直接求三角形的邊與角，而是求三角形一邊上的中線長. 這樣的設(shè)問提高了對學(xué)生分析問題能力的考查力度. 第17題第（1）小題本質(zhì)上是證明線線平行，在日常的練習(xí)中所遇到的習(xí)題均是直接設(shè)問，但是在本次高考中不直接設(shè)問，而是證明中點(diǎn)，考查了學(xué)生的應(yīng)變能力，是否能理解問題的本質(zhì)是解決該問題的關(guān)鍵. 第（2）小題是逆向設(shè)問，日常學(xué)生練習(xí)較多的相關(guān)題型均是順向問題，直接求二面角的余弦值，現(xiàn)在采取逆向設(shè)問. 第21題是整體上的創(chuàng)新問題，沒有固定的解題模式，重點(diǎn)考查了學(xué)生的抽象思維能力和推理論證能力，依靠“題海戰(zhàn)術(shù)”無法應(yīng)對該題. 通過試題設(shè)問的創(chuàng)新給教學(xué)發(fā)出一個(gè)信號：通過大量的題型訓(xùn)練未必能取得好的成績，只有讓學(xué)生真正掌握了高中數(shù)學(xué)主干知識與核心方法，才能在高考中取勝.

5. 試題求解突出通法，實(shí)現(xiàn)了對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查

“注重通性、通法，淡化解題技巧”一直是北京卷的優(yōu)良傳統(tǒng). 該套試題重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，沒有偏、難、怪問題，所涉及的數(shù)學(xué)知識均是高中數(shù)學(xué)的主干知識和后續(xù)學(xué)習(xí)必備的基礎(chǔ)知識，所涉及的方法都是高中數(shù)學(xué)方法的核心方法，實(shí)現(xiàn)了對數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)的考查.

綜觀整套試題，所涉及的主干知識有集合運(yùn)算、復(fù)數(shù)運(yùn)算、解不等式、二次函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)的最值與極值、函數(shù)圖象、函數(shù)零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用、曲線的切線方程、充要條件與必要條件、基本立體圖形、空間直線與平面平行、二面角計(jì)算、等差數(shù)列、遞增數(shù)列、三角恒等變換、解三角形、直線、圓、雙曲線、拋物線、橢圓、概率分布、二項(xiàng)式定理、平面向量的運(yùn)算、創(chuàng)新問題;所涉及的核心數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、或然與必然、邏輯推理、運(yùn)動變化等;所涉及的數(shù)學(xué)方法有待定系數(shù)法、配方法、換元法、體積法、放縮法、基本量法、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)法、圖形法、坐標(biāo)法、消元法、構(gòu)造法等. 以這些數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法為載體，全方位、多層次考查了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 詳見下表.

【評析】該思路重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，同時(shí)考查邏輯推理素養(yǎng).

解法3：（數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)法）依次驗(yàn)證選項(xiàng)，將[m]的值代入題干進(jìn)行驗(yàn)證，淘汰錯(cuò)解，發(fā)現(xiàn)正解.

【評析】該思路重點(diǎn)考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象等素養(yǎng). 對數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)法的運(yùn)用，應(yīng)該引起足夠重視，試卷第5題、第6題、第7題、第10題、第14題、第21題（實(shí)驗(yàn)[+]證明）均可以用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)法求解. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論和方法的重要手段. 值得一提的是，用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，需要經(jīng)過嚴(yán)格證明，才能成為真命題.

通過例3可以看出，一道試題可能考查多個(gè)數(shù)學(xué)素養(yǎng). 不同的求解角度，重點(diǎn)考查的核心素養(yǎng)也可能不同.

二、教學(xué)建議

1. 突出應(yīng)用與實(shí)踐，幫助學(xué)生樹立良好的數(shù)學(xué)價(jià)值觀

《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力. 在2021年高考數(shù)學(xué)北京卷中，有實(shí)際生活應(yīng)用情境的試題有第6題、第8題、第18題，有數(shù)學(xué)情境的試題有第9題、第10題、第14題、第15題、第16題、第19題、第21題等. 因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合數(shù)學(xué)知識體系的要求，將數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐貫穿全程，包括實(shí)際生活應(yīng)用情境與數(shù)學(xué)情境的應(yīng)用，讓學(xué)生切身體會到數(shù)學(xué)是非常有用的科學(xué)，是學(xué)習(xí)其他科學(xué)的基礎(chǔ). 教師引導(dǎo)學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模活動，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的全過程，并結(jié)合知識特點(diǎn)，滲透傳統(tǒng)文化與現(xiàn)實(shí)熱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的結(jié)合，有利于幫助學(xué)生樹立良好的數(shù)學(xué)價(jià)值觀.

2. 突出過程與方法，提升學(xué)科素養(yǎng)

學(xué)生在日常學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的過程中所掌握的數(shù)學(xué)思想方法是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)與關(guān)鍵. 數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用和積累達(dá)到一定程度后，形成數(shù)學(xué)能力，并在學(xué)生內(nèi)在品質(zhì)的積極影響下，形成數(shù)學(xué)素養(yǎng). 因此，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，關(guān)鍵在于讓他們學(xué)好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，掌握基本思想方法. 在日常教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中極其重要的環(huán)節(jié). 數(shù)學(xué)思想方法貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的全程，在數(shù)學(xué)知識的形成和數(shù)學(xué)問題解決的過程中，讓學(xué)生逐步體會和領(lǐng)悟思想方法的本質(zhì)，而不是空洞的理論傳輸. 在講數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法的過程中，要充分暴露其思維過程，特別是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中感受結(jié)論與方法形成的自然背景，可以更有效地領(lǐng)會結(jié)論和方法的本質(zhì). 例如，試卷第15題，函數(shù)零點(diǎn)問題就是用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決的. 在解決過程中，不僅讓學(xué)生領(lǐng)會到使用數(shù)形結(jié)合方法的條件，而且讓學(xué)生領(lǐng)會其本質(zhì)：由代數(shù)式構(gòu)造圖形，由圖形抽象數(shù)量特征，即由數(shù)思形，由形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合. 不能片面強(qiáng)調(diào)單方面的重要性，只有當(dāng)兩方面形成合力時(shí)，才能完美解決問題. 在知識學(xué)習(xí)與解題過程中可以使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，所以要在基本活動經(jīng)驗(yàn)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3. 突出綜合與創(chuàng)新，培養(yǎng)關(guān)鍵能力

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要將概念的多種形式的教學(xué)目標(biāo)分散在教學(xué)的各個(gè)階段中. 例如，在上述例子中，等效形式2放在等差數(shù)列通項(xiàng)公式的教學(xué)中完成，等效形式3放在等差數(shù)列求和的教學(xué)中完成，否定形式放在數(shù)列復(fù)習(xí)課中進(jìn)行. 這些形式的概括要在單元復(fù)習(xí)課中完成. 總之，在教學(xué)的各個(gè)階段中逐步實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念多種形式的教學(xué)目標(biāo). 綜合不局限于知識本身的綜合，更重要的是各知識與方法之間的綜合，貫穿于新課教學(xué)、復(fù)習(xí)教學(xué)、解題教學(xué)的全程，形成主線.

創(chuàng)新是培養(yǎng)關(guān)鍵能力的重要途徑. 針對該試卷第10題、第15題、第21題的創(chuàng)新特點(diǎn)，求解過程中沒有固定模式可以模仿，需要?jiǎng)?chuàng)造能力、抽象能力、分析問題和解決問題能力的綜合參與. 這些能力的養(yǎng)成是一個(gè)長期的系統(tǒng)工程，不是短期行為，應(yīng)將培養(yǎng)解決創(chuàng)新問題的能力目標(biāo)落實(shí)在日常教學(xué)過程中.

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